Рынок ценных бумаг 2 Экономическая сущность (стр. 23 из 30)
125*0,5556 - 0,4144*107,25 = 69,45 (74,45 = 25руб.
Для случая снижения цены акции до 80руб.:
80*0,5556 - 0,4144*107,25 = 44,45 - 44,45 = 0руб.
То есть путем комбинирования основной ценной бумаги и безрисковой облигации получили портфель, дающий инвестору точно такую же отдачу, как и опцион на покупку. Но тогда и стоимость такого портфеля должна равняться стоимости опциона. Стоимость портфеля равна: 55,56руб. (столько нужно денег, чтобы купить 0,5556 акции компании "Орион") минус 41,44руб. (столько инвестор получил за счет короткой продажи безрисковой облигации, что он использовал на покупку акции). Итого стоимость опциона на покупку равна: 55,56-41,44=14,12 руб., В общем случае, стоимость V0 опциона на покупку составляет:
V0 =Ns*Ps + Nb*Pb(4.1)
- где Рb и Рs- цены безрисковой облигации и основной акции, Ns и Nb - количество акций и облигаций соответственно, которые необходимо объединить в репликантный портфель, чтобы он давал точно такие же выплаты, как и опцион на покупку в момент его реализации при истечении срока опциона.
Чтобы сформировать репликантный портфель, инвестор должен занять определенную сумму денег и с ее помощью приобрести необходимое количество основных акций. Количество акций, необходимых, чтобы заменить один опцион на покупку, называется коэффициентом хеджированияили опционной дельтой, В нашем случае коэффициент хеджирования h=1/1,8=0,5556, то есть равняется величине Ns в формуле (4.1). Поскольку стоимость каждого опциона определяется h долями стоимости акции, то можно сказать, что каждый раз, когда стоимость основной акции изменяется на 1 рубль, стоимость опциона изменяется на h руб. Если обозначить Роu и Роd стоимости опциона при повышении цены акции (до Psu=125руб.) и при понижении цены акции (до Psd=80 руб.) соответственно, то:
(4.2)То есть опционная дельта показывает реакцию цены опциона на возможные изменения цены акции в момент окончания опциона.
Проведенный анализ показывает, что при заданных:
а) цене реализации Е= 100руб.;
б) разбросе возможных верхних Psu =125руб. и нижних Psd =80 руб. цен основной акции через год;
в) безрисковой ставке процента rf=7%;
г) срока действия опциона Т=1 год;
д) исходной цене акции 100 руб.
цена опциона на покупку равняется 14,12руб. Следовательно, задав эти пять характеристик, можно создать репликантный портфель на основе композиции из основной акции и занятых сумм, имеющий такую же стоимость, что и опцион на покупку.
Чтобы создать эквивалент одному опциону на покупку необходимо приобрести h основных акций, где h - коэффициент хеджирования, и занять определенную сумму В денег по безрисковой ставке. Эту сумму можно найти по формуле:
В = PV(h*Psd - Pod) (4.3)
то есть как приведенную стоимость выражения, заключенного в скобки.
В рассматриваемом случае:
В=РV(0,5556*80 - 0) = (0,5556*80)/1 ,0725 = 41,44руб.
Значит, в общем случае биномиальной модели стоимость Voc одного опциона на покупку может быть представлена в виде:
Voc=h*Ps - B(4.4)
Использование модели для опционов на продажу. Чтобы применить выводы биномиальной модели для оценки опционов на продажу, обратимся к основному равенству для европейских опционов и представим его в виде:
(стоимость опциона на продажу) = (стоимость опциона на покупку) -
- (стоимость основной акции.) + (приведенная стоимость цены реализации)
или Vор - Vос - Рs + РV(Е). Стоимость опциона на покупку: Vос=h*Рs - В; приведенная стоимость цены реализации равна: Е/еrТ, где Т - срок действия опциона. Следовательно:
Поскольку (h - 1 )<0, то репликантный портфель для оценки опциона на продажу строится путем короткой продажи (1 - h) акции и инвестирования в безрисковую облигацию суммы: (Е –h*Psd+Pod)/ еrТ. В нашем случае:
руб.Мультипериодный случай. Формула Блэка-Шоулеса. Мывыбрали период действия опциона в 1 год и исходили из того, что основная акция, стоившая 100руб. в момент t=0, через год может стоить либо 125руб., либо 80руб. Однако биномиальный метод можно применять, если предположить, что в течение годичного периода цена акции меняется, не один раз (на практике именно это и происходит). В таком случае первоначальный период можно разбить на ряд интервалов и каждый последующий результат представить как следствие многочисленных биномиальных решений в предыдущие интервалы. Теоретически, если будут заданы все пять начальных характеристик, то проведя расчеты от конца холдингового периода к началу, можно найти стоимость опциона в начальный момент t=0. Специально запрограммированные калькуляторы позволяют проводить подобные вычисления.
