Смекни!
smekni.com

Системы счисления

  1. Происхождениеи история развитиясистем счисления

1.1 Границы счета


Наранних ступеняхразвития обществалюди почти неумели считать.Они отличалидруг от другасовокупностидвух и трехпредметов;всякая совокупность,содержавшаябольшее числопредметов,объединяласьв понятии «много».Это был еще несчет, а лишьего зародыш.

Впоследствииспособностьразличать другот друга небольшиесовокупностиразвивалась;возникли словадля обозначенийпонятий «четыре»,«пять», «шесть»,«семь». Последнееслово длительноевремя обозначалотакже неопределеннобольшое количество.Наши пословицысохранилипамять об этойэпохе («семьраз отмерь –один раз отрежь»,«у семи нянекдитя без глазу»,«семь бед –один ответ»и т.д.).

Сусложнениемхозяйственнойдеятельностилюдей понадобилосьвести счет вболее обширныхпределах. Дляэтого человекпользовалсяокружавшимиего предметами,как инструментамисчета: он делалзарубки напалках и надеревьях, завязывалузлы на веревках,складывалкамешки в кучкии т.п. Такой видсчета носитназвание унарнойсистемы счисления,т.е. системасчисления, вкоторой длязаписи числаприменяетсятолько одинвид знаков. Этоудобно, так каксразу визуальноопределяетсяколичествознаков и сопоставляетсяс количествомпредметов,которые этизнаки обозначают.Все мы ходилив первый класси считали тамна счетныхпалочках – этоотзвук тойдалекой эпохи.Кстати, от счетас помощью камешковведут своеначало различныеусовершенствованныеинструменты,как, например,русские счеты,китайские счеты(«сван-пан»),древнеегипетский«абак» (доска,разделеннаяна полосы, кудаклались жетоны).Аналогичныеинструментысуществовалиу многих народов.Более того, влатинском языкепонятие «счет»выражаетсясловом «calculatio»(отсюда нашеслово «калькуляция»);а происходитоно от слова«calculus»,означающего«камешек».

Особоважную рольиграл природныйинструментчеловека – егопальцы. Этотинструментне мог длительнохранить результатсчета, но затовсегда был «подрукой» и отличалсябольшой подвижностью.Язык первобытногочеловека былбеден; жестывозмещалинедостатокслов, и числа,для которыхеще не былоназваний,«показывались»на пальцах.

Поэтому,вполне естественно,что вновь возникавшиеназвания «больших»чисел частостроились наоснове числа10 – по количествупальцев наруках; у некоторыхнародов возникалитакже названиячисел на основечисла 5 – поколичествупальцев наодной руке илина основе числа20 – по количествупальцев наруках и ногах.

Напервых порахрасширениезапаса чиселпроисходиломедленно. Сначалалюди овладелисчетом в пределахнесколькихдесятков и лишьпозднее дошлидо сотни. У многихнародов число40 долгое времябыло пределомсчета и названиемнеопределеннобольшого количества.В русском языкеслово «сороконожка»имеет смысл«многоножка»;выражение«сорок сороков»означало встарину число,превосходящеевсякое воображение.

Наследующейступени счетдостигаетнового предела:десяти десятков,и создаетсяназвание длячисла 100. Вместес тем слово«сто» приобретаетсмысл неопределеннобольшого числа.Такой же смыслприобретаютпотом последовательночисла тысяча,десять тысяч(в старину эточисло называлось«тьма»), миллион.

Насовременномэтапе границысчета определенытермином«бесконечность»,который необозначаеткакое либоконкретноечисло.


1.2 Десятичнаясистема счисления


Всовременномрусском языке,а также в языкахдругих народовназвания всехчисел до миллионасоставляютсяиз 37 слов, обозначающихчисла 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90,100, 200, 300, 400, 500, 600, 700, 800, 900, 1000 (например,восемьсотпятнадцатьтысяч тристадевяносточетыре). В своюочередь названияэтих 37 чисел,как правило,образованыиз названийчисел первогодесятка (1, 2, 3, 4, 5, 6,7, 8, 9) и чисел 10, 100, 1000(например, 18 =восемь на десять,30 = тридесятьи т.д.). В основеэтого словообразованиялежит числодесять, и поэтомунаша системанаименованийназываетсядесятичнойсистемой счисления.

