Годовая ставка процента = r * n =2% * 4 квартала = 8% годовых
Пример 5.
Вклад в банке дает 1% за 14 дней. Найти годовую ставку процента.
| Годовая ставка процента = | 1% * 365 дней | = 26% годовых |
| 14 дней |
ГОДОВАЯ СТАВКА ПРОЦЕНТА, РАСЧИТАННАЯ ПО ФОРМУЛЕ ПРОСТОГО ПРОЦЕНТА
В общем случае годовая процентная ставка без учета реинвестирования вычисляется из формулы (4) простого процента:
FV = PV * (1 + n * r),
Отсюда годовая ставка процента:
| r = | (FV / PV) - 1 | (6) |
| n |
ГОДОВАЯ ПРОЦЕНТНАЯ СТАВКА, ВЫЧИСЛЕННАЯ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ СЛОЖНОГО ПРОЦЕНТА
Если мы используем формулу сложного процента, то на единицу вложений годовая процентная ставка (r годовая) составит (1 + процентная ставка в периоде начисления в долях единицы ( r )), возведенная в степень, равную числу периодов начисления ( n ) минус единица:
r годовая = (1 + r)n - 1.
Пример 6.
По банковскому вкладу ежеквартально начисляют доход 2% от первоначальной суммы вклада. Найти ставку процента (в годовых) с учетом реинвестирования полученного дохода.
r годовая = (1 + 0.02)4 - 1 = 1.082432 - 1 = 0.0824.
Сравнивая результат примеров 1 и 3, можно сделать вывод, что при прочих равных условиях инвестирования годовая процентная ставка с учетом реинвестирования выше.
В общем случае годовая процентная ставка с учетом реинвестирования вычисляется из формулы (3) сложного процента: FV = PV * (1 + r)n, откуда годовая процентная ставка
r = (корень степени n из (FV / PV)) – 1 (7)
ПРИВЕДЕНИЕ ПРОЦЕНТНЫХ СТАВОК К ОДНОМУ ВРЕМЕННОМУ ПЕРИОДУ
С учетом необходимости приведения процентных ставок к одному временному периоду их общие формулы расчета видоизменяются в зависимости от того, в каких единицах (днях, месяцах, кварталах) выражен период инвестирования.
Например, если период инвестирования выражен в днях, то число периодов n = 365 / X, где X — число дней. По формуле (6) процентная ставка равна:
r = ((FV / PV) – 1) / n = (((FV / PV) – 1) / 365) * X
По формуле (7) процентная ставка равна:
R = (корень степени (365 / X) из (FV / PV)) – 1
Будучи рассчитана на основе одного временного периода (т.е. n = 1), формула приобретает совсем простой вид: r = (FV / PV) – 1
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ
Как вычисляется годовая процентная ставка с использованием сложного процента?
Как вычисляется годовая процентная ставка с использованием простого процента?
4. Понятие о дисконтировании денежных потоков
Под денежными потоками (для целей настоящей главы) мы понимаем доходы (выплаты), получаемые в разное время инвестором от инвестиций в денежной форме.
Техника дисконтирования, выражающаяся в приведении будущей стоимости инвестиций к их текущей стоимости, позволяет сравнивать различные виды инвестиций, сделанные в разное время на разных условиях.
Для того чтобы привести будущую стоимость инвестиции к ее текущей стоимости, необходимо умножить на коэффициент дисконтирования (дисконтировать) все денежные доходы, связанные с инвестицией, и суммировать полученные величины.
Коэффициент дисконтирования (1 + r)-n определяется с учетом доходности по альтернативному вложению.
Пример 7.
Необходимо принять решение о том, имеет ли смысл покупать облигацию номиналом 10 000 руб. по цене 9 500 руб. с выплатой ежегодного купонного 8-процентного дохода и сроком погашения через 3 года, если ставка процента в банке по вкладу сроком на 3 года составляет 10% годовых.
| Будущая стоимость выплат | Дисконтирование по ставке доходности альтернативного вложения (10%) | Настоящая стоимость денежных выплат | |
| Год 1 | Купонный доход 800 руб. | 800 / 1.10 | 727 руб. |
| Год 2 | Купонный доход 800 руб. | 800 / 1.102 | 661 руб. |
| Год З | Купонный доход 800 руб. | 800 / 1.103 | 601 руб. |
| Год З | Погашение облигаций по номиналу 10 000 руб. | 10 000 / 1.103 | 7 513 руб. |
| Итого текущая стоимость 9 502 руб. | |||
Из вычислений, приведенных выше, видно, что при данных условиях приобретение облигации выгоднее, чем вложение денег в банк, так как ее текущая стоимость выше, чем рыночная цена облигации (9 500 руб.)
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ
Что такое денежные потоки?
Для чего используется дисконтирование денежных потоков?
5. Внутренняя ставка доходности
Иногда требуется решить обратную задачу: при какой процентной ставке по данному вложению текущая стоимость вложения будет равна ее рыночной стоимости? Для ответа на этот вопрос нужно решить уравнение относительно r. Такое значение r называется внутренней (ибо не зависит от внешних условий) ставкой доходности. Считается, что инвестиция тем выгоднее, чем выше ее внутренняя ставка доходности.
Пример 8.
Облигация сроком 1 год погашается по номиналу, выплачивается ежегодный купонный доход 8% номинала. Рыночная цена облигации — 98.18 номинала. Найти внутреннюю ставку доходности.
