Рс1 + δP = f (Q1 + δQ) ≈ f (Q1) + f ′(Q1) · δQ (4)
Вычитая почленно из (3) и (4) соответственно (1) и (2), находим
δP = f ′(Q1) · δQ
Исключая из полученных соотношений δP, получаем уравнение относительно δQ:
(5)Последнее уравнение (5) – линейное дифференциальное уравнение первого порядка. При а > 0 решение экспоненциально возрастает во времени (неустойчивый режим), при а < 0 – режим устойчив.
Таким образом, если рабочая точка находится на правой, возрастающей ветви зависимости f (Q), то f ′(Q1) >0 и а < 0. Возрастающий участок характеристики подъемника соответствует устойчивому режиму работы, а внизпадающий участок – неустойчивому.
Фонтанирование скважин обычно происходит на вновь открытых месторождениях нефти, когда запас пластовой энергии велик, т.е. давление на забое скважин достаточно большое, чтобы преодолеть гидростатическое давление столба жидкости в скважине, противодавление на устье скважины и давление, расходуемое на преодоление трения, связанное с движением этой жидкости. Общим условием для работы любой фонтанирующей скважины будет следующее основное равенство:
Рз = Рг + Ртр + Ру
где Рз – давление на забое скважины; Рг – гидростатическое давление столба жидкости в скважине; Ртр – потери давления на трение в НКТ; Ру – давление на устье скважины.
Различают 2 вида фонтанирования скважин:
- артезианское фонтанирование, когда поднимается жидкость, не содержащая пузырьков газа;
- фонтанирование жидкости, содержащей пузырьки газа – наиболее распространенный способ фонтанирования.
Артезианское фонтанирование встречается при добыче нефти редко. Оно возможно в 2-х случаях:
1) полное отсутствие газа и Рз >> Рг;
2) при наличии растворенного газа в нефти, который не выделяется, т.к. Ру > Рнас и Рз > Рг + Ру;
Поскольку присутствие пузырьков газа в жидкости уменьшает плотность, то давление на забое скважины, необходимое для фонтанирования газированной жидкости существенно меньше, чем при артезианском фонтанировании.
Давление на забое скважины определяется по ф-ле (1), в которой
Рг =
(2)где
- средняя плотность жидкости в скважине; Н – расстояние между забоем и устьем.Для наклонных скважин:
H = L · cosα (3)
где L – расстояние от забоя до устья вдоль оси наклонной скважины; α – средний угол кривизны скважины.
При движении жидкости по НКТ она охлаждается и ее плотность меняется.
(4)где ρз, ρу – плотность жидкости на устье и на забое скважины соответственно.
При фонтанировании обводненной нефти плотность жидкости подсчитывается:
ρз = ρн пл (1-n) + ρв пл · n (5)
ρу = ρн д (1-n) + ρв · n (6)
Ру определяется удаленностью скважины от групповой замерной установки или размером штуцера, устанавливаемого на выкидной линии фонтанирующей скважины для регулирования ее дебита.
Ртр определяется по следующей формуле:
(7)где L – длина колонны НКТ; υж – скорость жидкости.
(8)где Qн, Qв – дебит нефти и воды, приведенный к стандартным условиям; ρн, ρв – плотность н и в в стандартных условиях; вн, вв – объемные коэффициенты; f – площадь сечения НКТ.
Диаметр НКТ существенно влияет на Ртр, например при уменьшении Ø на 10% (покрытие эпоксидными смолами) Ртр возрастают в 1,6 раза.
Коэффициент сопротивления λ определяется через число Re по соответствующим формулам.
Λ зависит от режима течения, при Re < 1200 течение ламинарное, при Re > 2500 – турбулентное и при 1200 < Re < 2500 – переходная зона:
При ламинарном течении
(9)При турбулентном
(10)Для переходной зоны
(11)Приток жидкости из пласта в скважину
(12)Решая относительно Рз, получим
(13)При совместной работе пласта и фонтанного подъемника на забое скважины устанавливается Рз, определяющее такой приток жидкости, который фонтанные трубы будут в состоянии пропустить при данной глубине скважины, Ру, Ø НКТ и т.д. Для определения этого притока приравняем правые части уравнений (1) и (13):
(14)Левая часть равенства зависит от Q, т.к. Ртр и Ру зависят от Q, с увеличением расхода Ртр и Ру – увеличиваются. Рг не зависит от Q. Заменим Ртр и Ру на некоторую функцию f(Q), тогда получим:
(15)Из этого равенства надо найти Q. Для этого задаваясь различными Q вычисляем левую часть равенства:
А = Рг + f(Q) (16)
И правую часть
(17)Далее строятся два графика А(Q) и В(Q), с увеличением QА возрастает, а В уменьшается.
Точка пересечения линий А и В определит условие совместной работы пласта и фонтанного подъемника, т.е. дает дебит скважины Qc и соответствующее этому дебиту Рз.
При фонтанировании за счет энергии газа плотность столба ГЖС в фонтанных трубах мала, поэтому гидростатическое давление такой смеси будет меньше. Следовательно, и для фонтанирования скважины потребуется меньше забойное давление.
В зоне, где Р < Рнас, из нефти выделяется газ, причем этого газа становится больше, чем меньше давление, т.е. чем больше разница давлений ΔР = Рнас – Р. В данном случае фонтанирование будет происходить при давлении на забое скважины, превышающем давление насыщения (Рз > Рнас), и газ будет выделяться на некоторой высоте в НКТ.
Возможен другой случай, когда фонтанирование происходит при Рз > Рнас.
Очевидно, Рз в любом случае будет
Рз = Рб + Р (18)
где Рб – давление у башмака НКТ при фонтанировании скважины с постоянным дебитом.
Р = (H - L) · g· ρ
гидростатическое давление столба жидкости между башмаком и забоем (H - L)
Н – глубина скважины;
L – длина НКТ;
ρ – средняя плотность жидкости.
С другой стороны Рз может быть определено через уровень жидкости в межтрубном пространстве
Рз = Р1 + Р2 (19)
где Р1 = h · ρ · g – гидростатическое давление в межтрубном пространстве; Р2 = Рм + ΔР – давление газа, находящегося в межтрубном пространстве, на уровне жидкости; Рм – давление газа, находящегося в межтрубном пространстве на устье скважины; ΔР – гидростатическое давление столба газа от уровня до устья.
ΔР = (H - h) · ρг · g,
где ρг – средняя плотность газа в затрубном пространстве.
Рз = h · g · ρ + Рм + (H - h) · ρг · g, (20)
Таким образом, в скважине фонтанирующей с постоянным дебитом, давление Рз должно быть const. Поэтому необходимо, чтобы уменьшение h сопровождалось увеличением давления Рм и наоборот.
Рассмотрим 2 случая фонтанирования:
1) Рз < Рнас
В этом случае свободный газ имеется на самом забое скважины. Часть газа поступает в межтрубное пространство и накапливается там. Накопление газа в затрубном пространстве приводит к увеличению давления Рм и соответствующему понижению уровня жидкости h на такую величину, чтобы Рз согласно уравнения (20) оставалось бы const. Этот процесс продолжается до тех пор, пока уровень не опустится до башмака труб. В этом случае можно достаточно точно определить
Рб = Рм + (H - h) · ρг · g (21)
где
- плотность газа.Рз >Рб и определяется по формуле (18).
Таким образом, при Рз < Рнас уровень жидкости в затрубном пространстве обязательно должен устанавливаться на уровне башмака НКТ после выхода работы скважины на установившейся режим. Это справедливо, если нет утечки газа через затрубное пространство.
2) Рз > Рнас
В этом случае свободный газ не накапливается в затрубном пространстве. В самих трубах газ начинает выделяться на некоторой высоте, где Р = Рнас. Различным положениям уровня будет соответствовать различные Рм. Т.к. h меняется, то становится невозможным определение Рз по величине Рм.
Фонтанирование возможно в случае, если энергия, приносимая на забой жидкостью, равна или > энергии, необходимой для подъема этой жидкости на поверхность при условии, что подъемник работает на режиме наибольшего к.п.д. Полезная работа при подъеме 1м3 жидкости равна произведению веса жидкости на высоту подъема:
[Дж] (22)Вместе с нефтью на забой может поступать свободный газ, также при снижении давления происходит выделение газа из нефти. Общее кол-во газа, приходящееся на 1 м3 нефти, называется полным газовым фактором Г0. Газ, расширяясь, тоже совершает работу. Но эту работу совершает только свободный газ. Поэтому при подсчете работы расширения газа учитывается эффективный газовый фактор Гэф = Г0 – Граств.
По А.П.Крылову работа газа при изометрическом расширении