Стандартный аукцион с участниками торгов, которые имеют ограниченные финансовые возможности (перевод) (стр. 3 из 10)

Определение. Аукцион А удовлетворяет единственному общему свойству по отношению к аукциону В, если, для любого типа (w, v) который активен на обоих аукционах:

и

Единственное общее свойство выполняется точно если, в дополнение к этому, одно из включений набора точно для положительной меры (w, v ).

Единственное общее свойство подразумевает, что кривые изобиды на аукционе А ограничивают отрезок кривой изобиды на аукционе В снизу всего лишь однажды (см. Фигуру 1). Следующая теорема показывает нам, что оценка товара победителем немного выше на аукционе А чем на аукционе В, когда это свойство сохраняется. Грубо говоря, единственное общее свойство означает, что кривая из обиды в А более плоская, чем в В на отрезке (w, v). Следовательно, функции предложения равновесия, более вероятны, чтобы отразить заказ оценок покупателей в А чем в B. Ниже теорема доказана лишь формально, но интуиция для проверки может быть ясно иллюстрирована Фигурой 1. Предположим, что покупатель типа - (w, v) побеждает на аукционе B. Любой проигрывающий претендент с более низкой оценкой должен тогда принадлежать заштрихованной области. Исходя из единственного общего свойства, эта область находящаяся ниже кривой изобиды проходящей отрезок (w, v) на аукционе A. Поэтому, любой проигравший претендент с более низкой оценкой на аукционе B должен также проиграть на аукционе A, что подразумевает, что оценка победителя может только повышаться, т.к. мы перемещаемся от аукциона B на аукцион A.

Теорема 1. Если

и Аукцион А удовлетворяет единственному общему свойству по отношению к аукциону В, то А принесёт более высокое социальное активное сальдо чем B (с вероятностью один). Аукцион А точно принесёт более высокое социальное активное сальдо нежели B, если единственное общее свойство строго выполняется.

Фигура 1.

Доказательство. Предположим, что претендент типа (w, v) - победитель на аукционе B. Этот претендент должен также быть активен и на аукционе A, т.к.

что создаётся единственным общим свойством. Тогда этого будет достаточно, чтобы показать, что, с вероятностью 1, тип (w, v) не может проиграть претенденту с на аукционе A, что тогда подразумевает, что победитель в А имеет более высокую оценку чем победитель в В.[18] Рассмотрим проигрывающего претендента в В с (w ', y '), v ' < v. По определению . Если он принимает участие, с вероятностью в единицу, так как кривая изобиды не имеет никакого интерьера, P3. Если w' < w, то из-за строгой монотонности в P3. Та же самая оценка выполняется с вероятностью равной единице, если , т.к. из-за единственного общего свойства. Таким образом, с вероятностью равной единице, претендент типа - (w', v') не выигрывает.

Обратное может не выполнятся. То есть победитель на аукционе A, (скажем (w', v') в Фигуре 1) может проиграть на аукционе В претенденту с более низкой оценкой (скажем (w, v) Фигуре 1). Это происходит с положительной вероятностью, если единственное общее свойство строго выполняется, что доказывает второе утверждение.|

A. Сравнение Дохода

Ожидаемый доход от аукционов может также однозначно оцениваться во многих случаях. Выберем произвольный аукцион М в F, и установим равновесие. Мы сосредотачиваемся на активных претендентах с (

, v), для любого . Определим вероятность того, что произвольно выбранный претендент либо не участвует, либо предлагает ниже, чем претендент типа - ( , v):

,

где

по Р2 и Р3, непрерывно и строго возрастает с

Так как это единственное предложение, которое определяет ожидаемую оплату, все типы на данной кривой изобида, создают ту же самую ожидаемую оплату. Кроме того, для любого предложения, там существует тип с бюджетом

, который делает то же самое предложение из-за P4. Поэтому, мы можем выражать ожидаемый доход продавца, в прелах платежей от типов с бюджетом . Определенно, мы вычисляем ожидаемый доход, объединяя платежи этих типов по связанным кривым изобидам. Пусть , будет ожидаемая оплата которую претендент типа - (w, v) делает в равновесии, и пусть . Тогда, ожидаемый доход от аукциона М будет:

(1)

Теперь вычислим

Предположим, что все другие претенденты используют B (•, •). Тогда, претендент типа - ( , v) выбирает (то есть, подражает стратегии типа) , чтобы увеличить до предела своё чистое активное сальдо.

(2)

Заметим, что ожидаемая стоимость его оплаты равна ожидаемой оплате, так как претендент не стеснён.[19] В равновесии, подражая этой стратегии другой тип не может оплатить, поэтому

. Пусть , обозначает заключительное равновесие ожидаемой выгоды для претендента. Так как претендент с ( , ) должен быть безразличен к участию, . Для , Теорема огибающей и интегрирование дают нам:

(3)

Объединение (2) и (3) дают нам ожидаемую оплату типа (

, v):

(4)

Заменяя (4) в (1) и интегрируя по частям, получим ожидаемый доход продавца

(5)

где

- функция распределения второго порядка, статистических данных из N случайных переменных, полученных независимо от . Это выражение для ожидаемого дохода напоминает стандартный случая без финансовых ограничений (см., например, Milgrom (1989)). Фактически, ожидаемый доход - точно тот же самый как в гипотетической модели, где претенденты не стеснены, но их оценки получены от функции распределения . Важным различием, конечно, является то, что эндогенно определена выбранной здесь стратегией равновесия, вот почему неуравновесие может возникать в присутствии финансовых ограничений. Когда различные формы аукциона стимулируют различные стратегии предложения цены, то, оценки претендентов как бы получены от различных функций распределения в гипотетической модели. Следующий результат естественно, вытекает из этого.

Теорема 2.Если

и для всех , то аукцион А приносит ожидаемый доход лишь немного выше, чем аукцион B. Оценка точна, если там существует интервал из v на которой .