Геодезические опорные сети. Упрощенное уравнивание центральной системы (стр. 4 из 5)

1

б. 1+(1)+2+(2)+3+(3)-180=0

После вычитания формулы а. из формулы б. получим условное уравнение поправок треугольников

(1)+(2)+(3)+¦=0

Предельная невязка углов треугольников определяется формулой:

¦пред=2.5mbÖ3

где mb- средняя квадратическая ошибка углов.

Таких уравнений в сети возникает столько сколько треугольников с измеряемыми углами.

2. Условие уравнивания горизонта.

Сущность: в центральной системе при точке ТО сумма углов g должна быть равна 360°. Но практически будет невязка:

g₄

g₅

g₃

g₁

g₂

а. g₁+g₂+g₃+g₄+g₅-360°=¦g

поправка будет равна: ¦g/5

б. g₁+(g₁)+g₂+(g₂)+g₃+(g₃)+g₄+(g₄)+g₅+(g₅)-360° =0

Уравнение горизонта мы получим после вычитания формулы а. из б.

(g₁)+(g₂)+(g₃)+(g₄)+(g₅)+¦g=0

Предельная невязка углов ¦ определяется формулой:

¦пред=2.5mbÖn

где n – количество углов при цетре.

3. Условное уравнение полюса:

Сущность: в каждом треугольнике должно быть выполнено условие пропорциональности сторон и противолежащих углов

bca/abc=1 это условие полюса в точке O для центральной системы.

Заменяя отношение сторон синусом противоположных углов, исправленных поправками. После логарифмирования и разложения функции в ряд мы получим:

W=lg(sin1sin3sin5/sin2sin4sin6)

Окончотельный вид полюсного условного уравнения будет выглядеть так:

d1(1)+d3(3)+d5(5)-d2(2)-d4(4)-d6(6)+W=0

Величина невязки зависит от ошибок в связующих углах

Wпред=2.5*mb*Ö(d)

4. Условное уравнивание сторон.

Условие сторон возникает в цепи треугольников расположенной между двумя сторонами исходной цепи. Геометрический смысл состоит в том, что при последовательном решении треугольников от начальной стороны должна быть получена конечная сторона.

d1(x1)+d2(x2)+d3(x3)+d4(x4)-b1(y1)-b2(y2)-b3(y3)-b4(y4)+WD=0

Wdпред=2.5*mb*Ö2mb+m2(d2+b2)

5. Условное уравнение координат

Условие координат возникает в сети, если в ней может быть выделен ход, заключенный между двумя твердыми точками.

Это условие заключается в том, чтобы сумма приращений по каждой координатной оси была равна разности координат конечной и начальной точек.

Невязки вычисляются по формуле:

¦x=åDx-(x_к-x_н); ¦y=åDy-(y_к-yн)

сумма поправок приращений должна равнятся нулю.

dxBC+dxCD+dXDE+¦x=0

dyBC+dyCD+dyDE+¦=0

4. Упрощенное уравнивание центральной системы.

В центральной системе возникает условное уравнение фигур, горизонта и полюса. Математически эти условия выражаются уравнениями поправок. Число условных уравнений фигур равно числу треугольников:

(x₁)+(y₁)+f₁=0

(x₂)+(y₂)+f₂=0

(x₃)+(y₃)+f₃=0

(x₄)+(y₄)+f₄=0

(x₅)+(y₅)+f₅=0

Одно условное уравнение горизонта имеет вид:

(g₁)+(g₂)+(g₃)+(g₄)+(g₅)=f_g=0

Условное уравнение полюса согласно формуле имеет вид:

d₁(x₁)+d₂(x₂)+d₃(x₃)+d₄(x₄)+d₅(x₅)- d₁(y₁)-d₂(y₂)-d₃(y₃)-d₄(y₄)-d₅(y₅)+W=0

Таким образом в этой центральной системе возникает семь условных уравнений. При этом распределение невязок и отыскание поправок по способу наименьших квадратов все уравнения надо решать совместно – это требует больших вычислений, поэтому в сетях сгущения уравновешивание выполняется упрощенным способом. Упрощение состоит в том, что система всех уравнений разделяется на однотипные группы. Для наиболее простого способа уравновешивания к первой группе относят условные уравнения фигур и решают их по способу наименьших квадратов. В этой группе уравнений каждоя неизвестная искомая поправка в уравнения входит один раз, т.е. каждое уравнение имеет три искомых неизвестных, не входящих в другие уравнения. Следовательно, каждое уравнение можна решать отдельно по способу наименьших квадратов. Решение такого уравнения с коэффициентами при неизвестных, равными единици, было описано.

