Актуальные расчеты в страховании (стр. 6 из 7)
5А40=(374*0.97087+399*0.94260+427*0.91514+458*0.88849+492*0.86261)*100/92246= 2130 руб
Таким образом, страховая сумма составляет 100000 руб, ее страховая стоимость равна 2130 руб. При выплате по случаю смерти застрахованного все недостающие средства перераспределяются из взносов тех, кто дожил до окончания срока страхования, к ним добавляется доход от процентов.
Представим формулу в общем виде:
где пАх - единовременная нетто-ставка по страхованию на случай смерти для лица в возрасте х лет сроком на п лет.
dx, dx+1 ,..., dx+п-1 -числа умирающих в течении срока страхования,
V - дисконтирующий множитель, S - страховая сумма.
Рассмотрим теперь принципы построения единовременных ставок по страхованию пенсии или ренты.
Страхование ренты - это вид личного страхования, по которому страховщик обязуется уплачивать застрахованному лицу в установленные сроки регулярный доход. Одной из самых распространенных разновидностей такого страхования является страхование пенсии.
Страхование ренты бывает пожизненным или временным, немедленным или отсроченным, в зависимости оттого, выплачивается регулярный доход сразу после уплаты взносов или по истечении обусловленного периода.
Для вывода соответствующих формул применим следующий ход рассуждений. Допустим, что страховая организация обязалась выплачивать застрахованному лицу в возрасту х лет в течении всей его жизни ежегодно определенную денежную сумму и что эта выплата будет производиться с первого же года страхования в начале каждого года. Ее размер составляет 100000 руб. Предположим далее, что договоры заключили все лица в возрасте х лет. Тогда первая выплата будет произведена всем лицам lх немедленно после заключения договора страхования и составит lх руб.
Во втором году будет выплачено lх+1 руб. С момента заключения договора современная стоимость выплаты равна lx+1V руб.
Современная стоимость выплаты третьего года равна lx+2V2 руб, четвертого - lx+3V3, пятого и так далее. Последняя выплата будет спустя w-х лет, где w - предельный возраст таблицы смертности. Современная стоимость последней выплаты lwVw-x руб.
Современная стоимость финансовых обязательств страховщика, относящихся ко всем lx лицам, выразится суммой:
lх+ lх+1V+ lх+2V2+...+ lwVw-x.
Чтобы получить современную стоимость взаимных обязательств страховщика и страхователя по отношению к одному лицу, то есть найти единовременную нетто-ставку по страхованию пожизненной ренты - пренумерандо, то есть выплачиваемой застрахованному лицу в начале каждого страхового года, надо эту сумму поделить на число лиц, вступивших в страхование:
wax=(lх+ lх+1V+ lх+2V2+...+ lwVw-x)/lx
где wax - единовременная нетто-ставка по страхованию пожизненной ренты (пенсии) - пренумерандо.
Если рента выплачивается не пожизненно, а в течении определенного числа лет в начале каждого страхового года (пренумерандо) формула приобретет вид:
nax=(lх+ lх+1V+ lх+2V2+...+ lx+n-1Vn-1)/lx
если же в конце страхового года (постнумерандо):
nax=( lх+1V+...+ lx+nVn)/lx
3.6. Методика перехода от единовременной к годичной нетто-ставке.
Ранее при расчетах нетто-ставки мы предполагали, что сумма подлежащих уплате взносов погашается единовременно в момент заключения договора страхования. Однако случаи единовременной оплаты страховых взносов практически встречаются редко. Большинству страхователей удобнее вносить платежи в течении всего срока страхования. Для этого исчисляются годичные нетто-ставки.
Уплачивая страховой взнос единовременно, страхователь расходует меньше денег, чем при уплате взносов в течении нескольких лет. Во-первых, при единовременной уплате большая денежная сумма поступает сразу в хозяйственный оборот и на нее нарастают проценты. При годичных же взносах часть дохода, получаемого за счет процентов, теряется и, следовательно, годичные ставки не могут быть заранее уменьшены на такую же величину, как единовременные. Во-вторых, при единовременном взносе все страхователи уплачивают свои взносы, при годичной же уплате по ряду договоров взносы не будут уплачены полностью, поскольку часть застрахованных умирает в течении срока страхования.
Следовательно, исчисляя размер годичной нетто-ставки, нельзя механически поделить единовременную ставку на число лет страхования. Нужно осуществить особый расчет с тем чтобы годичные ставки учитывали как потерю дохода на процентах, так и уменьшение числа застрахованных вследствии смертности.
Переход от единовременной нетто-ставки к годичной осуществляется посредством применения коэффициентов рассрочки.
Обычно условия страхования, предоставляют страхователю право помесячной уплаты взносов, ориентируются на возможность погашения полной суммы годичного взноса к концу страхового года. В ходе дальнейших рассуждений этот факт надо будет иметь ввиду.
