Геодезические опорные сети. Упрощенное уравнивание центральной системы (стр. 3 из 5)

2. Линейные измерения повышенной точности обеспеччивают точность с ошибкой 1:5000-1:25000. выполняются измерения также базисными приборами с подвешенными проволоками (лентами) и светодальномерами. Этот тип измерений применяется для создания сетей сгущения.

3. Линейные измерения технической точности с ошибкой 1:2000-1:3000 выполняются мерной лентой или дальномерами двойного изобтажения.

Измерения длины линии мерной лентой.

При измерении линий мерными лентами их укладывают по земле на ровной местности. При вешении линии с створе в землю забивают толщиной 4-6 см с интервалами, равными длине ленты. На торцах кольев наносят штрих крестик. Ленту укладывают на землю и берут отсчеты З и П. Длина пролета

t=t₀+П-З

Производят навелирование кольев и измеряют температуру. Общую длину линии также, как и проволокой

D=t₀n+S(П-З)+at₀S(t-t₀)-S(n₂/2t₀)

Штриховой лентой линию измеряют следующим образом. Провешивают линию теодолитом и в створе ставят вехи, примерно через 200 м. В створе забивают колья толщиной 6-8 см с интервалами, равными длине ленты. Ленту прикладывают к кольям и концы (штрихи) на концах отмечают штрихами ножом или корандашом. Остаток в линии измеряется металической рулеткой. Для приведения длины линии в горизонтальное положение нивелиром или теодолитом определяют превышение. Если местность ровная, то с одной станции определяют превышение нескольких пролетов. Длину линии определяют по формуле:

Процесс компарирования представляет собой определение длины мерного прибора путем сравнения в лабораторных условиях с эталлоном. В начале определяют точную длину компаратора, затем его длину измеряют проверяемым прибором (лентой, проволокой). Разность полученых результатов дает поправку при измеряемой температуре. Учитывая коэффициент расширения, определяют длину проволоки при t-20°. Длина проволоки используется для вычисления длины измеряемой линии в поле.

РАЗДЕЛ III

Камеральная обработка

сети сгущения.

1. Определение длин сторон и накопление ошибок в триангуляции.

Триангуляция, представляющая систему треугольников, образует цепи треугольников, центральные системы или четырехугольники. После измерения горизонтальных углов и исходных длин линий или базисов производится камеральная обработка. В измеренные горизонтальные углы b вводятся поправки за центрировку редукцию. Для этого производится предварительное решенение треугольников по теореме синусов.

Ошибки вычисленных сторон треугольников зависят от ошибок измеренных величин. Хорактер накопления ошибок сторон можно вычислить по известной стороне и горизонтальным углам первого треугольника. Длина стороны:

a₁=(d₀sinx₁)/siny₁

Углы, обозначенные буквами g₁ g₂……g_n и противоположные им стороны в треугольниках называются промежуточными, формула для вычисления длины стороны a_1, показывает, что ошибка ее зависит от связующих углов x, y, и ошибки исходной стороны a₀.

Dlg a₁=lg a₀+lg siny₁

Ошибку логорифма вычисляемой стороны можно представить в виде:

Dlg a₁=Dlg a₀+Dlg sin x₁-D lg sin y₁=Dlg a₀+u ctg x₁(Dx₁/r’)-uctg y₁(Dy₁/r”)

где (u/r”)ctg x₁=dx; (u/r”)ctg y₁=dy

выражают перемены логаривмов синусов углов при изменении углов на одну секунду.

Dlg a₁₌Dlg a₀+dxDx₁=dyDy₁

где Dx, Dy истинные ошибки увязанных углов.

Сущность способа наименьших квадратов.

В камеральных вычислениях государственных опорных сетей большое место занимает уравновешивание, т. е. распределение невязок в целях получения лучших результатов и выполнение геометрических условий. Способ наименьших квадратов является точным методом распределения невязок и нередко требует больших вычислительных действий. Значение и сущность способа наименьших квадратов можно пояснить на свойстве на свойстве арифметической середины.

Пусть имеется ряд равноточных измерений l₁, l₂…..l_n одной и той же и требуется из этого ряда результатов найти значение x от результатов отдельных измерений, т. е.

