В практике ранжирования объектов, между которыми допускаются отношения как строгого порядка, так и эквивалентности, числовое представление выбирается следующим образом. Наиболее предпочтительному объекту присваивается ранг, равный единице, второму по предпочтительности - ранг, равный двум, и т.д. Для эквивалентных объектов удобно с точки зрения технологии последующей обработки экспертных оценок назначать одинаковые ранги, равные среднеарифметическому значению рангов, присваиваемых одинаковым объектам. Такие ранги называют связанными рангами. Для приведенного примера упорядочения на основе нестрогого линейного порядка при N = 10 ранги объектов д3 , а4 , а5будут равными г3 = г4 = г5 = (3+4+5) /3 = 4.
В этом же примере ранги объектов й9, а,0 также одинаковы и равны среднеарифметическому r9 = rlo = (9+10) 12 = 9,5. Связанные ранги могут оказаться дробными числами. Удобство использования связанных рангов заключается в том, что сумма рангов N объектов равна сумме натуральных чисел от единицы до N. При этом любые комбинации связанных рангов не изменяют эту сумму. Данное обстоятельство существенно упрощает обработку результатов ранжирования при групповой экспертной оценке.
118
Глава 2
Основы оценки сложных систем
119
При групповом ранжировании каждый S-й эксперт присваивает каждому /-му объекту ранг rjs. В результате проведения экспертизы получается матрица рангов | | ris \ \ размерности Nk, где k- число экспертов; N- число объектов; S=l,k;i=l,N. Результаты группового экспертного ранжирования удобно представить в виде табл. 2.5.
Аналогичный вид имеет таблица, если осуществляется ранжирование объектов одним экспертом по нескольким показателям сравнения. При этом в таблице вместо экспертов в соответствующих графах указываются показатели. Напомним, что ранги объектов определяют только порядок расположения объектов по показателям сравнения. Ранги как числа не дают возможности сделать вывод о том, на сколько или во сколько раз предпочтительнее один объект по сравнению с другим.
Таблица 2.5
Результаты группового ранжирования
| Объект | э, | Э2 | ... | э* |
| Й1 | г\ | '12 | ... | r\k |
| «2 | Г21 | '22 | ... | r2k |
| ... | ... | ... | ||
| ап | rnl | ГЛ | ... | rnk |
Достоинство ранжирования как метода экспертного измерения - простота осуществления процедур, не требующая трудоемкого обучения экспертов. Недостатком ранжирования является практическая невозможность упорядочения большого числа объектов. Как показывает опыт, при числе объектов, большем 10-15, эксперты затрудняются в построении ранжировки. Это объясняется тем, что в процессе ранжирования эксперт должен установить взаимосвязь между всеми объектами, рассматривая их как единую совокупность. При увеличении числа объектов количество связей между ними растет пропорционально квадрату числа объектов. Сохранение в памяти и анализ большой совокупности взаимосвязей между объектами ограничиваются психологическими возможностями человека. Психология утвержда-
ет, что оперативная память человека позволяет оперировать в среднем не более чем 7 ± 2 объектами одновременно. Поэтому при ранжировании большого числа объектов эксперты могут допускать существенные ошибки.
Парное сравнение. Этот метод представляет собой процедуру установления предпочтения объектов при сравнении всех возможных пар. В отличие от ранжирования, в котором осуществляется упорядочение всех объектов, парное сравнение объектов является более простой задачей. При сравнении пары объектов возможно либо отношение строгого порядка, либо отношение эквивалентности. Отсюда следует, что парное сравнение так же, как и ранжирование, есть измерение в порядковой шкале.
В результате сравнения пары объектов а;, а/ эксперт упорядочивает ее, высказывая либо я, >- а-, либо а, > at, либо at ~ а . Выбор числового представления ф(й(.) можно произвести так: если aiXа» то ф (а(.) > ф (о ); если предпочтение в паре обратное, то знак неравенства заменяется на обратный, т.е. ф (а,) < ф (а,). Если объекты эквивалентны, то можно считать, что ф (я,-) = ф (а ).
В практике парного сравнения используются следующие числовые представления:
| (2.1) |
| Хн = • |
| ( |
I, если а/ >- djили at ~ Oj\ О, если а, ч о/, i,j = l,N;
| (2.2) |
2, если а,- >- ау-; 1, если а,- ~ ujiО, если а; ч а .•, /, J = 1, N.
Результаты сравнения всех пар объектов удобно представлять в виде матрицы. Пусть, например, имеются пять объектов а,, а2, а3, а4, а5и проведено парное сравнение этих объектов по предпочтительности. Результаты сравнения представлены в виде
Используя числовое представление (2.1), составим матрицу измерения результатов парных сравнений (табл. 2.6).
120
Глава 2
Основы оценки сложных систем
121
| Таблица 2.7 |
Таблица 2.6
| Результаты измерения пяти объектов |
| а\ | °2 | аз | Й4 | °5 | |
| а\ | \ | 2 | 2 | 2 | 0 |
| °2 | 0 | 1 | 2 | 2 | 0 |
| Й3 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 |
| «4 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 |
| °5 | 2 | 2 | 2 | 2 | 1 |
Матрица парных сравнений
| «1 | °2 | аЗ | °4 | а5 | |
| «1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 |
| а2 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 |
| аз | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 |
| а4 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 |
| °5 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
В табл. 2.6 на диагонали всегда будут расположены единицы, поскольку объект эквивалентен себе. Представление (2.2) характерно для отображения результатов спортивных состязаний. За выигрыш даются два очка, за ничью одно и за проигрыш ноль очков (футбол, хоккей и т.п.). Предпочтительность одного объекта перед другим трактуется в данном случае как выигрыш одного участника турнира у другого. Таблица результатов измерения при использовании числового представления не отличается от таблиц результатов спортивных турниров за исключением диагональных элементов (обычно в турнирных таблицах диагональные элементы заштрихованы). В качестве примера в табл. 2.7 приведены результаты измерения пяти объектов с использованием представления (2.2), соответствующие табл. 2.6.
Вместо представления (2.2) часто используют эквивалентное ему представление
| хн -1 |
+ 1, если cn>aj', О, если ai~dj', -1, если ai^aj-, i,j = l,N,
которое получается из (2.2) заменой 2 на +1, 1 на 0 и 0 на 1.
Если сравнение пар объектов производится отдельно по различным показателям или сравнение осуществляет группа экспертов, то по каждому показателю или эксперту составляется своя таблица результатов парных сравнений. Сравнение во всех воз-
можных парах не дает полного упорядочения объектов, поэтому возникает задача ранжирования объектов по результатам их парного сравнения.
Однако, как показывает опыт, эксперт далеко не всегда последователен в своих предпочтениях. В результате использования метода парных сравнений эксперт может указать, что объект а, предпочтительнее объекта а2, а2предпочтительнее объекта а3и в то же время а3 предпочтительнее объекта а,.
В случае разбиения объекта на классы эксперт может к одному классу отнести пары alи а2, а2 и а3, но в то же время объекты а, и а3 отнести к различным классам. Такая непоследовательность эксперта может объясняться различными причинами: сложностью задачи, неочевидностью предпочтительности объектов или разбиения их на классы (в противном случае, когда все очевидно, проведение экспертизы необязательно), недостаточной компетентностью эксперта, недостаточно четкой постановкой задачи, многокритериальностью рассматриваемых объектов и т.д.
Непоследовательность эксперта приводит к тому, что в результате парных сравнений при определении сравнительной предпочтительности объектов мы не получаем ранжирования и даже отношений частичного порядка не выполнено свойство транзитивности.
Если целью экспертизы при определении сравнительной предпочтительности объектов является получение ранжирования или частичного упорядочения, необходима их дополнительная идентификация. В этих случаях имеет смысл в качестве результирующего отношения выбирать отношение заданного типа, ближайшее к полученному в эксперименте.