Каким должен быть размер ежемесячного взноса? Представим, что все 40-летние лица (см. Таблицу смертности) обязались в конце каждого года страхования в течении 5 лет вносить страховой организации 10 000 руб. Тогда в конце первого года будет внесено 922 460 000 руб (l41*10 000 руб). Современная стоимость этой суммы равна lх+1V, то есть 922 460 000 руб * 0,97087, современная стоимость взносов второго года - lx+2V2, третьего - lx+3V3, п-го года - lx+nVn. Для каждого из вступивших в страхование сумма современных стоимостей годичных взносов составит:
(lx+1V+...+lx+nVn)/lx
Выше мы получили формулу для исчисления временной ренты - постнумерандо, которая послужит коэффициентом рассрочки:
nax=
Коэффициент рассрочки (рента - постнумерандо или пренумерандо) представляет собой стоимость взносов в размере 10 000 руб, производимых в течении определенного срока в конце или начале каждого страхового года.
В таблице 5 приведены коэффициенты рассрочки.
Таблица 5.
| Срок уплаты, лет | Возраст, лет (х) | ||||||
| 20 | 30 | 40 | 50 | ||||
| 5 | 4.55 | 4.54 | 4.51 | 4.45 | |||
| 10 | 8.45 | 8.41 | 8.30 | 8.06 | |||
| 15 | 11.77 | 11.67 | 11.43 | 10.91 | |||
| 20 | 14.59 | 14.41 | 13.96 | 13.07 | |||
Теперь рассчитаем годичные ставки.
Единовременная нетто-ставка, как было показано ранее, равна современной стоимости финансовых обязательств страховщика и страхователя. При единовременной оплате страхователь все свои финансовые обязательства выполняет в момент заключения договора. При годичных взносах он рассчитывается со страхователем постепенно. Очевидно, что общая сумма годичных взносов должна быть эквивалентна единовременному взносу. Однако она не равна ему в связи с двумя обстоятельствами. Во-первых, в течении срока страхования будет нарастать доход в виде процентов (i), во-вторых, часть страхователей не сможет полностью расплатиться вследствии смертности. Иначе говоря, единовременная нетто-ставка является современной стоимостью суммы годичных взносов, поскольку это рассроченные финансовые обязательства страхователя.
Мы установили, что современная стоимость годичного взноса в 10 000 руб представляет собой коэффициент рассрочки. Отсюда можно составить следующую пропорцию. Искомый годичный взнос так относится к 10 000 руб, как современная стоимость всех годичных взносов в размере 10 000 руб (коэффициенту рассрочки), или
nPx : 1=nEdx : nax
где пРх - годичный взнос
пЕдх - единовременный взнос
пах - коэффициент рассрочки
Следовательно,
nPx=
то есть годичная нетто-ставка равна единовременной, деленной на коэффициент рассрочки, и наоборот, единовременная ставка равна годичной, умноженной на коэффициент рассрочки.
Абсолютные значения коэффициентов рассрочки близки к значению п - срока страхования, но несколько ниже его. В результате размеры годичных ставок получаются более высокими, чем если бы мы просто делили единовременную ставку на количество лет страхования. Таким путем возмещаются потери на процентах и учитывается постепенное уменьшение числа лиц, производивших взносы.
Применив коэффициент рассрочки, исчислим годичные ставки для лица в возрасте 40 лет , заключившего договор страхования на 5 лет на сумму 100 000 руб. Годичная нетто-ставка по дожитию равна 18680 руб (84250 руб : 4,51): на случай смерти - 470 руб. (2130 коп: 4,51).
Поделив единовременные нетто-ставки на коэффициент рассрочки через коммутационные числа, получим рабочие формулы для исчисления годичных нетто-ставок постнумерандо:
на дожитие nPx=
на случай смерти nPx=
из приведенных в таблице 6 примеров видна закономерность изменения размеров нетто-ставок под влиянием вступительного возраста застрахованного и срока страхования.
Таблица 6.
| Вступительный возраст застрахованного, лет | Нетто-ставка по страхованию, руб | ||
| на дожитие | на случай смерти | ||
| Срок страхования 5 лет | |||
| 20 | 18.76 | 0.16 | |
| 30 | 18.73 | 0.25 | |
| 40 | 18.68 | 0.47 | |
| 50 | 18.42 | 0.99 | |
| 60 | 18.00 | 2.03 | |
| Срок страхования 10 лет | |||
| 20 | 8.64 | 0.18 | |
| 30 | 8.59 | 0.29 | |
| 40 | 8.45 | 0.56 | |
| 50 | 8.16 | 1.20 | |
| 60 | 7.59 | 2.45 | |
Таким образом, чем моложе застрахованный, тем выше нетто-ставка на дожитие и тем ниже по страхованию на случай смерти. При этом размер ставок на дожитие в несколько раз превышает ставки на случай смерти. Однако эта разница по мере увеличения возраста уменьшается. Так, при 5-летнем сроке для 20-летнего лица нетто-ставка по дожитию равна 18760 руб , а по страхованию на случай смерти - лишь 160 руб. Для 60-летнего лица они соответственно равны 18000 руб. И 2030 руб.