1. Уравнение неразрывности массы жидкости.
Для вывода ур-я неразрывности выделим в напорном водоносном пласте кубик dx, dy, dz. Ч-з заднюю грань вытекает масса жидкости = ρVxdydzdt = M'.
V дв-я (массовая) выражается: d(ρVx)/dx. На уч-ке dx массовая V получ приращение [d(ρVx)/dx*dx]dydxdt. dx – расстояние.
M'' = ρVxdydzdt + [d(ρVx)/dx*dx]dydxdt = [ρVx + d(ρVx)/dx*dx] dydxdt.
Разница между массами жидк, втек и вытек ч/з заданые границы:
M' – M'' = ρVxdydzdt - [ρVx + d(ρVx)/dx*dx] dydxdt = - d(ρVx)/dx*dxdydxdt
Проводя аналог вычесл по yz, получим ΔМ — разница массы жидк, вошедшей и вышедш со всех сторон =
ΔМ' = (- d(ρVx)/dx - d(ρVy)/dy - d(ρVz)/dz)dxdydxdt;
ΔМ либо накапл в кубике, либо получается за счет уменьш запасов воды в нем. Упругие запасы = ΔМ'' = ρndxdydzdt, а скорость их изм во t опр-ся частной произв-й d(ΔМ)/dt = d(ρn)/dt*dxdydxdt. Приравнивая
ΔМ' = ΔМ'' = (- d(ρVx)/dx - d(ρVy)/dy – d(ρVz)/dz)dxdydxdt = d(ρn)/dt*dxdydxdt + d(ρVx)/dx + d(ρVy)/dy + d(ρVz)/dz – d(ρn)/dt = 0 – конечное уравнение неразр массы жидкости. Перечисл выводы могут быть повторены для расчетного эл-та изолир-го напорного пласта мощн m. При этом xy лежат в пл-ти напластования. Расходы жидк ч/з верх и нижн грань z = 0 (изолир пл-т). Ур-е неразрывности:
d(ρmVx)/dx + d(ρmVy)/dy + d(ρmn)/dt = 0
Осн закон-ти (ур состояния, ур движ Дарси, ур неразр) образ систему опред-х ур-й, из к-х можно получить результируещее диф ур-е фильтрации, отраж всю инф о процессе и содерж единст неизв — напор Н, завис от xyzt.
2. Емкостные св-ва г.п.
Водообильность — не общий V воды в порах, а вода кя может быть извлечена водозабором. Способность породы отдавать воду связана с емкостными св-ми. Удаление воды происх 2мя путями: свободн стекание под дейст Fтяж — гравит емкость, отжатие воды под воздейст доп нагрузки — упругая емкость _тк пр-с сжатия носит упр хар-р). Емк св-ва хар-ся и обратным пр-сом — когда порода приним доп V воды.
Гравит емкость — ΔH – изменение уровня воды соотв V вытекшей воды. Для однородного уплотн песка ΔV/wΔH = ΔV/ΔH = μ; w — S попер сечения. μ — коэф гравит емкости (водоотдачи), отн V вытекшей воды к Vосуш породы. Понятие «осушенности» - условно. После стекания воды в породе ост иммобилизац вода и вода на стыках пор, к-я явл гравит. Аналог коэф гравит водоотдачи при подьеме при подьеме уровня п.в. и заполнения пор водой явл коэф недостатка водонасыщ. Но его числ зн-е меньше, чем μ, тк в породе сохр защемл воздух. Крупноз пески и гравий — 0,25 — 0,3; мелео и ср пески — 0,15 — 0,2; супеси — 0,05 — 0,1; суглинки и глины — 0,001 — 0,01.
Упругая емкость — пески ост полностью водонасыщ, те на порный водоносн компл отдают воду не осушаясь. 2 пути: за счет расширения воды за счет уменьш в ней гидростат P. За счет сжатия породы.Оба мех-ма опред упругую емк пласта и проявл снижением напоров во время откачки. При откач гидростат Р пониж, уменьш взвеш дейст воды, в породе увел эффектив напряж-я (от веса самой породы), происх уменьш V породы за счет уменьш пор и трещин. Показатель уменьш V пор по мере нагруж породы служит коэф сжим = измен коэф пористости/изм эффект напряж. Ас = Δε/Δσе. Величина, хар-ся изм V жидк в ед-це V породы при единичном изм гидрост напора над коэф упругой емк породы ΔV0/Vn = η*ΔH; η* - коэф упр емкости. [η*] = [1/м]. При сниж напора к-во жидк в пласте уменьш, те кажд ед V породы отд некот V воды = μ*ΔН. μ* = η*m. μ* - коэф упругой водоотдачи. ΔV0 = μ*ΔН. Пески (0,5 — 1)10-4; трещин породы 10-5; для трещин порист-ти 10-4.
3. Гидростатический и гидродинамич напор.
Гидростат — механ енерг нек-го V покой жидк-ти с пост ρ опред ее потенц составл и измер-ся работой, кот нужно совершить, чтобы преод дейст 2х полей — гравитации (поднять V жидк на высоту z относ пл-ти сравнения); силы гидростат Р, дейст в V жидк. Н — гидрост напор, hр — пьезометр высота; z — высота. Н = hр + z; Н = Р/sg +z;
hр хар-я долю потенц Е в жидк-ти, связ с действ гидростат давл-я. Z — геом высота полож-я рассматр V жидк относ выбран пл-ти ср-я — уровень М0. Н — м абс высоты.
Гидродинамич — полная мех Е движ V жидк-ти включ потенц и кинетич Е и опред ур-м Бернулли: Н = Р/sg +z + u2/2g; u2/2g – скоростн напор, хар подьем воды, обусл v движ потока жидк. При медл дв-ии пв, скоростной составл пренебрегают, тк при этом доп подьем воды сост не > 0,01 мм, тогда полная Е движ пв будет опред-ся гидростат напором.
4. Основные гидродинамические представления ДПВ. Геофильтрация пв. Фильтрационный поток. Область фильтрации. Краевые условия области фильтрации.
Фундаментальные закономерности:
уравнения состояния, отражающие возможный характер изменения физ св-в изучаемой среды во время фильтр пр-са. 1)з-н Гука, отраж зависимость плотности от гидростат давл. 2) компрес ур-е, отр связь пористости с эффект давлением. ас = dε/dσэ.
Уравнение движения — связь между потерей Е потока и работой сил сопрот — з-н Дарси. v = - kdH/dl.
Усл сохр-е массы жидк — ур неразрывности.
d(ρmVx)/dx + d(ρmVy)/dy + d(ρmn)/dt = 0
Фильтрация — движение вода в насыщ порами пр-ве обусл наличием гидравлич градиента (перепад напоров)
Стр-ра потока пв опред взаимн располож линий тока и линий равного напора. По простр стр-ре выдел 1мерн (между 2мя || реками, дв воды к соверш скв), 2мерн (между не || реками), 3х мерными.
5. З-н Дарси. Усл применимости.
Предпосылки вывода: связь между силами сопрот и изм Е потока (fтр = -γm*dH/dl; dH/dl – гидровл град, γm = ρmg.); если движ жидк ламинарное, то завис между v гидр град линейное; из ф-лы Гагено-Пуазейля для сист || капилляр радиусом r. Q = -1/8*πρжgr4ж/μж*dH/dl*N; N = n/πr2к — число капил, μ - вязкость ж, Q - сум расход; ч/з 1нич капил Q = vdn; vd = -r2/8*ρж/μ* dH/dl;
Дарси проводил опыты по трубкам и определил, что получается прямолин график завис v от I. V = Q/F=kI; F – S попер сеч, Q - расход ж, I - перепад напоров к длине, k - коэф пропорц, завис от грунта и жидк; vф — отн расхода к попер сечен.
З-н Дарси - v = - kdH/dl. Можно мпроект на оси, если св-ва среды в разл напр различны.
Общий вид — v = - k0ρжg/μж * dH/dl. k0 - коэф прониц, зависит только от св-в среды. k = k0ρжg/μж;
Применим только для ламин дв-я, ограничения:
верх предел — переход ламин в турбулент, сильнозакарст породы, широкие трещины, вход воды из гп в скв, число Рейнальдса Re = 7-9ед.
Ниж предел — слабопрон глин породы, где движ своб воды может происходить только при наличии высокого напора.
6. Разделение потоков пв по усл залегания и гидравл сост. Расход фильтр потока. Скорость фильтрации. Гидростат напор фильтр потока.
Стр-ра потока пв опред взаимн располож линий тока и линий равного напора. По простр стр-ре выдел 1мерн (между 2мя || реками, дв воды к соверш скв), 2мерн (между не || реками), 3х мерными.
Расход Q = kIF. V фильтр = V = Q/F=kI = - kdH/dl.
Гидростат — механ энерг нек-го V покой жидк-ти с пост ρ опред ее потенц составл и измер-ся работой, кот нужно совершить, чтобы преод дейст 2х полей — гравитации (поднять V жидк на высоту z относ пл-ти сравнения); силы гидростат Р, дейст в V жидк. Н — гидрост напор, hр — пьезометр высота; z — высота. Н = hр + z; Н = Р/sg +z;
hр хар-я долю потенц Е в жидк-ти, связ с действ гидростат давл-я. Z — геом высота полож-я рассматр V жидк относ выбран пл-ти ср-я — уровень М0. Н — м абс высоты.
7. Диф ур упругого режима фильтрации
Более общая модель, к-я учитывает сжимаемость пласта и воды: dV/V = 1/E*dp (коэф пористости); ас (коэф компрессии) = -dt/dσ (изм эфект напряж).
Счит что из-за пониж v фильтр и малой простр изменч-ти плотности будем иметь: d(ρvx)/dx = ρdvx/dx + [vxdρ/dx]можно пренебр из-за малой изм ρ воды ~ ρdvx/dx;
Ур-е сост находит отражение в зависимости, включ коэф упругой емкости пласта: dV0/Vn = η*dH [30]; V0 = nVn; Vn = V0/n; dV0/(V0/n) = ndV0/V0; [31]; Масса воды в единичн V породы: M0 = ρn; Выразим 31 ч/з массу: ndM0/M0 = ndρn/ρn = dρn/ρ [32]; Из 30: dρn/ρ = η*dH [33]; η* - упр емкость [1/м]. Из 33 dρn = ρη*dH [34]; Если 34/t: dρn/dt = ρη*dH/dt [35];
Ур-е неразрывности: ρdVx/dx + ρdVy/dy + ρdVz/dz + d(ρn)/dt = 0; 35 в ур-е неразр и /ρ:
dVx/dx + dVy/dy + dVz/dz + ηdH/dt = 0; С учетом з-на Дарси: -d/dx*(KxdH/dx) - d/dy*(KydH/dy) - d/dz*(KzdH/dz) + ηdH/dt = 0;
Для однор изотропной среды (Kx=Ky=Kz): K(d2H/dx2 + d2H/dy2 + d2H/dz2) = ηdH/dt; d2H = η/K*dHdt [36]; d2H = 1/a*dH/dt; [37] – ур-е Фурье; a* = K/ η – коэф пьезопров [м2/сут];
В отл от жесткого режима ур-е упругого режима опред-ся 3мя простр коорд и временем, и движ не стационарное.
Физически — по мере уменьш напоров во t в водоносн пласте постеп срабатыв его упругие запасы. Высвоб V воды вклад в общий баланс фильтр потока. Реакция от возмущ напоров на гр-це или в какой-то обл водоносн пл-та распростр постеп, и v распр тем выше, чем выше прониц и ниже упругоемкость. Отсюда коэф пьезопров-ти а* явл показат v изм напора (гидростат давл) в пласте.
8. Диф ур жесткого режима фильтрации.
Основываясь на ур неразрывности делаем допущение что порода и вода не сжимаемы: ρ = А, n = В. А и В = const не завис от t. Тогда в ур неразр пропадает временная проиизводная d(ρn)/dt = 0; Можно считать что интенсивность пространственной изменчивости плотности очень мала: vxdρ/dx << ρdvx/dx. Тогда из ур неразравн получим: dvx/dx + dvy/dy + dvz/dz = 0;
Подст з-н Дарси: d/dx*(KxdH/dx) + d/dy*(KydH/dy) + d/dz*(KzdH/dz)=0; KxKyKz – зн-е коэф фильтр по напр осн осей анизотропии. Для однор изотропн пласта: d2H/(dx)2 + d2H/(dy)2 + d2H/(dz)2 = ∆2H = 0; Kx=Ky=Kz;
∆2H – сумма 2х призв-х, оператор Лапласса для ф-ии напора. Для 2мерного дв-я: ∆2H = d2H/(dx)2 + d2H/(dy)2;[1]; Для радиального: 1/∆*H2 = 1/r*d/dr*(rdH/dr);
Ур-е жесткого режима [1] не содержит t в явном виде => при пеизменных напорах на гр-х обл фильтр-ии дв-е должно быть стационарным. H = f(xyz) – не завис от t => водоносн пласт не отдает воду и не принимает. Вся вода проходит транзитом от обл питания к обл разгрузки. При этом р-я на возмущ в любой обл пласта мгновенно распр по всему пласту как в абс жесткой физ системе. Данная модель применима когда транз поток значит превыш упругие запасы пласта.