Основные имитационные модели инвестиций (стр. 3 из 5)
Как будет показано ниже, используя потоки Эрланга и Пуассона, можно рассчитать аналитически установившиеся значения различных параметров СМО. Однако применение этих потоков в практике имитационного моделирования в чистом виде, без специальной корректировки, учитывающей изменения типа потока, его интенсивности и т.п., крайне ограничено.
Таким образом, вышеприведенные математические описания потоков однородных событий позволяют осуществить формализацию процессов функционирования СМО.
Пусть t ож — время ожидания обслуживания, тогда в первом случае поступившая заявка может иметь три варианта поведения, а именно: покинуть систему (t0Ж = 0), встать в очередь на обслуживание до того момента, пока не освободится свободный канал (tож = ∞), и, наконец, встать в очередь с ограничением времени ожидания обслуживания (tож≠∞).
Исходя из этого СМО подразделяются на системы с отказами (tож = 0), системы с ожиданием (tож =∞) и сиcтемы с ограниченным ожиданием (0<tож < ∞). Величина tож является одним из показателей качества СМО.
Рассмотрим теперь время обслуживания заявки (время занятости линии) tобс как параметр обслуживающей системы.
Время обслуживания требований является случайной величиной и может изменяться в большом диапазоне. Случайная величина tобС характеризуется законом распределения, который может определяться на основе статистических испытаний. На практике часто исходят из гипотезы о показательном законе распределения времени обслуживания.
При таком распределении времени обслуживания функция распределения времени обслуживания имеет вид
где θ= — интенсивность обслуживания одного требования одним обслуживающим устройством; t0бс — среднее время обслуживания одного требования одним обслуживающим устройством.
При показательном законе распределения времени обслуживания и при наличии n обслуживающих линий одинаковой мощности
Важным параметром СМО является коэффициент загрузки
Величина показывает количество требований, поступающих в систему обслуживания за время обслуживания одного требования одним устройством. В этом случае количество обслуживающих устройств п должно быть не меньше коэффициента загрузки:
В противном случае очередь будет бесконечно расти.
Ниже приведены расчетные формулы для определения важнейших характеристик качества функционирования СМО при показательном законе распределения времени обслуживания заявок.
1. Вероятность того, что все обслуживающие системы свободны,
2. Вероятность того, что все обслуживающие устройства заняты,
3. Среднее число устройств, свободных от обслуживания,
4. Коэффициент простоя обслуживающих устройств
5. Среднее число устройств, занятых обслуживанием,
6. Коэффициент загрузки системы
7. Средняя длина очереди
8. Среднее время ожидания требований в очереди
или
Сущность имитационного моделирования СМО заключается в том, что необходимо построить алгоритмы, вырабатывающие случайные реализации заданных событий или потоков. Это означает, что нужно проимитировать все входные потоки, задать случайные значения времен обслуживания заявок для каждого канала, а также дисциплину очереди.
4. Вопросы формирования случайных потоков событий
Выше были показаны способы применения простейших случайных потоков событий. Как правило, такие потоки должны обладать свойствами стационарности, отсутствия последействия и однородности. Если выполнить все эти условия, то имитационное моделирование СМО в отличие от аналитического решения сможет дать дополнительно только значения качественных параметров в переходном процессе, т.е. в начальный период функционирования СМО. Установившиеся значения с точностью до инструментальной ошибки должны быть одинаковы.
Вместе с тем можно утверждать, что применение простейших потоков случайных событий при аналитическом или имитационном моделировании на основе СМО сложных экономических объектов не является эффективным и, как правило, создает ошибочное представление о качестве функционирования объекта.
В качестве примера рассмотрим сравнительно простой случай моделирования на основе СМО швейной фабрики. Пусть швейная фабрика имеет 30 машин для шитья одежды. Машины работают две смены — 18 ч. В среднем одна машина шьёт 10 заказов за час, 180 заказов за 2 смены в день. Все 30 машин за 2 смены шьют 5400 заказов. В среднем за день на фабрику поступает от 5000 до 7000 заказов. Требуется определить оптимальное количество работающих машин, длины очередей клиентов и среднее время нахождения в очереди.
Используя введенные выше зависимости, можно вычислить значения среднего числа машин швейной фабрики, свободных от работы No, среднюю длину очереди клиентов L и среднее время ожидания клиентов в очереди tож. Естественно, что для
= 5000 заказов/день и 
= 7000 заказов/день характеристики качества обслуживания будут совершенно различными. Учитывая, что среднее число заявок обслуживаемых в единицу времени , где — среднее время обслуживания одного заказа одной швейной фабрики, причем θ=1/80 сут., вычислим коэффициент интенсивности нагрузки . Величина 
характеризует среднее число машин, которое необходимо иметь, чтобы обслужить за сутки (сутки приняты за единицу времени) все поступившие заказы. Таким образом, необходимо иметь всего 27,7 машины для случая 
, а для .λ2= 7000 необходимое количество машин составит более 38 (а2= 38,8). Чтобы очередь заказчиков не росла безгранично, необходимо выполнить условие a/n< 1, где п — число машин швейной фабрики. Поскольку в нашем примере на фабрике имеется 30 швейных машин, то 
.Следовательно, для входного потока с
=7000 заказов/день очередь будет безгранично расти.Рассмотрев итоги приведенных расчетов, мы пришли к следующим выводам.
1. Мы не можем сказать, сколько швейных машин нужно установить, чтобы обслуживать потоки с
=5000, .λ2= 7000, так как а меняется от 27,7 до 38,8.2. В связи с тем, что потоки заявок в системе рассчитаны для средних суток, расчеты величин очереди L и среднего времени ожидания обслуживания tож, как и другие качественные параметры, будут рассчитаны неверно, так как интенсивность потока в различные часы суток различна и может меняться до 3—5 раз. Конечно, можно рассчитать эти параметры за каждый час отдельно, но и это будет неверно, так как СМО будет находиться в постоянном переходном процессе. В этом случае входной поток будет не стационарным и с последействием, поскольку математическое ожидание числа заказов в единицу времени будет меняться в 3—5 раз, а число заказов, поступившее, например, в 20 ч, зависит от того, сколько их было фактически за каждый предыдущий час.
3. Цикл работы швейной фабрики равен одному году, так как услуги шитья обладают существенной сезонностью. Имеет место весенний и осенний пики потока заказов, а на лето и зиму приходится снижение интенсивности заказов. Весной одежду меняют с зимней на летнюю, а осенью наоборот. Расчет по средней интенсивности потока заказов ничего хорошего не дает, так как в пик будет перегрузка, а в спад — недогрузка. Разница между ними составляет опять же 3—5 раз.
4. Кроме того, имеет место цикличность работы и в зависимости от дня недели и в течение каждого дня.
На основании этих частных выводов приходим к следующему общему выводу. Ни один параметр нашей швейной системы не будет найден достоверно как при аналитических расчетах, так и при имитационных, если будут использованы входные потоки Пуассона, обладающие стационарностью, однородностью и отсутствием последействия. Поэтому использование входных потоков такого вида или даже модифицированных в реальных расчетах в чистом виде неприемлемо.
Это означает, что если используется какой-то входной поток, закон распределения которого можно записать в аналитической форме, то он должен быть, по крайней мере, преобразован в поток, учитывающий все необходимые факторы, воздействующие на данную СМО. После этого он становится не однородным, не стационарным с последействием и даже не ординарным.
Если взять поток Пуассона, то вероятность поступления за время t ровно k заявок
Блоки 2—4 модели должны воздействовать на параметры k и λ таким образом, чтобы значение скорректированного потока зависело от месяца
, дня недели у2и времени суток у3:Вид конкретной зависимости может быть задан как аналитически, так и таблично или при помощи логических фраз. Только после такого преобразования входного потока можно приступать к имитационному моделированию, например, той же фабрики химчистки.