Достаточно часто в практике возникает ситуация, когда необходимо произвести между собой сравнение по выгодности условий различных финансовых операций и коммерческих сделок. Условия финансово-коммерческих операций могут быть весьма разнообразными и напрямую несопоставимыми. Для сопоставления альтернативных вариантов ставки, используемые в условиях контрактов, приводят к единообразному показателю.
Различные финансовые схемы можно считать эквивалентными в том случае, если они приводят к одному и тому же финансовому результату.
Эквивалентная процентная ставка – это ставка, которая для рассматриваемой финансовой операции даст точно такой же денежный результат (наращенную сумму), что и применяемая в этой операции ставка.
Классическим примером эквивалентности являются номинальная и эффективная ставка процентов:
Эффективная ставка измеряет тот относительный доход, который может быть получен в целом за год, т.е. совершенно безразлично – применять ли ставку j при начислении процентов m раз в год или годовую ставку i, – и та, и другая ставки эквивалентны в финансовом отношении.
Поэтому совершенно не имеет значения, какую из приведенных ставок указывать в финансовых условиях, поскольку использование их дает одну и ту же наращенную сумму. В США в практических расчетах применяют номинальную ставку, а в европейских странах предпочитают эффективную ставку процентов.
Если две номинальные ставки определяют одну и ту же эффективную ставку процентов, то они называются эквивалентными.
Пример. Каковы будут эквивалентные номинальные процентные ставки с полугодовым начислением процентов и ежемесячным начислением процентов, если соответствующая им эффективная ставка должна быть равна 25%?
Таким образом, номинальные ставки 23,61% с полугодовым начислением процентов и 22,52% с ежемесячным начислением процентов являются эквивалентными.
При выводе равенств, связывающих эквивалентные ставки, приравниваются друг к другу множители наращения, что дает возможность использовать формулы эквивалентности простых и сложных ставок:
По простой
По сложной
Уравнения эквивалентности FVпр = FVсл
В практической деятельности часто возникает необходимость изменения условий ранее заключенного контракта – объединение нескольких платежей или замене единовременного платежа рядом последовательных платежей. Естественно, что в таких условиях ни один из участников финансовой операции не должен терпеть убыток, вызванный изменением финансовых условий. Решение подобных задач сводится к построению уравнения эквивалентности, в котором сумма заменяемых платежей, приведенная к какому-то одному моменту времени, приравнена к сумме платежей по новому обязательству, приведенному к тому же моменту времени.
Для краткосрочных контрактов консолидация осуществляется на основе простых ставок. В случае с объединением (консолидированием) нескольких платежей в один сумма заменяемых платежей, приведенных к одной и той же дате, приравнивается к новому обязательству:
FV0 = ΣFVj • (1 + i • tj),
где tj – временной интервал между сроками, tj = n0 - nj.
Пример 6. Решено консолидировать два платежа со сроками 20.04 и 10.05 и суммами платежа 20 тыс. руб. и 30 тыс. руб. Срок консолидации платежей 31.05. Определить сумму консолидированного платежа при условии, что ставка равна 10% годовых.
Решение:
Определим временной интервал между сроками для первого платежа и консолидированного платежа:
t1= 11(апрель) + 31(май) - 1 = 41 день;
для второго платежа и консолидированного платежа:
t2 = 22(май) - 1 = 21 день.
Отсюда сумма консолидированного платежа будет равна:
FVoб. = FV1 • (1 + t1 / T • i) + FV2 • (1 + t2 / T • i) =
= 20'000 • (1 + 41/360 • 0,1) + 30'000 • (1 + 21/360 • 0,1) = 50'402,78 руб.
Таким образом, консолидированный платеж со сроком 31.05 составит 50'402,78 руб.
Конечно, существуют различные возможности изменения условий финансового соглашения, и в соответствии с этим многообразие уравнений эквивалентности. Готовыми формулами невозможно охватить все случаи, возникающие в практической деятельности, но в каждой конкретной ситуации при замене платежей уравнение эквивалентности составляется похожим образом.
