1.3 Масштаб
Особливість креслень в проекціях з числовими відмітками або планів полягав в тому, що розміри на них, як правило, не проставляються. Відсутність розміра замінюється вказанням масштабу, в якому виконане креслення. Тому неодмінна умова всякого креслення, виконаного в проекціях з числовими відмітками - наявність масштабу.
Масштабом називається відношення довжини лінії на плані до відповідної проекції цієї лінії на місцевості, наприклад на ділянці земної поверхні. Це абстрактне число - правильний дріб. Для зручності користування і порівняння всі масштаби мають однаковий вигляд: чисельником дробу завжди є одиниця, при цьому знаменник безпосередньо виражає ступінь зменшення. Такий масштаб називається чисельним, наприклад: 1/100 /1:100/; 1/200 /1:200/; 1/500 /1:500/; 1/1000 /1:1000/ тощо. Чисельний масштаб дає загальну характеристику ступеня зменшення і не завжди зручний для практичних цілей. Для побудови планів або визначення довжини відрізків, узятих з плана, використовують лінійний масштаб, який наносять на плані у вигляді масштабної шкали /рис. 1.9/.
Зображенний на рас 1.9 лінійний масштаб відповідає чисельному 1:100 /10 мм на плані відповідають 1 м на місцевості/. Основу масштаба, розташовану ліворуч від нульової точки, як правило, ділять на десять рівних частин, кожна з яких /див. рис.1.9/ відповідає 0,1 м на місцевості. Це дає змогу робити вимірювання на плані з точністю до 0,1 м.
Розділ 2. Проекції прямих ліній
2.1 Проеціювання прямої загального положення
Спроекцюемо дві довільні точки А та В даної прямої n /рис. 2.1/ на основну площину π0 причому висоти точок А та В відповідно дорівнюють 2,5 та 5,4. Поряд в горизонтальними проекціями точок А та В проставимо їх числові відмітки, що дорівнюють висотам цих точок. Пряма, яка проведена через точки А2,5 та В5,4 , буде проекцією тільки однієї прямої в просторі.
Дійсно, якщо б горизонтальні проекції точок А та В прямої не були б доповнені їх числовими відмітками, то пряма, яка проходить через горизонтальні проекції точок А та В , була б проекцією усіх прямих, що знаходяться в горизонтально-проеціючій /вертикальній/ площині π0, яка проходить через дану пряму n.
Отже, при зображенні прямої лінії в проекціях з числовими відмітками пряма загального положення може бути задана проекціями будь-яких двох незбіжних /нетотожних/ точок, належних до прямої, з указаниям їх числових відміток /рис 2.2/.
2.2 Визначення довжини прямої і кута її нахилу до основної площини
Кут α між прямою n і її проекцією на основну площину π0 /див. рис. 2.1./ є кутом нахилу прямої до основної площини: АМ0А2,5 = α. Якщо в вертикальній площині π /див. рис. 2.1/ провести через точку А пряму АС, паралельну А2,5 В5,4, то ВАС = α.
Кут α , а також натуральну величину відрізка прямої в проекціях з числовими відмітками визначають способом заміни площин проекцій /цей спосіб у проекціях з числовими відмітками називається способом профіля, де під профілем розуміють зображення, одержане на вертикальній площині проекцій/ або способом прямокутного трикутника.
Для визначення натуральної величини довжини відрізка AB прямої AB і кута її нахилу до π0 /див. рис. 2.1, 2.3/ будуємо профіль відрізка AВ на вертикальну площину π, яку розташовуємо паралельно даній прямій /див. рис. 2.3/, або проводимо через пряму /див. рис. 2.1/. Потім вертикальну площину π0 обертаємо навколо осі проекцій х1 до суміщення з основною площиною π0 одну площину креслення. Суміщений з основною площиною π0 профіль AB і визначає натуральну величину довжини відрізка AВ прямої n . Кут між профілем АВ і віссю проекцій х1 являє собою кут нахилу α прямої n до площини π0 .
На плані ці побудови виконаємо в такій послідовності /рис. 2.4/:
1. Проводимо вісь проекцій х1 паралельно проекцій А2,5В5,4 .
2. Через проекції точок А2,5 та В5,4 проводимо лінії проекційного зв'язку перпендикулярно до оcі проекцій х1.
3. Від точок перетину ліній проекційного зв'язку з віссю х1 у масштабі плана /можна і в більшому масштабі/ відкладаємо відрізки НА та НВ, довжина яких чисельно дорівнює відповідним відміткам точок А та В /при різних знаках числових відміток відрізки відкладають по різні сторони від осі х1/. Одержимо точки А та В - це профілі точок А та В прямої n.
4. З'єднавши точки А та В прямою, одержимо відрізок AВ - профіль відрізка AВ на вертикальній площині π , який являє собою натуральну величину довжини відрізка AВ , заданого на π0 проекцією А2,5 В5,4 .
5. Кут між АВ і віссю проекцій х1 дорівнює куту α нахилу прямої n до основної площини cB .
Натуральну величину довжини відрізка прямої і її кут нахилу до основної площини можна визначити і способом прямокутного трикутника, один катет якого дорівнює проекції відрізка прямої на плані, а другий - алгебраїчній різниці числових відміток кінцевих точок відрізка прямої /рис. 2.5/.
Слідом прямої AВ /див. рис. 2.1/ на основній площині π0 буде точка Мо перетину продовження прямої з продовженням її проекції. Очевидно, що числова відмітка точки Мо дорівнює нулю, тобто має таку и числову відмітку, що і основна площина π0.