Согласно формуле искомые поправки равны между собой и равны f/n, где f- невязки, аn- число углов.

Поэтому в условном уравнении фигуры треугольника n=3 поправки в углы треугольников выражаются формулами:

(x₁)’=(y₁)’=(g₁)’=-f₁ /3

(x₂)’=(y₂)’=(g₂)’=-_f2 /3

(x₃)’=(y₃)’=(g₃)’=-f₃ /3

(x₄)’=(y₄)’=(g₄)’=-f₄ /3

(x₅)’=(y₅)’=(g₅)’=-f₅ /3

Решение первой группы уравнений дает первичные поправки, обозначенные одним штрихом. Затем приступают к решению второй группы условных уравнений, т.е. уравнение горизонта. При упрощенном уравновешивании получают вторые поправки к углам.

Условное уравнение примет вид:

(g₁)”+ (g₂)”+ (g₃)”+ (g₄)”+(g₅)”+f_g=0

Здесь невязка вычисляется по первично исправленным углам, т.е.

f_g=[g₁+(g₁)’]+ [g₂+(g₂)’]+ [g₃+(g₃)’]+ [g₄+(g₄)’]+ [g₅+(g₅)’]-360°

Условное уравнение горизонта имеет коэффициенты при неизвестном, равные единице, поэтому решение уравнения по способу наименьших квадратов выполняются так же, как и условие фигур, невязка распределяется поровну на все углы и поправка равна -f_g/n, следовательно, вторичные поправки к углу g будут:

(g₁)”= (g₂)”= (g₃)”= (g₄)”= (g₅)”-f_g” /n

Чтобы не нарушать условие фигур, выполненные введением первых поправок, надо и в связующие углы x, yкаждого треугольника ввести вторичные поправки, которые должны быть равны половине второй поправки к углу g с обратным знаком:

(x₁)”=(y₁)”=-(g₁)”/2

(x₂)”=(y₂)”=-(g₂)”/2

Результаты этих поправок записаны в таблице. После решения условных уравнений фигур и горизонта приступают к решению полюсного условного уравнения, что дает третьи поправки к углам, но при условии, чтобы условия фигур и горизонта не были нарушены. Условное уравнение полюса примет вид:

d₁(x₁)”’+d₂(x₂)”’+d₃(x₃)”’+d₄(x₄)”’+d₅(x₅)”’-d₁(x₁)”’- d₁(x₁)”’-d₁(x₁)”’-d₁(x₁)”’ --d₁(x₁)”’+W=0

здесь d₁, d₂, …d₅ – перемена логарифмов синусов углов x, входящие в числитель свободного члена W, а b₁, b₂…b₅ – перемены логарифмов синусов углов y, входящие в знаменатель свободного члена. Невязка, т.е. свободный член уравнения, выражается формулой:

Здесь связующие углы x, y каждого треугольника представляют углы, исправленные предыдущими двумя поправками. Чтобы решением полюсного уравнения не нарушить условие фигур и горизонта, надо ввести дополнительное условие, согласно которому в каждом треугольнике связующие углы должны иметь равные поправки, но с разными знаками, т.е. (x_i)”’=-(y_i)”’. Тогда полюсное уравнения примет вид.

a₁(x₁)”’+ a₂(x₂)”’+ a₃(x₃)”’+ a₄(x₄)”’+a₅(x₅)”’+W=0

a₁=(d₁+b₁), …

для решения этого уравнения по способу наименьших квадратов надо добавить условие: (x₁)”’²+(x₂)”’²+(x₃)”’²+(x₄)”’²+(x₅)”’²=min

для нахождения минимума функции возьмем производные и прировняем их к нулю.

f’x₁=2(x₁)”’-2ka₁=0

f’x₂=2(x₂)”’-2ka₂=0

………………………

f’x_i=2(x_i)”’-2ka_i=0

откуда поправки: