Энергетические характеристики гравитационных и магнитных аномалий (стр. 2 из 3)
С учетом формулы (1.1) окончательно найдем
где учтено, что функция |S(ω)| — четная. Эту формулу обычно называют теоремой Парсеваля или теоремой Релея.
Аналогично для трехмерных аномалий на основании равенств (1.16), (1.12) и (1.10) для теоремы Парсеваля получим
Для трехмерных аномалий, симметричных относительно вертикальной оси, переходя к полярным координатам, отсюда найдем
Эту формулу можно получить и из равенства (1.21) (умножая обе его части на ρ и интегрируя по ρ в пределах от 0 до ∞) с учетом выражений (1.10) и (1.20).
Теорема Парсеваля, учитывающая величину полной энергии аномалий, имеет важное значение в гравиразведке и магниторазведке. Она использовалась в работах многих исследователей (К.В. Гладкий и др.). С ее применением В.Н. Страховым были получены ряд фундаментальных формул спектрального анализа гравитационных и магнитных аномалий.
2. Выражение энергетических спектрови корреляционных функций одних аномалийчерез другие
Пусть fx(x, y), fy(x, y), fz(x, y) — производные по осям координат x, y и z от некоторой гравитационной или магнитной аномалии f(х, y) (от гравитационного или магнитного потенциала, от ускорения силы тяжести и т.д.). Тогда пользуясь теоремами о спектрах производной функции, после небольших преобразований получим:
(1.22)Практически наиболее важными являются случаи f = U и f = Vz, где U — магнитный потенциал, Vz — ускорение свободного падения. Для этих случаев последнее равенство можно переписать в виде:
(1.23) 
(1.24)Из этих равенств можно определить (заменить) энергетический спектр одной из аномалий: X, Y, Z или Vxz, Vyz, Vzz через известные значения энергетических спектров других аномалий. Этот вывод можно перенести и на случай автокорреляционных функций:
(1.25) 
. (1.26)В двухмерном случае (при
) из равенств (1.23)-(1.26) получим 
(1.26а)Из этих равенств видно, что в двухмерной задаче энергетические спектры и автокорреляционные функции аномалий H, Z или гравитационных Vxz, Vхх, Vzz полностью взаимозаменяемы. Некоторые из них показаны на рис. 6. Это же положение верно в двухмерном случае и для аномалий Vх, Vz, т.е. для горизонтальной и вертикальной производных от любой исходной одной и той же аномалии. Оно же верно и для аномалий H, Z в случае косого и вертикального намагничивания и для нормированных функций Q и B аномалий H, Z и ΔT.
Это важное свойство автокорреляционных функций и энергетических спектров. Им не обладают исходные гравитационные и магнитные аномалии, за исключением функций Vxz, Vхх, Vzz в трехмерном случае и Vхх и Vzz — в двухмерном, для которых указанное свойство следует из уравнения Лапласа.
Легко показать, что энергетический спектр аномалии является всегда вещественной и четной функцией. Тогда и автокорреляционная функция аномалии будет вещественной и четной функцией. Рассмотрим взаимные энергетические спектры Q12(ω) и Q21(ω) двух функций f1(x) и f2(x). Для них верны соотношения
Рис. 1. Примеры разных аномалий, которым соответствуют одни и те же автокорреляционная функция B(τ) и энергетический спектр Q(ω)
, (1.27) 
(1.28) 
(1.29)Кроме того, легко показать, что произведение Q12Q21 и сумма Q12+Q21 являются всегда четными функциями, а разность Q21 – Q12 — всегда мнимой. При этом, если одна аномалия четная, а вторая нечетная, то
(1.30)Здесь, если первая функция — это
, а вторая 
, где f — некоторая исходная аномалия (в двухмерном случае, например, для функций Vx, Vz; Vxz, Vzz для магнитных аномалий H и Z, если одна из них четная, а вторая - нечетная), то учитывая доказанное выше равенство Qp = Qq получим для суммы аномалий F = p + q: 
(1.31)для взаимного энергетического спектра:
(1.32)Что же касается взаимных корреляционных функций, то для них получим
где В12(τ) + В21(τ) — четная функция; В21(τ) – В12(τ) — нечетная функция.
Кроме того, из равенств (1.30), (1.31) и (1.32) соответственно получим (если одна из аномалий четная, вторая — нечетная)
, (1.33) 
(1.34) 
(1.35)Полученные равенства можно использовать для замены выражений Q12, Q21 и B12 через значения Q1, Q2 и B21 при решении различных задач, в частности, при определении радиуса корреляции суммарного поля, состоящего из нескольких компонент — региональной, локальной составляющих и ошибок наблюдений; при определении возможности наличия корреляции между двумя сигналами и т.д. Из изложенного материала видно, что корреляционные функции и энергетические спектры аномалий обладают рядом других важных свойств, которые при решении многих задач гравиразведки и магниторазведки делают их применение предпочтительнее, чем применение самих аномалий. Прежде всего это то, что корреляционные функции и энергетические спектры аномалий являются некоторыми интегральными характеристиками, т.е. при определении их значений (хотя бы одного) используются все точки исходной аномалии — вся кривая, что приводит к значительному уменьшению случайных погрешностей инструментального и геологического характера. Влиянию ошибок наблюдений подвергается только центральная часть кривых корреляционных функций, что делает возможным исправление их значений в этой центральной части.
Для случая автокорреляции ближайшая к поверхности особая точка получаемых функций залегает в 2 раза глубже. Этот факт расширяет области применения различных трансформаций к значениям автокорреляционной функции.
Автокорреляционные функции и энергетические спектры аномалий для производных одного порядка взаимозаменяемы (в двухмерном случае равны), что позволяет по данным В или Q для аномалии одной производной определить значения рассматриваемых функций для аномалий другой производной или, если известны значения аномалий двух производных, например, Z и Hповышать точность вычисления функции B и Q Взаимозаменяемость находит, например, широкое применение при совместной интерпретации данных гравитационного и магнитного полей.
Функции B и Q являются всегда четными, и этот факт облегчает возможность получения различных соотношений, упрощает кривые и делает их более пригодными для определения формы, размеров и глубины залегания аномальных тел.
В то же время следует отметить, что из-за четности автокорреляционных функций и энергетических спектров аномалий в них пропадают полезные эффекты, связанные с асимметричностью кривых аномалий и косым намагничиванием магнитных масс. Это вызвано тем, что указанные функции формируются только значениями амплитудного спектра, влияние же фазового спектра в них отсутствует. Как раз этим и объясняется то, что аномалии с равными амплитудными и разными фазовыми спектрами имеют одни и те же энергетические характеристики — функции B и Q. Поэтому полезное свойство
четности их кривых в некоторых случаях является их недостатком. Но применение энергетических характеристик аномалий основано на использовании их полезных свойств. Полезные же эффекты асимметричности косого намагничивания аномалий четко отражаются на значениях взаимных энергетических спектров и взаимных корреляционных функций, и при необходимости их можно определить из значений этих функций.
3. Интегрирование корреляционных функций знакопеременных аномалий
Другое свойство автокорреляционных функций для случая знакопеременных аномалий заключается в следующем. Пусть f(x) — гравитационная или магнитная аномалия, автокорреляционная функция которой B(τ) имеет нуль в одной точке τ0 (вторая точка нуля находится в бесконечности). Для таких аномалий
(1.36)Переходя под интегралом от автокорреляционной функции к энергетическому спектру и меняя пределы интегрирования, для первого интеграла правой части получаем
(1.37)