Парный коэффициент корреляции позволяет измерить степень тесноты статистической связи только между парой параметров без учета опосредованного или совместного влияния других исследуемых переменных. Вычисляются и оцениваются они только по результатам наблюдений пары переменных. Вычисляется парный коэффициент корреляции по формуле:
Kxy
p = ------------, (1)
бx б y
где p – парный коэффициент корреляции
Kxy – корреляционный момент исследуемых величин
бx и б y – среднеквадратические отклонения исследуемых
величин
Частный коэффициент корреляции позволяет оценить степень тесноты линейной связи между двумя параметрами, очищенной от опосредованного влияния других параметров, которое присутствует в величине парной корреляции. Для его расчета необходимы данные как по подлежащей анализу паре переменных, так и по всем переменным, опосредованное влияние которых необходимо устранить. Частный коэффициент корреляции вычисляется по формуле:
qjk
Rjk.1,2,...,m = ------------------, (2) ____
√qjj qkk
где qjk, qjj, qkk – алгебраические дополнения к соответствующим
элементам матрицы парных корреляций.
Следующим шагом корреляционного анализа является нахождение множественных коэффициентов корреляции, которые измеряют степень тесноты статистической связи любой формы между прибылью от продаж, с одной стороны, и совокупностью показателей себестоимости с другой. Расчет коэффициента множественной корреляции осуществляется по формуле:
__________
√ IqmI
Rj.1,2,...,m = 1 - ------------, (3)
qjj
где IqmI – определитель корреляционной матрицы
qjj – алгебраическое дополнение элемента rjj корреляционной матрицы
После того, как с помощью корреляционного анализа выявлены статистически значимые связи между переменными и оценка степени их тесноты, переходят ко второму этапу - математическому описанию конкретного вида зависимостей с использованием регрессионного анализа.
Регрессионной моделью системы взаимосвязанных признаков является такое уравнение регрессии, которое включает основные факторы, влияющие на вариацию результативного признака, обладает высоким коэффициентом детерминации и коэффициентом регрессии, интерпретируемыми в соответствии с теоретическим знанием о природе связей в изучаемой системе. Задача решалась в два этапа с использованием программы «СтатЭксперт» в режиме «Регрессия». На первом шаге выполнялся выбор модели с использованием режима пошаговой регрессии. Суть метода пошаговой регрессии заключается в последовательном включении переменных в уравнение регрессии. На первом шаге строится регрессия зависимой переменной от переменной, которая имеет наибольшее значение коэффициента корреляции. Для каждой переменной регрессии, за исключением тех, которые уже включены в модель, рассчитывается величина С(j), равная относительному уменьшению суммы квадратов зависимой переменной при включении фактора в модель. Эта величина интерпритируется как доля оставшейся дисперсии независимой переменной, которую объясняет i-ая переменная. Пусть на очередном шаге, i-ая переменная Хi имеет максимальное значение величины С. Если С(i) меньше заранее заданной константы, характеризующей уровень отбора (в нашем случае + 0,010), то построение модели прекращается. В противном случае i-я переменная вводится в модель.
Основной задачей линейного регрессионного анализа является установление формы связи между параметрами. Под линейностью здесь имеется в виду, что переменная Y предположительно находится под влиянием переменной Х в следующей зависимости:
m
Yi = a0 + ∑ai Хij + εi, (4)
j=1
где Yi – зависимая переменная (прибыль от продаж)
a0 – постоянная величина (или свободный член уравнения)
aj – коэффициент регрессии
Хi – независимая переменная (статьи затрат)
εi – независимо нормально распределенная случайная величина – остаток (помеха)
m – количество наблюдений
Функция (4) называется функцией (уравнением) регрессии, а метод статистического анализа зависимой случайной величины Y от неслучайных переменных Хi называется регрессионным анализом.
Вспомогательными задачами регрессионного анализа являются:
выбор наиболее информативных аргументов Хi;
оценивание неизвестных значений параметров aj уравнения связи (4) и анализа его точности.
Экономико-математическое моделирование прибыли предприятия
Постановка задачи
Рассматривается работа торгового предприятия в 1998 – 2000 годах. Основным критерием оценки работы предприятия является прибыль. Для исследования были выбраны 3 фактора, которые приводятся в таблице 5.
Таблица 5
Факторы оценки работы предприятия
1 квартал 1998
2 квартал 1998
3 квартал 1998
4 квартал 1998
1 квартал 1999
2 квартал 1999
3 квартал 1999
4 квартал 1999
Прибыль
2325
4598
6128
8241
11456
13587
16012
17995
Покупатели и заказчики
500
1500
2556
3000
10006
25025
54621
97320
Векселя к получению
102000
85463
68321
51220
39653
29564
16520
0
Прочие дебиторы
102
76
66
57
48
36
23
0
Корреляционно-регрессионный анализ
В таблице 6 приводится матрица парных корреляций всех наблюдаемых переменных.
