Энергетические характеристики гравитационных и магнитных аномалий (стр. 1 из 3)
Кафедра общей и прикладной геофизики
Курсовая работа на тему:
Энергетические характеристики гравитационных и магнитных аномалий.
Дубна, 2005
Содержание
1. Введение
2. Теоретическая часть
3. Расчётная часть
4. Список литературы
Введение
В данной работе рассматриваются элементы теории случайных функций и их применение для интерпретации гравитационных и магнитных аномалий. Аппарат теории случайных функций и основанный на нём статистический подход можно применять в различных ситуациях. Во-первых, когда мало известно о параметрах аномалий или геологических объектах, которыми они вызваны. Во-вторых, когда поставленную задачу гравиразведки и магниторазведки можно решить только с применением аппарата теории случайных функций и ,наконец, в-третьих, при решении задач различными детерминированными методами.
Получаемые данные, корреляционные функции и связанные с ними энергетические спектры аномалий имеют следующие свойства: малая чувствительность к погрешностям наблюдений; взаимозаменяемость; чётность получаемых выражений.
В работе также приведены примеры применения теоретического материала к практике. Представлены расчёты для бесконечной горизонтальной материальной линии, бесконечной вертикальной материальной полосы и бесконечной горизонтальной полосы.. Для исследуемых функций построены графики при различных исходных данных.
Теоретическая часть
ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ГРАВИТАЦИОННЫХ И МАГНИТНЫХ АНОМАЛИЙ
Энергия процесса f(t), соответствующая изменению времени от t= -t1, до t = t1 определяется интегралом
Среднее значение энергии за время 2t1 (или средняя мощность) определяется выражением
Через эти интегралы прямо можно выразить основные статистические характеристики сигналов — автокорреляционную функцию и энергетический спектр. Поэтому эти характеристики называют еще и энергетическими характеристиками сигналов.
Аналогичные интегралы можно написать и для отрезка профиля при изменении расстояния x от –T до +T, а именно:
, 
Эти интегралы выражают площадь между кривой квадрата функции f2(x) и осью x при изменении x от –T до +T и среднюю величину этой площади, т.е. сумму значений квадратов функции и средний квадрат функции.
По аналогии с величинами E и Eср гравиразведке и магниторазведке значения F и Fср также называют энергией функции f(x) (энергия и средняя величина энергии). При этом величину f2(x) называют мгновенной энергией, а значение интеграла
полной энергией функции f(x) (если, конечно, он существует). Автокорреляционная функция В(τ) и энергетический спектр сигнала Q(ω) однозначно можно выразить через указанные интегралы, определяющие энергии. Поэтому функции B(τ) и Q(ω) также называют энергетическими характеристиками функции f(x), в нашем случае гравитационной или магнитной аномалии.В следующих разделах рассматриваются энергетические характеристики и детерминированных, и случайных аномалий. Причем первые являются аномалиями f(x) определенной формы из класса
(по В. Н. Страхову), для которых существует интеграл .§ 1. Определение энергетических спектров и корреляционных функций аномалий
Аномалии известной формы (детерминированные сигналы)
Пусть f(x) — некоторая ограниченная вдоль профиля функция строго определенной формы, а S(ω) — ее трансформанта Фурье (предполагаем, что она существует) и пусть далее существует интеграл
.Автокорреляционной функцией такого сигнала f(x) (по определению В.Н. Страхова, если функция f(x) принадлежит классу
, h > 0) называется функция 
(1.1)Определив преобразование Фурье такой функции B(τ), получим энергетический спектр (спектральная плотность) сигнала f(х):
(1.2)Тогда
(1.3)Между автокорреляционной функцией В(τ) аномалии f(х) и ее энергетическим спектром Q(ω) существует связь, определяемая этой парой преобразований Фурье. Если определим функцию Q(ω) через значения простого спектра S(ω) аномалии f(x), то получим выражение
(1.4)(это в симметричной форме записи. В несимметричной форме записи коэффициент
будет отсутствовать).Перейдем к выражению взаимной корреляционной функции и взаимного энергетического спектра аномалий. Пусть fp(х) и fл(х) — два сигнала известной формы, а Sр(ω) и Sл(ω) ихтрансформанты Фурье или спектры (предполагаем, что они существуют) и, кроме того, пусть существует интеграл
Для таких функций взаимной корреляционной функций называется выражением вида
(1.5)Преобразование Фурье функции Врл(τ) называется взаимным энергетическим спектром (взаимной спектральной плотностью) сигналов fр(х) и fл(х):
(1.6)В этом случае
(1.7)Примем, что fр(х) и fл(х) непрерывны при -∞ < x: < ∞ и Врл(τ) определена при -∞ < τ < ∞. Тогда взаимный энергетический спектр также можно выразить через спектры составляющих функций Sр(ω) и Sл(ω). Легко убедиться, что в этом случае вместо формулы (1.4) получим соотношение
(1.8)(Здесь, так же, как и в формуле (1.4), функции S(ω) и S(-ω) являются взаимно сопряженными, т.е. S(-ω) = S*(ω)).
Нормированную автокорреляционную функцию можно определить из равенства
(1.9)Аналогичные выражения можно написать и для трехмерных аномалий. Пусть существует спектр S(u, v) функции известной формы f(х, y). И пусть существует интеграл
Тогда автокорреляционная функция
(1.10)Энергетический спектр
(1.11)Кроме того,
(1.12)Пусть спектры функций fр(х, у), fя(х, у) будут равны соответственно Sp(u, v) и Sл(u,v). Тогда при условии существования интеграла
для определения взаимных корреляционных функций и энергетического спектра получим равенства
(1.13) 
(1.14) 
. (1.15)Пусть f(x, y), fp(x, y), fл(x, y) непрерывны в прямоугольнике -∞ < х < ∞, -∞ < у < ∞, В и Врл определены в прямоугольнике -∞ < ξ < ∞, -∞ < η < ∞, тогда верны равенства
(1.16) 
(1.17)Нормированная автокорреляционная функция
(1.18)Для осесимметричных аномалий, т.е. когда функция f(x, y) зависит только от переменной
, из формул (1.11), (1.12) и (1.16) соответственно получим 
(1.19) 
(1.20) 
(1.21)§ 2. Некоторые свойства и особенности применения энергетических спектров и корреляционных функций
Рассмотрим некоторые свойства и особенности применения энергетических спектров и корреляционных функции аномалий, которые будут широко использованы в последующих разделах.
1. Теорема Парсеваля
Пусть функция f(х) имеет спектр S(ω). Интегрируя по ω в бесконечных пределах обе части равенства (1.4), найдем
На основании равенства (1.3) получим