(l₁-x)²+(l₂-x)²+……+(l_n-x)²=min

известно, что для отыскания минимума функции надо взять первую производную и приравнять ее к нулю, откуда

x=[l]/n

эта формула показывает, что искомая величина x, найденная под условием минимума суммы квадратов уклонений от отдельных результатов измерений, есть арифметическая середина. Из этого следует, что величина, найденная по принцыпу наименьших квадратов, обладает свойством вероятнейшиго значения. Принципы наименьших квадратов можно применять для решения условных уравнений и отыскания вероятнейшего значения поправок. Допустим, что теодолитном полигоне с n углами невязку f надо распределить так, что-бы сумма квадратов найденных поправок была минимальной. Условное уравнение поправок углов полигона выражается формулой

(1)+(2)+(3)+….+(n)+f=0

где цифры в скобках- искомые поправки к углам полигона, а f-невязка.

Для отыскания неизвестных поправок по способу наименьших квадратов надо к этому условному уравнению добавить уравнение минимума суммы квадратов. Тогда будет получено два уравнения:

(1) +(2)+(3)+….+(n)+f=0

(1)² +(2)²+(3)²+….+(n)²=0

Для решения двух уравнений со многими неизвестными надо первое уравнение умножить на (-2k) и сложить со вторым уравнением.

(1)² +(2)²+(3)²+….+(n)²-2k(1)-2k(2)-2k(3)-…-2k(n)-2kf=min

Коэффийиент k носит название корреллаты. Для отыскания минимума надо брать производные по каждому неизвестному и приравнивать их к нулю:

Откуда

(1)=k, (2)=k=….=(n)

Подставляя эти значения в первое уравнение, полуыим

nk+f=0

откуда

k=-f/n=(1)=(2)…(N)

Из этого следует, что искомые поправки равны между собой -f/n, где n- число углов.

Так решается по способу наименьших квадратов одно уравнение с несколькими неизвестными и коэффициентами при них, равными единицы. Такой вид уравнений имеют условия фигур и горизонта.

При уравновешивании геодезических сетей может возникать несколько условий, выражаемых математическими формулами. В общем виде эти формулы можно выразить уравнениями:

a₁(1)+a₂(2)+…..+a_n(n)+f₁=0

b₁(1)+b₂(2)+…..+bc_n(n)+f₁=0

c₁(1)+c₂(2)+…..+c_n(n)+f₁=0

где (1), (2),…(т)- искомые неизвестные поправки к углам: a₁ ,a₂…a_n ; b₁ ,b₂…b_n; c₁ ,c₂…c_n – коэффициенты, f₁ , f₂ , f₃– свободные члены (невязки).

Для уравнений по способу наименьших квадратов надо уравнение умножить на удвоенные коррелаты с минусом (-2k₁ ,-2k₂ , -2k₃ ) и сложить с условием минимума суммы квадратов поправок (1)²+(2)²+….+(n)²=min.

Общий вид уравнения:

a₁(1)+a₂(2)+….+a_n(n)+f=0

Здесь a₁ , a₂ ,…a_n– коэффициенты при искомых поправках (1), (2), (3), (n);

f – невязка. Это уравнение надо решать под условием, чтобы сумма квадратов поправок равнялась минимуму.

Вычисление искомых поправок по способу наименьших квадратов выполняется следующим образом:

1. вычисляют коэффициент k – кореллату по формуле

k=-(f/åa²)

т.е. невязка с обратным знаком делится на сумму квадратов коэффициентов при поправках уравнения.

2. поправки решаемого уравнения вычисляют по формулам:

(1)=a₁k; (2)=a₂k; (n)=a_nk

В уравнениях поправок фигур треугольников, горизонта и азимутов при искомых поправках коэффициенты равны a=1. Поэтомуa²=1. В уравнении поправок треугольников åa=3 иk=-(f/3).

Поправки равны, т. е. (1)=(2)=(3)=-(f/3)

В уравнениях поправок горизонта и азимута коэффициенты a=1 и åa²=n, где n-число поправок уравнения поровну распределяется с обратным знаком на углы. В уравнении поправок синусов и сторон коэффициенты a_i – изменении логарифмов синусов не равных единицы, åa² имеет большое значение.

3. Виды условных уравнений в триангуляции.

Задачи уравновешивания тригонометрической сети состоит в отыскании поправок в измеренные углы, которые наилучшим образом удовлетворили бы теоретические условия сети, а измеренные величины после введения в них поправок получили бы вероятнейшее значение. Треугольники триангуляции образуют центральные системы, которые должны удовлетворять теоретические условия геометрии.

1. Условия уравнивания фигур.

1. Условное уравнение фигур.

Сущность: Сумма углов 1,2,3 каждого треугольника должна быть равна 180 градусам, но на практике бывают невязки которые вычисляют по формуле:

2

а.¦=1+2+3-180°

3

поправка равна: ¦/3