Изупомянутогоправила в разныхязыках имеютсяразличныеисключения,объясняющиесяисторическимиособенностямиразвития счета.В русском языкеединственнымисключениемявляется наименование«сорок». Этоисключениеможно поставитьв связь с тем,что число 40 игралонекогда особуюроль, означаянеопределеннобольшое количество.

Втюркских языках(узбекском,казахском,татарском,башкирском,турецком и др.)исключениесоставляютнаименованиячисел 20, 30, 40, 50, тогдакак названиячисел 60, 70, 80, 90 образованыиз наименованийдля 6, 7, 8, 9. Во французскомязыке сохранилисьнедесятичныеназвания чисел20 и 80, причем 80именуетсяquatrevingt,т.е. «четыредвадцать».Здесь мы имеемостаток древнегодвадцатеричногосчисления (почислу пальцевна руках и ногах).В латинскомязыке наименованиечисла 20 тоженедесятичное(viginti).Наименованиячисел 18 и 19 образованыиз названия20 с помощьювычитания: 20–2и 20–1 (duodeviginti,undeviginti,т.е. «два отдвадцати»,«один от двадцати»).


1.3 Развитие понятиячисла


Присчете отдельныхпредметовединица естьнаименьшеечисло; делитьее на доли ненужно, а частои невозможно(при счете камнейприбавлениек двум камнямполовины третьегодает три камня,а не два с половиной).Однако делитьединицу на долиприходитсяуже при грубыхизмеренияхвеличин, напримерпри измерениидлины шагами(два с половинойшага и т.д.). Поэтомууже в отдаленныеэпохи создалосьпонятие дробногочисла.

Так,в вавилонскойсистеме мервеса (и денег)1 талант составлял60 мин, а одна мина– 60 шекелей.Соответственнос этим в вавилонскойматематикешироко употреблялисьшестидесятиричныедроби. В древнеримскойвесовой (и денежной)системе 1 ассделился на 12унций; сообразнос этим римлянепользовалисьдвенадцатиричнымидробями.

Наши«обыкновенныедроби» широкоупотреблялисьдревними грекамии индийцами.Правила действийс дробями, изложенныеиндийскимученым Брамагуптой(VIIIвек н.э.), лишьнемногим отличаютсяот наших. Нашазапись дробейтоже совпадаетс индийской;только дробнойчерты индийцыне писали; грекизаписывалисверху знаменатель,а снизу числитель.

Индийскойобозначениедробей и правиладействий надними были усвоеныв IXвеке в мусульманскихстранах благодаряузбекскомуученому МухаммедуХорземскому(аль-Хваризми).Они были перенесеныв ЗападнуюЕвропу итальянскимкупцом и ученымЛеонардо Фибоначчииз Пизы (XIIIвек).

Нарядус «обыкновенными»дробями до XVIIвека применялись(преимущественнов астрономии)шестидесятиричныедроби. Они быливытесненыдесятичнымидробями, введеннымиголландскимкупцом и выдающимсяинженером-ученымСимоном Стевином(1548 - 1620).

Вдальнейшемоказалосьнеобходимымеще большерасширитьпонятие числа;последовательнопоявились числаиррациональные,отрицательныеи комплексные.

Довольно позднок семье чиселприсоединилсянуль. Первоначальнослово «нуль»означало отсутствиечисла (буквальныйсмысл латинскогослова nullum– «ничто»). Длятого чтобы это«ничто» считатьчислом, появилисьоснования лишьв связи с рассмотрениемотрицательныхчисел.

1.4 Системынумерациинекоторыхнародов


1.4.1 Древнегреческаянумерация


Вдревнейшеевремя в Грециибыла распространенат.н. аттическаянумерация.Числа 1, 2, 3, 4 обозначалисьчерточками

,
,
,
.Число 5 записывалосьзнаком
(древнее начертаниебуквы «пи», скоторой начинаетсяслово «пенте»– пять); числа6, 7, 8, 9 обозначались
,
,
,
.Число 10 обозначалось
(начальнойбуквой слова«дека» – десять).Числа 100, 1000 и 10000обозначались
,
,
.Числа 50, 500, 5000 обозначалиськомбинациямизнаков 5 и 10, 5 и100, 5 и 1000. Общую записьчисел в аттическойнумерациииллюстрируетпример 1.1.

Пример1.1 Записьчисел в аттическойсистеме счисления


,

,

,

.

Втретьем векедо н.э. аттическаянумерация былавытеснена такназываемойионийскойсистемой.В ней числа 1 –9 обозначалисьпервыми девятьюбуквами алфавита;числа 10, 20, 30, … , 90 –следующимидевятью буквами;числа 100, 200, … , 900 –последнимидевятью буквами.


Таблица1.1 Обозначениечисел в ионийскойсистеме нумерации


Обозна-

Чение

Название Значе-ние Обозна-чение Название Значе-ние Обозна-чение Назва-ние Значе-ние

Альфа 1

Йота 10

Ро 100

Бета 2

Каппа 20

Сигма 200

Гамма 3

Лямбда

30

Тау 300

Дельта 4

Мю 40

Ипсилон

400

Эпсилон

5

Ню 50

Фи 500

Фауб 6

Кси 60

Хи 600

Дзета 7

Омикрон 70

Пси 700

Эта 8

Пи 80

Омега 800

Тэта 9
Коппа 90
Сампи 900

Следуетотметить, чтобуквы «фау»,«коппа» и «сампи»отсутствуютв современномгреческомалфавите.

Дляобозначениятысяч и десятковтысяч пользовалисьтеми же цифрамис добавлениемособого значка` сбоку.

Для отличияцифр от букв,составлявшихслова, писаличерточки надцифрами. Обозначениечисел в ионийскойнумерациипредставленыв таблице 1.1, апримеры написанияразличных чиселв примере 1.2.


Пример1.2 Записьчисел в ионийскойсистеме счисления


,

,

,

,

.

Такую жеалфавитнуюнумерацию имелив древностиевреи, арабыи многие другиенароды БлижнегоВостока.


1.4.2 Славянскаянумерация


Южныеи восточныеславянскиенароды длязаписи чиселпользовалисьалфавитнойнумерацией.У одних славянскихнародов числовыезначения буквустановилисьв порядке славянскогоалфавита, удругих же (втом числе урусских) рольцифр игралине все буквы,а только те,которые имеютсяв греческомалфавите. Надбуквой, обозначавшейцифру, ставилсяспециальныйзначок:

(«титло»).

Таблица1.2 Обозначениечисел в древнеславянскойсистеме нумерации


Обозна-чение Название Значе-ние Обозна-чение Название Значе-ние Обозна-чение Назва-ние Значе-ние

Аз 1

И 10

Рцы 100

Веди 2

Како 20

Слово 200

Глаголь 3

Люди 30

Твердо 300

Добро 4

Мыслите 40

Ук 400

Есть 5

Наш 50

Ферт 500

Зело 6

Кси 60

Хер 600

Земля 7

Он 70

Пси 700

Иже 8

Покой 80

Омега 800

Фита 9

Червь 90

Цы 900

В Россииславянскаянумерациясохраниласьдо конца XVIIвека. При ПетреIвозобладалатак называемая«арабскаянумерация»,которой мыпользуемсяи сейчас. Славянскаянумерациясохраняласьтолько в богослужебныхкнигах. В таблице1.2 приведеныславянскиецифры.

При записичисел, больших10, цифры писалисьслева направов порядке убываниядесятичныхразрядов (однакоиногда длячисел от 11 до19 единицы записывалисьранее десяти).Для обозначениятысяч передчислом их (слевавнизу) ставилсяособый знак

.