Таблица 6
Матрица парных корреляций
Прибыль
Покупатели и заказчики
Векселя к получению
Прочие дебиторы
Прибыль
1
Покупатели и заказчики
0,858726
1
Векселя к получению
-0,99022
-0,82849
1
Прочие дебиторы
-0,98054
-0,87382
0,987398
1
Таблица 7
Номер собственного числа
Собственное число
% полной дисперсии
Сумма собственных чисел
Накопленный %
1
3,763336
94,0834
3,763336
94,0834
2
0,213456
5,336397
3,976792
99,4198
Как видно из корреляционной таблицы, прибыль коррелирует со всеми параметрами.
Для выявления наиболее значимых показателей и объединения их был произведён факторный анализ по методу главных компонент и главных факторов.
Сначала были вычислены собственные числа и собственные значения матрицы корреляций. На рисунке 1 приводится график распределения собственных чисел.
Сущность экономико-математического моделирования в планировании прибыли заключается в том, что оно позволяет найти количественное выражение взаимосвязей между прибылью и факторами, ее определяющими. Эта связь выражается через экономико-математическую модель. Экономико-математическая модель представляет собой математическое описание экономического процесса (процесса формирования прибыли), т. е. описание факторов, определяющих прибыль. Модель может строиться на функциональной или корреляционной модели. Функциональная связь выражается уравнением вида
У=f (x),
где у - прибыль; х - факторы, определяющие прибыль.
Корреляционная связь (вероятная) показывается уравнением регрессии различного вида. Для построения модели необходимо взять данные за 5 лет или квартальные за 1-2 года. Целесообразно в целях повышения уровня научно обоснованного планирования разрабатывать несколько вариантов, исходя из раз- личных условий с последующим отбором оптимального.
Процесс разработки плана прибыли с применением экономико-математической модели включает 5 этапов, которые схематично представлены на схеме.
| Подбор исходной информации и оценка отчетных данных | Построение экономико-математической модели | Решение модели | Экспертная оценка прогнозных показателей | Принятие плановых решений, выбор оптимального варианта |
Схема. Этапы разработки прогноза прибыли с применением экономико-ма-тематической модели
Сущность метода оптимизации плановых решении заключается в разработке нескольких вариантов плановых расчетов с тем, чтобы выбрать лучший. При этом могут применяться разные критерии выбора:
-минимум приведенных затрат;
-максимум приведенной прибыли:
-минимум вложения капитала при наибольшей эффективности результата;
-минимум плановых (текущих) затрат:
-ускорение оборачиваемости оборотных средств (минимум времени на оборот капитала);
-максимум прибыли на 1 рубль вложенного капитала:
-максимум валового дохода на 1 рубль вложенного капитала.
Прогнозируемый размер прибыли можно определить исходя из использования в расчетах значения маржинального дохода:
П=Дм- H, или П = В х Ду - Н .
Эту формулу можно использовать для определения прибыли от реализации, если известны общая сумма маржинального дохода и постоянных расходов или удельного веса маржинального в валовом доходе или в объеме товарооборота. Если известны удельные веса маржинального дохода в выручке от продаж (валовом доходе) каждого вида продукции в общей сумме выручки от продаж, средний удельный вес маржинального дохода подсчитывается как средневзвешенная величина.
Пример. Фирма реализует три сорта сыра. Удельный вес маржинального дохода имеет следующие значения 0,5, 0,7, 0,8. Общая сумма продажи сыров составляет 30 млн р. Удельный вес реализации сыра «А» - 25 %, сыра «Б» -35 %, сыра <сВ» - 40 %. Тогда средний удельный вес маржинального дохода в общей сумме товарооборота составит:
Ду = (0,5 х 25 + 0,7 х 35 + 0,8 х 40)/100 = (12,5 + 24,5 + 32)/100 =0,69 %
Тогда прибыль от реализации при постоянных расходах в размере 3,5 млн р. и переменных, включая стоимость товара, 20 млн р. составит:
П= (30-20) х 0,69-3,5= 3,4 млн. р.
Если не ожидается серьезных изменений в прогнозируемом периоде, для прогнозирования прибыли можно использовать те же удельные веса маржинального дохода.
На практике часто возникает вопрос, при каком количестве реализуемой продукции и при какой цене можно обеспечить получение максимальной прибыли.
В этих целях целесообразно использовать теорию предельной полезности. Например,выберем вариант, в наибольшей степени отвечающий требованию максимизации прибыли. Оптимальным объемом реализации, который принесет максимальную прибыль, будет объем в 6 условных единиц. При этом активное наращивание прибыли начинается с 4-й единицы. Прибыль увеличивается, пока предельные издержки снижаются. Когда предельные издержки начинают возрастать, прибыль продолжает еще определенное время повышаться, пока предельные издержки не превысят предельный валовой доход.