Пусть номинал — 100, тогда:
PV = (С / (1 + r)) + (FV / (1 + r)),
С = 100 * 0,08 = 8,
FV = 100,
PV = 98.18,
a r предстоит найти. Подставляя полученные значения в формулу, получаем:
98.18 = (8 / (1 + r)) + (100 / (1 + r)) = 108 / (1 + r)
Отсюда: 1 + r = 108 / 98.18 = 1.10
и наконец, внутренняя ставка доходности равна:
r - 0,1 = 10%.
Пример 9.
Найти внутреннюю ставку доходности для вложения 9 500 руб. на банковский вклад сроком на 3 года с выплатой 10% годовых без реинвестирования процентного дохода.
PV = (С1 / (1 + r)) + (C2 / (1 + r)2) + (C3 / (1 + r)3) + (FV / (1 + r)3),
где
PV = FV = 9500
C1 = C2 = C3 = 950
Получаем уравнение:
9500 = 950 * [ (1 / (1 + r)) + (1 / (1 + r)2) + (1 / (1 + r)3) ] + 9500 / (1 + r)3
Решая его относительно r, получим: r ~ 0,1 или 10%
Если мы найдем внутреннюю ставку доходности для облигации по условиям Примера 7, то, решив уравнение
9500 = (800 / (1 + r)) + (800 / (1 + r)2) + (800 / (1 + r)3) ] + 10000 / (1 + r)3
относительно r получим r = 0.10011. Мы можем убедиться, что внутренняя норма прибыли для вложений в облигацию чуть выше, значит, они выгоднее, что соответствует выводам, сделанным ранее.
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ
Что такое внутренняя ставка доходности?
Если внутренняя ставка доходности облигации составляет 12%, а процент по банковскому вкладу — 10%, какая из двух указанных инвестиций, на ваш взгляд, выгоднее?
6. Аннуитеты
Аннуитет (иначе — рента) — регулярные ежегодно поступающие платежи.
Дисконтирование аннуитета используется для оценки сегодняшней текущей стоимости инвестиции, доход на которую будет одинаковым в течение долгого времени и должен выплачиваться с определенной (годовой) периодичностью.
Пример 10.
| Год | Платежи |
| 1 | 30 000 руб. |
| 2 | 30 000 руб. |
| 3 | 30 000 руб. |
В этом случае у нас имеется аннуитет 30 000 руб. в год в течение трех лет.
Применяя к таким выплатам обычную технику дисконтирования, потоков платежей при процентной ставке, равной 10%, получаем (предполагается, что выплаты происходят в конце каждого года):
| Год | Платежи | Коэффициент дисконтирования | Настоящая стоимость |
| 1 | 30 000 руб. | 1 / (1 + 0.1) = 0.9091 | 27 273 руб. |
| 2 | 30 000 руб. | 1 / (1 + 0.1)2 = 0.8264 | 24 792 руб. |
| 3 | 30 000 руб. | 1 / (1 + 0.1)3 = 0.7513 | 22 539 руб. |
| Текущая стоимость 74 604 руб. | |||
Текущая стоимость потока платежей 74 604 руб.
Из вычислений видно, что мы каждый раз умножали коэффициент дисконтирования на одну и ту же величину — 30000.
Получим: 30000 * [ (1 / (1 + r)) + (1 / (1 + r)2) + (1 / (1 + r)3)] =
= 30000 * (0.9091 + 0.8264 + 0.7531) = 30000 * 2.4868
То есть:
| Год | Платежи | Коэффициент дисконтирования | Текущая стоимость |
| 1 – 3 | 30000 в год | 2.4868 | 74.604 |
где величина 2,4868 является коэффициентом дисконтирования аннуитета Ar.
Для экономии времени коэффициент дисконтирования аннуитета Ar может быть вычислен по формуле суммы геометрической прогрессии со знаменателем 1 / (1 + r):
| Ar = | 1 | * | 1 – (1 + r)-n | = | 1 – (1 + r)-n | , |
| 1 + r | 1 – (1 + r)-1 | r |
где
r — процентная ставка за период (см. условия примера),
n — число периодов.
Используя эту формулу, можно рассчитать 3-летний коэффициент аннуитета при процентной ставке 10%:
| Ar = | 1 – 1.1 3 | = | 1 – 0.7513 | = | 0.2487 | = 2.487 |
| 0.1 | 0.1 | 0.1 |
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ
Что такое рента (аннуитет)?
Для чего используется дисконтирование аннуитета?
Каким образом при вычислении коэффициента дисконтирования аннуитета можно использовать формулу суммы геометрической прогрессии?
7. Расчет текущей стоимости для потоков платежей, начинающихся в момент времени, на который рассчитывается текущая стоимость инвестиции
В обычных случаях мы полагали, что первая выплата отстоит от времени, на которое рассчитывается текущая стоимость, на 1 временной период, например, произойдет через год или месяц. Возможны, однако, ситуации, когда первый платеж приходит в тот момент, на который рассчитывается текущая стоимость инвестиций.
Пример 11.
Облигация, приобретенная за 1000 рублей, приносит купонный доход 8% ежегодно, первая купонная выплата производится в момент сразу после приобретения. Срок до погашения 3 года. Найти текущую стоимость на момент приобретения облигации.