Пример 1.3иллюстрируетнаписание чиселв славянскойсистеме нумерации.


Пример1.3 Записьчисел в древнеславянскойсистеме счисления


,

,

,

.

1.4.3 Римскаянумерация


Древниеримляне пользовалисьнумерацией,которая сохраняетсядо настоящеговремени подименем «римскойнумерации».Мы пользуемсяей для обозначениявеков, юбилейныхдат, наименованиясъездов иконференций,для нумерацииглав книги илистроф стихотворения.

Впозднейшемсвоем видеримские цифрывыглядят так:

,
,
,
,
,
,
.

Вримской нумерацииявственносказываютсяследы пятиричнойсистемы счисления.В языке же римлян(латинском)никаких следовпятиричнойсистемы нет.Значит, этицифры былизаимствованыримлянами удругого народа(предположительноу этрусков).

Всецелые числа(до 5000) записываютсяс помощью повторениявышеприведенныхцифр. При этом,если большаяцифра стоитперед меньшей,то они складываются,если же меньшаястоит передбольшей (в этомслучае она неможет повторяться),то меньшаявычитаетсяиз большей.Подряд однаи та же цифраставится неболее трех раз.Рассмотримпримеры.


Пример1.4 Записьчисел римскимицифрами


,

,

,

.

Выполнениеарифметическихдействий надмногозначнымичислами в этойзаписи оченьгромоздко итрудно. Тем неменее римскаянумерацияпреобладалав Италии доXIIIвека, а в другихстранах ЗападнойЕвропы - до XVIвека.


1.4.4 Вавилонскаяпоместнаянумерация


Вдревнем Вавилонепримерно за40 веков до нашеговремени создаласьпоместная(позиционная)нумерация,т.е. такой способизображениячисел, при которомодна и та жецифра можетобозначатьразные числа,смотря по месту,занимаемомуэтой цифрой.Наша теперешняянумерация -тоже поместная,однако в вавилонскойпоместнойнумерации туроль, которуюиграет у насчисло 10, игралочисло 60, и потомуэту нумерациюназываютшестидесятиричной.Числа, меньшие60, обозначалисьс помощью двухзнаков: дляединицы

и для десятка
.Они имеликлинообразныйвид, так каквавилонянеписали на глиняныхдощечках палочкамитреугольнойформы. Эти знакиповторялисьнужное числораз. При отсутствиипромежуточногоразряда применялсязнак
.Запись чиселдо 60 показанав примере 1.5. Способобозначениячисел, больших60 сведен в таблицу1.3.

Пример1.5 Записьвавилонскойклинописьючисел до 60


,


,

,

.

Таблица1.3 Записьвавилонскойклинописьючисел, больших60


Обозначение Значение Способобразования

302

1295

3725

7203


Шестидесятиричнаязапись целыхчисел не получилараспространенияза пределамиассиро-вавилонскогоцарства, ношестидесятиричныедроби прониклидалеко за этипределы: в страныСреднего Востока,Средней Азии,в СевернуюАфрику и ЗападнуюЕвропу. Онишироко применялись,особенно вастрономии,вплоть до изобретениядесятичныхдробей. Следышестидесятиричныхдробей сохраняютсяи поныне в деленииуглового идугового градуса(а также часа)на 60 минут и минутына 60 секунд.


1.4.5 Индийскаяпоместнаянумерация


В различныхобластях Индиисуществовалиразнообразныесистемы нумерации.Одна из нихраспространиласьпо всему мируи в настоящеевремя являетсяобщепринятой.В ней цифрыимели вид начальныхбукв соответствующихчислительныхна древнеиндийскомязыке – санскрите(алфавит «деванагари»).