Слідом прямої загального положення є точка прямої, яка має нульову числову відмітку.
Для побудови сліду прямої загального положення /рис. 2.6/, проекція якої показана на плані, необхідно побудувати суміщений з основною площиною ? профіль AB прямої на вертикальну площину і одержаний профіль AВ прямої продовжити до перетину з віссю проекцій X1 або з продовженням проекції А2В6 даної прямої, якщо проекція прямої збігається з віссю х1 : М0 =АВnх , Потім точку М0 проецюємо на продовження проекцій А2В6 , одержимо точку М0 , яка являє собою слід прямої AВ на площині π0.
2.3 Заложення, нахил та інтервал прямої лінії
При вирішенні багатьох задач у проекціях з числовими відмітками використовують такі поняття та визначення: заложення, нахил та інтервал прямої. Для з'ясування значення цих понять та визначень розглянемо рис. 2.7, де дано наочне зображення прямої AВ і її горизонтальна проекція A2,6 В4,4 на основну площину π0 .
Заложенням називається довжина горизонтальної проекції від- різка прямої на основну площину і позначається буквою L /див. рис. 2.7/: L = A2,6В4,4 - заложення відрізка прямої А В.
Різниця числових відміток кінців відрізка прямої, тобто різниця висот або координат Z точок його кінців, називається підйомом відрізка прямої і позначається буквою h /рис. 2.7/ на відміну від позначення висот точок відрізка прямої буквою Н .
Підйом h відрізка AB /див. рис. 2.7/: h = НВ-НА = 4.4 -- 2,6 = 1,8 м.
Заложення та підйом відрізка прямої вимірюються в одиницях масштабу.
Нахилом прямої і називається відношення підйоме відрізка прямої до заложення цього ж відрізка /див. рис. 2.7, ∆ABB : і = h/L
Оскільки кут, утворений прямою і її проекцією на основну площину π, дорівнює куту α - куту нахилу прямої до площини π0 /див. рис. 2.7, ABB/, можна дати таке визначення нахилу прямої: нахил прямої дорівнює тангенсу кута нахилу прямої до основної площини: i = tg α = h/L /2.1/
Нахил прямої задається в десяткових дробах aбo у вигляді відношення 1:n, де n - будь-яке додатне число. Наприклад, нахил прямої AB /див. рис. 2.7, ∆АВВ / дорівнює: i=h/L= I.8/3.6 = = 0.5 - нахил заданий в десяткових дробах або i=1 : 2 - нахил прямої А В заданий, у вигляді відношення.
Іноді нахил вказують в промилях /позначається "°/оо"/ або в процентах /позначається "%"/. Промиле - одна тисячна будь-якого числа, а процент - сота частина будь-якого числа, тоді промиле - це десята частина процента. Наприклад:
І°/оо = 0,1% = 1:1000 = 0,001;
10°/оо = 1% = 1:100 = 0,01;
50°/оо = 5% = 1:20 = 0,05;
500°/оо = 50% = І:2 = 0,5.
На рис. 2.7 точки С та D прямої АВ мають числові відмітки, які дорівнюють 3 та 4, тобто підйом відрізка CD дорівнює одиниці, а довжина відрізка С3D4 - проекція відрізка CD на основну площину - являє собою інтервал прямої AВ.
Довжина горизонтальної проекції відрізка прямої, підйом якої дорівнює одиниці, називається інтервалом прямої /позначається буквою l /. Інтервал прямої чисельно дорівнює відношенню відрізка прямої до його підйому /див. рис. 2.7, ∆CDD/: l = L/h (2.2)
Інтервал прямої AB /див. рис. 2.7/ становить l = 3,6/1,8 = 2 м.
З /2.2/ випливає, що при h = 1 заложення чисельно дорівнює інтервалу, тобто і = l. Тоді інтервалу прямої можна дати і інше визначення: інтервал прямої є заложенням при підйомі, рівному одиниці.
Якщо знати нахил прямої або її кут нахилу до основної площини, пряму загального положення в проекціях з числовими відмітками можна задати горизонтальною проекцією з відміченими на ній однією точкою з числовою відміткою і нахилом прямої /рис. 2.8/ або кутом її нахилу /рис. 2.9/ до основної площини із зазначенням напряму спуску. Напрям спуску відмічається на кресленні відрізком прямої, на одному кінці якого показано стрілку, що вказує напрям зменшування числових відміток точок прямої.
З /2.1/ та /2.2/ виплаває, що і = 1/l = 1:l, тобто нахил та інтервал прямої - величини, обернені одна до одної. Наприклад, якщо нахил прямої задано у вигляді десяткового дробу і = 0,5, то цьому нахилу прямої відповідав інтервал прямої l = 1/і = 1/0,5 = 2; якщо нахил пряної задано у вигляді відношення і = 1:2,5, то цьому нахилу прямої відповідає інтервал прямої l = 2,5, оскільки і = 1:l = 1:2,5. З /2.1/ випливає, що при L = 1 нахил прямої чисельно дорівнює підйому, тобто і = Нl, отже, можна дати таке означення нахилу: нахилом прямої називається величина підйому відрізка прямої при заложенні цього ж відрізка прямої, який дорівнює одиниці.
Таким чином, якщо на проекції прямої на плані взяти відрізок, чисельно рівний одиниці масштабу, то підйом цього відрізка, заложення якого одиниця, чисельно дорівнює нахилу прямої. На цьому грунтується графічне визначення нахилу прямої.