Если платеж FV1 со сроком n1 надо заменить платежом FVоб. со сроком nоб. (nоб. > n1) при использовании сложной процентной ставки i, то уравнение эквивалентности имеет вид:
FVоб. = FV1 • (1 + i)nоб. - n1
Пример. Предлагается платеж в 45 тыс. руб. со сроком уплаты через 3 года заменить платежом со сроком уплаты через 5 лет. Найти новую сумму платежа, исходя из процентной ставки 12 % годовых.
Решение:
Поскольку nоб. > n1, то платеж составит:
FVоб. = FV1 (1 + i)nоб. - n1 = 45'000 (1 + 0,12)5 - 3 = 56'448 руб.
Таким образом, в новых условиях финансовой операции будет предусмотрен платеж 56'448 руб.
Графическая иллюстрация соотношения наращенной суммы по простым и сложным процентам представлена на рисунке 4.
Рис. 4. Наращение по простым и сложным процентам.
Как видно из рисунка 4, при краткосрочных ссудах начисление по простым процентам предпочтительнее, чем по сложным процентам; при сроке в один год разница отсутствует, но при среднесрочных и долгосрочных ссудах наращенная сумма, рассчитанная по сложным процентам значительно выше, чем по простым.
При любом i,
если 0 < n < 1, то (1 + ni) > (1 + i)n ;
если n > 1, то (1 + ni) < (1 + i)n ;
если n = 1, то (1 + ni) = (1 + i)n .
Таким образом, для лиц, предоставляющих кредит:
· более выгодна схема простых процентов, если срок ссуды менее года (проценты начисляются однократно в конце года);
· более выгодной является схема сложных процентов, если срок ссуды превышает один год;
· обе схемы дают одинаковый результат при продолжительности периода один год и однократном начислении процентов.
18. Эквивалентность простой учетной ставки и сложной эффективной ставки годовых процентов
19. Эквивалентность значений эффективной и номинальной годовых ставок
20. Потоки платежей. Финансовые ренты и их классификация
В финансовой литературе ряд распределенных во времени выплат и поступлений называется потоком платежей.
Потоки платежей являются неотъемлемой частью всевозможных финансовых операций: с ценными бумагами, в управлении финансами предприятий, при осуществлении инвестиционных проектов, в кредитных операциях, при оценке бизнеса, при оценке недвижимости, выборе альтернативных вариантов финансовых операций и т. п.
Члены потока могут быть как положительными величинами (поступления), так и отрицательными величинами (выплатами), а временные интервалы между членами такого потока могут быть равными и неравными.
Поток платежей, все члены которого имеют одинаковое направление (знак), а временные интервалы между последовательными платежами постоянны, называется финансовой рентой или аннуитетом.
При рассмотрении финансовой ренты используются основные категории:
· член ренты (R) – величина каждого отдельного платежа;
· период ренты (t) – временной интервал между членами ренты;
· срок ренты (n) – время от начала финансовой ренты до конца последнего ее периода;
· процентная ставка (i) – ставка, используемая при наращении платежей, из которых состоит рента.
Поскольку условия финансовых сделок весьма разнообразны, постольку разнообразны и виды потоков платежей. В основе классификации финансовых рент положены различные качественные признаки:
· В зависимости от периода продолжительности ренты выделяют
o годовую ренту, которые представляют собой ежегодные платежи, т.е. период ренты равен 1 году;
o срочную ренту, при которой период ренты может быть как более, так и менее года.
· По числу начислений процентов различают
o ренты с начислением 1 раз в год;
o ренты с начислением m раз в год;
o непрерывное начисление.
· По величине членов ренты могут быть
o постоянные ренты, где величина каждого отдельного платежа постоянна, т.е. рента с равными членами;
o переменные ренты, где величина платежа варьирует, т.е. рента с неравными членами.
· По числу членов ренты они бывают
o с конечным числом членов (ограниченные ренты), когда число членов ренты конечно и заранее известно;
o с бесконечным числом (вечные ренты), когда число ее членов заранее не известно.
· По вероятности выплаты ренты делятся на
o верные ренты, которые подлежат безусловной выплате, т.е. не зависят не от каких условий, например, погашение кредита;
o условные ренты, которые зависят от наступления некоторого случайного события.
· По методу выплаты платежей выделяют