Первоначальноэтими знакамипредставлялисьчисла 1, 2, 3, … , 9, 10, 20,30, … , 90, 100, 1000; с их помощьюзаписывалисьдругие числа.Впоследствиибыл введенособый знак(жирная точкаили кружок) дляуказания пустующегоразряда; знакидля чисел, больших9, вышли из употребления,и нумерация«деванагари»превратиласьв десятичнуюпоместнуюсистему. К серединеVIIIвека позиционнаясистема нумерацииполучает вИндии широкоеприменение.Примерно в этовремя она проникаети в другие страны(Индокитай,Китай, Тибет,в Иран и др.).Решающую рольв распространениииндийскойнумерации варабских странахсыграло руководство,составленноев начале IXвека узбекскимученым Мухаммедомиз Хорезма(аль-Хваризми).Оно было переведенов ЗападнойЕвропе на латинскийязык в XIIвеке. В XIIIвеке индийскаянумерацияполучает преобладаниев Италии. В другихстранах ЗападнойЕвропы онаутверждаетсяв XVIвеке. Европейцы,заимствовавшиеиндийскуюнумерацию отарабов, называлиее «арабской».Это историческинеправильноеназвание удерживаетсяи поныне.

Из арабскогоязыка заимствованои слово «цифра»(по-арабски«сыфр»).

Формаиндийских цифрпретерпеваламногообразныеизменения. Таформа, в котороймы их пишемсейчас, установиласьв XVIвеке.


2 Основныепонятия и определения


Выше мы говорилио системахсчисления, невдаваясь вподробностиэтого понятия.Каково же научноеопределениесистемы счисления?

Системойсчисленияназывают системуприемов и правил,позволяющихустанавливатьвзаимно-однозначноесоответствиемежду любымчислом и егопредставлениемв виде совокупностиконечного числасимволов. Множествосимволов,используемыхдля такогопредставления,называют цифрами.

Взависимостиот способаизображениячисел с помощьюцифр системысчисленияделятся напозиционныеи непозиционные.

Внепозиционныхсистемах любоечисло определяетсякак некотораяфункция отчисленныхзначений совокупностицифр, представляющихэто число. Цифрыв непозиционныхсистемах счислениясоответствуютнекоторымфиксированнымчислам. Примернепозиционнойсистемы –рассмотреннаяранее римскаясистема счисления.Дpевние египтянепpименяли системусчисления,состоящую изнабоpа символов,изобpажавшихpаспpостpаненныепpедметы быта.Совокупностьэтих символовобозначалачисло. Расположение их в числе неимело значения,отсюда и появилосьназвание.

Историческипервыми системамисчисления былиименно непозиционныесистемы. Однимиз основныхнедостатковявляется трудностьзаписи большихчисел. Записьбольших чиселв таких системахлибо оченьгромоздка, либоалфавит системычрезвычайновелик.

Ввычислительнойтехнике непозиционныесистемы неприменяются.

Системусчисленияназывают позиционной,если одна и таже цифра можетприниматьразличныечисленныезначения взависимостиот номера разрядаэтой цифры всовокупностицифр, представляющихзаданное число.Пример такойсистемы – арабскаядесятичнаясистема счисления.

Количестваи количественныесоставляющие,существующиереально могутотображатьсяразличнымиспособами. Вобщем случаев позиционнойсистеме счислениячисло N может бытьпредставленокак:

,где: (2.1)

основаниесистемы счисления(целое положительноечисло, равноечислу цифр вданной системе);

– любыецифры из интервалаот нуля до
.

Основаниепозиционнойсистемы счисленияопределяетее название.В вычислительнойтехнике применяютсядвоичная,восьмеричная,десятичнаяи шестнадцатеричнаясистемы. Вдальнейшем,чтобы явноуказать используемуюсистему счисления,будем заключатьчисло в скобкии в нижнем индексеуказыватьоснованиесистемы счисления.

Каждойпозиции в числесоответствуетпозиционный(разрядный)коэффициентили вес.Покажем этона примередесятичногочисла:


Пример2.1 Способобразованиядесятичногочисла


Для десятичнойсистемы соответствиямежду позициейи весом следующее:

(2.2)

вобщем случае: