Определение средней доходности (стр. 1 из 2)

Олег Лытнев

В практике финансовых расчетов часто возникает необходимость расчета средней доходности набора (портфеля) инвестиций за определенный период или средней доходности вложения капитала за несколько периодов времени (например, 3 квартала или 5 лет). В первом случае используется формула среднеарифметической взвешенной, в которой в качестве весов используются суммы инвестиций каждого вида. Вернемся к примеру из предыдущего параграфа с вложением 1000 рублей в два вида деятельности: торговую и финансовую. Можно сказать, что владелец этих денег сформировал инвестиционный портфель, состоящий из двух инструментов – инвестиции в собственный капитал магазина и финансовые (спекулятивные) инвестиции. Сумма каждого из вложений составила 500 рублей. Доходность по первому направлению вложений составила 10%, по второму – 40% годовых. Применив формулу средней арифметической (в данном случае, ввиду равенства весов, можно использовать среднюю арифметическую простую) получим среднюю доходность инвестиций за год, равную 25% ((10 + 40) / 2). Она в точности соответствует полной доходности “портфеля”, рассчитанной в предыдущем параграфе. Если бы владелец изменил структуру своих инвестиций и вложил в торговлю только 300 рублей (30%), а в финансовые спекуляции 700 рублей (70%), то при неизменных уровнях доходности каждого из направлений средняя доходность его “портфеля” составила бы 31% (10 * 0,3 + 40 * 0,7). Следовательно, общую формулу расчета средней доходности инвестиционного портфеля можно представить следующим образом:

, где (5.2.1)

n – число видов финансовых инструментов в портфеле;

ri – доходность i-го инструмента;

wi – доля (удельный вес) стоимости i-го инструмента в общей стоимости портфеля на начало периода.

Реальный срок вложения капитала может принимать любые значения – от одного дня до многих лет. Для обеспечения сопоставимости показателей доходности по инвестициям различной продолжительности эти показатели приводятся к единой временной базе – году (аннуилизируются). Методика аннуилизации доходности была рассмотрена в предыдущем параграфе. Однако, годовая доходность одних и тех же инвестиций может быть неодинаковой в различные промежутки времени. Например, доходность владения финансовым инструментом (за счет прироста его рыночной цены) составила за год 12%. В течение второго года цена увеличилась еще на 15%, а в течение третьего – на 10%. Возникает вопрос: чему равна средняя годовая доходность владения инструментом за 3 года? Так как годовая доходность суть процентная ставка, средняя доходность за период рассчитывается по формулам средних процентных ставок. В зависимости от вида процентной ставки (простая или сложная) ее средняя величина может определяться как среднеарифметическая, взвешенная по длительности периодов, в течение которых она оставалась неизменной, или как среднегеометрическая, взвешенная таким же образом (см. § 2.2).

В принципе возможно применение обоих способов для определения средней за несколько периодов доходности. Например, среднеарифметическая доходность инструмента, о котором говорилось выше, составит за три года 12,33% ((12 + 15 + 10) / 3). В данном случае продолжительность периодов, в течение которых доходность оставалась неизменной (год), не менялась, поэтому используется формула простой средней. Применив формулу средней геометрической, получим rср = 12,315% (((1 + 0,12) * (1 + 0,15) * (1 + 0,1))1/3-1). При незначительной разнице в результатах, техника вычисления среднеарифметической доходности значительно проще, чем среднегеометрической, поэтому довольно часто используется более простой способ расчета.

Однако при этом допускается существенная методическая ошибка: игнорируется цепной характер изменения доходности от периода к периоду. Доходность 12% была рассчитана к объему инвестиций на начало первого года, а доходность 15% - к их величине на начало следующего года. Эти величины не равны друг другу, так как в течение первого года инвестиции подорожали на 12%. За второй год они стали дороже еще на 15%, то есть их объем на начало третьего года также отличался от двух предыдущих сумм. Применяя формулу средней арифметической, молчаливо предполагают, что объем инвестиций оставался неизменным в течение всех периодов, то есть по сути рассчитывается средний базисный темп прироста. В данном случае это предположение совершенно неверно, поэтому следует рассчитывать средний цепной темп прироста по формуле средней геометрической, так как начальная сумма инвестиций меняется от периода к периоду. Представим исходные данные примера в табличной форме (табл. 5.2.1).

Таблица 5.2.1

Динамика доходности акции за 3 года руб.

Годы	Стоимость акции на начало года	Прирост стоимости акции за год	Годовая доходность, (гр. 3 / гр. 2)
1	2	3	4
1	100	12	12%
2	112	16,8	15%
3	128,8	12,88	10%

Из таблицы видно, что 10% доходности за третий год, по абсолютной величине дохода (12,88 руб.) “дороже” 12% за первый год (12 руб.). Простое арифметическое усреднение неоднородных величин в принципе является бессмысленным занятием, хотя иногда оно дает результаты, близкие к правильным. Среднеарифметическая доходность всегда выше среднегеометрической и эта разница увеличивается по мере усиления разброса исходных показателей.

Неправомерность использования средней арифметической становится особенно наглядной, когда наряду с положительными возникают и отрицательные значения доходности. Предположим, что в течение первого года цена акции возросла вдвое, но к концу второго года она вернулась на свое исходное значение (100 руб.). Занесем соответствующие данные в таблицу (табл. 5.2.2).

Таблица 5.2.2

Динамика доходности акции за 2 года руб.

Годы	Стоимость акции на начало года	Прирост стоимости акции за год	Годовая доходность, (гр. 3 / гр. 2)
1	2	3	4
1	100	100	100%
2	200	-100	-50%

По формуле средней арифметической получим, что среднегодовая доходность за весь период составила 25% ((100 – 50) / 2). Очевидно, что это абсолютно неверный результат, так как богатство владельца акции нисколько не изменилось и составило к концу второго года те же самые 100 рублей, что и в начале первого года. Полная доходность за период владения составила 0% ((100 – 100) / 100). Такой же результат получим, применив формулу средней геометрической доходности: ((1 + 1) * (1 – 0,5))1/2 – 1 = 0%.

Причина столь грубой ошибки заключается не в изначальной “порочности” средней арифметической, а в том, что в данном случае она применялась не по назначению. Для расчета доходности за каждый отдельный год в качестве величины первоначальных инвестиций бралась новая сумма, включающая в себя реинвестированный доход, полученный за прошлые годы. По умолчанию, для расчета доходности использовалась сложная процентная ставка, поэтому и среднюю доходность за период владения следовало рассчитывать по формуле средней геометрической. Такой подход является общепринятым в финансовой теории и он всегда применяется для операций, длительность которых превышает 1 год. Однако в случае краткосрочных операций (продолжительностью до 1 года) допускается использование простой процентной ставки, среднее значение которой рассчитывается по формуле средней арифметической. В этом случае, доходность за каждый период должна рассчитываться путем деления суммы полученного дохода на одну и ту же величину – инвестиции в данный финансовый инструмент, сделанные в начале первого периода.

Предположим, что срок владения акцией составил не 2 года, а 2 месяца. После двукратного увеличения ее стоимости в течение 1 месяца, инвестор решил подержать ее подольше, надеясь на дальнейший рост курса. Однако в следующем месяце цена акции резко упала и вернулась к своей исходной величине – 100 рублей. Решив не испытывать больше судьбу, владелец продал акцию в конце второго месяца за эту цену. Доходность акции, рассчитанная по ставке простых процентов (К = 360 дней), составит: за первый месяц 1200% ((200 – 100) / 100) * 360 / 30); за второй месяц -1200% (отрицательная величина) ((100 – 200) / 100) * 360 / 30). Таким образом, среднеарифметическая доходность будет равна 0 ((1200 – 1200) / 2).

Можно сделать вывод, что расчет средней за несколько периодов времени доходности лучше производить по формуле средней геометрической. Вычисление среднеарифметической доходности оправдано лишь в тех случаях, когда доходность за каждый период в отдельности рассчитывается как простая процентная ставка. Это допускается при анализе краткосрочных финансовых операций.

Доходность не обязательно должна изменяться каждый год. Один и тот же уровень доходности может наблюдаться в течение ряда лет. В этом случае для расчета средней годовой доходности используется формула средней геометрической взвешенной. В качестве весов используются длительности периодов, в течение которых наблюдался один и тот же уровень доходности. Например, 1 млн. рублей был вложен в собственный капитал предприятия. Чистая прибыль за первый год составила 200 тыс. рублей, за второй – 120 тыс. рублей, в третьем году было получено 264 тыс. рублей чистой прибыли. Ежегодно 100% чистой прибыли реинвестировалось. Рассчитаем среднюю годовую доходность вложения капитала за весь период (табл. 5.2.3). Как видно из таблицы, доходность за первый и за третий годы составила 20% годовых. Следовательно, для расчета средней доходности за три года следует применить среднюю геометрическую взвешенную. Для 10-процентной доходности вес будет равен 1, а для доходности 20% – 2. Подставив эти значения в формулу (2.2.4), получим:

Следовательно, данная инвестиция приносила в среднем по 16,57% в год своему владельцу. Капитал предприятия к концу третьего года составил 1 млн. 584 тыс. рублей (1320 + 264). Эквивалентный результат мог бы быть получен при размещении 1 млн. рублей на банковский депозит под эффективную годовую ставку 16,57% (1000000 * (1 + 0,1657)3 = 1584000).