Блэк и Шоулес вывели формулу оценки опциона для случая, когда длина интервала стремится к нулю. Если при этом предположить, что непрерывно начисляемая доходность акции распределена по нормальному закону, то, как доказали Блэк и Шоулес, цена опциона на покупку может быть вычислена по формуле:
, (4.5) 
, 
,где Vос - цена опциона на покупку ;
Рs - действующая (текущая) цена акции;
Е - цена реализации опциона;
rf- безрисковая ставка процента;
σ - стандартное отклонение норм отдачи акции;
Т - время действия опциона на покупку.
Указанные три величины зависят от длительности выбранного интервала. Можно взять любой интервал, но эти три величины должны браться за одинаковый промежуток времени: например, если выбран день, то надо брать дневную ставку процента и дневное стандартное отклонение.
Ф(d1) и Ф(d2) - функции нормального распределения (определяются по таблицам).
Несмотря на "устрашающий" вид, формула (4.5) по сути является "расширенным" вариантом формулы (4.4) и отражает уже известный факт:
стоимость опциона = [дельта*цена акции] - [банковский заем]
Ф(d1) * Рs- Ф(d2) *РV(Е) .
Если цена акции станет значительной, то величины d1и d2 возрастут и функции Ф(d2) и Ф(d2) обе устремятся к единице. В этом случае цена опциона будет равняться цене акции за вычетом текущей стоимости цены реализации опциона:
Voc = Рs - Е/еrТ
- вывод, который мы уже получили, исследуя рисунок ( 3). Напомним, что формула (4.5) применима только для европейских опционов с учетом предположения, что за время действия опциона по основной акции не выплачиваются дивиденды.
Как следует из формулы (4.5), для нахождения цены опциона на покупку необходимо задать пять начальных параметров:
1) цену акции Рs; .
2) цену реализации опциона Е ;
3) срок окончания опциона Т ;
4) безрисковую ставку процента rf;
5) стандартное отклонение σнорм отдачи основной акции.
Первые четыре параметра известны в исходный момент, а вот величину σ надо находить. Причем, формула (4.5) показывает, что стоимость опциона очень зависит от величины σ. На практике используют два метода для оценки s: можно взять значения норм отдачи акции за прошедший период (от 30 до 90 дней - профессионалы предпочитают оперировать дневнымизначениями rf и σ, считая, что в этом случае формула Блэка-Шоулеса дает более точные результаты) и по ним вычислить σ ех post, то есть стандартное отклонение уже реализованных норм отдачи, которое и использовать в формуле (4.5). По второму методу, для нахождения s берется цена опциона в предыдущий день, подставляется в формулу (4.5), и уравнение решается относительно неизвестной σ, К сожалению, прямое решение этого уравнения невозможно, поэтому необходимо использовать специальные методы вычисления.
Формула Блэка-Шоулееа стала широко используемой и профессионалами, и индивидуальными инвесторами. Она дает очень корректные оценки стоимости опционов. С определенными условностями ее можно применять и для оценки американских опционов, а также для европейских опционов, в случае выплаты по основной акции дивидендов за время действия опциона.
4.2 Фьючерсные контакты.
Для раскрытия характерных особенностей фьючерсных контрактов целесообразно начать анализ с рассмотрения форвардных контрактов. Под форвардным контрактом понимают соглашение между двумя сторонами - покупателем и продавцом, совершенное в определенный момент времени (пусть, 10 марта 2002 года), согласно которому продавец обязуется доставить покупателю определенный товар (положим, фортепиано) в определенное время и место (например, 10 июня 2002 года на склад фирмы "Орион") по заранее обусловленной в момент совершения сделки цене. Согласно форвардному контракту, и продавец, и покупатель обязаны совершить сделку, то есть продавец - доставить фортепиано, а покупатель - купить его. Иными словами, форвардный контракт - это соглашение между двумя лицами о будущей сделке по будущей (форвардной) цене, определяемой обоими сторонами в момент совершения сделки. Этим она отличается от спот-сделок, которые осуществляются немедленно, например, при покупке фортепиано в магазине. Может возникнуть вопрос - а зачем вообще заключать форвардный контракт, если можно просто найти и купить фортепиано в магазине? Причины бывают самые различные - например, покупатель ожидает в конце мая получить новую квартиру, а 30 марта ему еще некуда ставить музыкальный инструмент.