Научные редакторы: д.э.н. Радыгин А.Д., д.э.н., проф. Хабарова Л.П., д.ф.-м.н. Шапиро Л.Б.
* * *
1. Два способа расчета процентных выплат (простой процент, сложный процент)
Давая деньги в долг, кредитор упускает возможность использовать их до момента возврата. Заемщик должен выплатить компенсацию за ожидание кредитора. Компенсация обычно выражается в форме процента.
Процентом называют доход в денежной форме, выплачиваемый кредитору за пользование его деньгами. Процент начисляется на основную сумму вклада (займа) по определенной процентной ставке с определенной периодичностью, например ежегодно.
Простой процент
Пример 1.
Рассмотрим вложение 1000 рублей на счет в банке сроком 3 года при ставке 10% годовых.
Если по прошествии каждого года владелец снимает выплачиваемый доход по вкладу 10%, результаты инвестирования будут таковы:
| Основная сумма вклада | Доход за год при ставке 10% годовых | На конец года на счете | Снято со счета по прошествии года | Остаток на счете |
| 1 год 1000 | 1000 * 0.1 = 100 | 1100 | 100 | 1000 |
| 2 год 1000 | 1000 * 0.1 = 100 | 1100 | 100 | 1000 |
| 3 год 1000 | 1000 * 0.1 = 100 | 1100 | 100 | 1000 |
За 3 года инвестор получил 100 рублей по окончании первого года, 100 рублей по окончании второго года и 100 рублей по окончании третьего года, что совпало с окончанием срока вклада. В результате инвестирования в течение 3 лет получено 300 рублей сверх основной суммы вклада 1000 рублей. Всего 1300 рублей.
Таким образом, простой процент начисляется исходя из ставки процента и исходной суммы вне зависимости от накопленного дохода. Такая схема соответствует случаю, когда доход от вклада периодически выплачивается заемщиком и тут же изымается кредитором.
Сложный процент
Пример 2.
Рассмотрим вложение 1000 рублей на банковский депозит сроком 3 года при ставке 10% годовых при условии, что владелец НЕ снимает в конце каждого года полученные в качестве дохода 10%, а оставляет их на счете с целью реинвестирования по той же процентной ставке (10%).
| Основная сумма вклада | Доход за год при ставке 10% годовых | На конец года на счете | Снято со счета по прошествии года | Остаток на счете |
| 1 год 1000 | 1000 * 0.1 = 100 | 1100 | 0 | 1000 + 1000 * 0.1 = 1000 * (1+0.1) = 1100 |
| 2 год 1100 | 1100 * 0.1 = 110 | 1210 | 0 | 1100 + 1100 * 0.1 = 1100 * (1+0.1) = 1210 |
| 3 год 1210 | 1210 * 0.1 = 121 | 1331 | 0 | 1210 + 1210 * 0.1 = 1210 * (1+0.1) = 1331 |
По окончании трех лет инвестор получит кроме основной суммы вклада в 1000 рублей еще 331 рубль. Всего 1331 рубль.
Таким образом, если сравнивать условия без инвестирования процента (простой процент) и с учетом инвестирования процента (сложный процент), то результаты инвестирования по второй схеме превосходят результаты инвестирования по первой схеме на 31 рубль. Это произошло по причине реинвестирования процента.
Сложный процент начисляется исходя из ставки процента и суммы, накопленной на счете к началу очередного периода с учетом накопленного дохода. Такая схема соответствует случаю, когда доход от вклада периодически выплачивается заемщиком, но не изымается кредитором, а остается у заемщика, увеличивая сумму займа.
Естественно, эта схема подвергает кредитора большему риску, соответственно он получает и большее вознаграждение.
Вопросы для самопроверки
Что такое процент?
Какая схема начисления соответствует случаю, когда доход от вклада периодически выплачивается заемщиком и тут же изымается кредитором?
2. Изменение стоимости денег во времени
При размещении свободных средств в разные ценные бумаги инвестор стремится получить максимальную выгоду. Исходя из предположения абсолютной надежности всех способов инвестирования для того, чтобы оптимальным образом выбрать способ инвестирования, необходимо сравнить полученные доходы. Однако доходы могут поступать в разное время, таким образом, разные способы инвестирования приводят к разным графикам получения денег.
Приведение денежных поступлений к одному и тому же моменту времени
Естественным способом сравнивать денежные поступления в разные сроки является приведение их к одному и тому же моменту времени.
Как правило, в качестве такого момента выбирают или момент начала инвестиций, или некоторый фиксированный момент в будущем.
ДИСКОНТИРОВАНИЕ И НАРАЩЕНИЕ
Соответственно приведение денежных потоков к начальному моменту называется дисконтированием, а к моменту в будущем — наращением.
БУДУЩАЯ СТОИМОСТЬ
В Примере 2 общая сумма денежных средств на счете по окончании третьего года (1331) называется будущей стоимостью 1000 рублей,
инвестированных на 3 года;
по ставке 10%, начисляемых ежегодно;
при условии реинвестирования процента.
ТЕКУЩАЯ СТОИМОСТЬ
Изначальная стоимость инвестиции 1000 рублей называется текущей стоимостью 1331 рубля,
которые будут выплачены (или получены) через 3 года;
исходя из ставки 10%, начисляемых ежегодно;
при условии реинвестирования.
Расчет, как мы помним, производился следующим образом:
1000 * (1 + 0.10) * (1 + 0.10) * (1 + 0.10) = 1000 x (1.10)3
При начислении сложного процента мы находим будущую стоимость путем умножения текущей стоимости на (1 + ставка процента в периоде начисления в долях единицы) столько раз, сколько начислялся процент.
Теперь мы можем вывести формулу для расчета будущей стоимости денег, инвестированных на определенный срок под определенный процент с условием реинвестирования процента.
Формула имеет следующий вид:
FV = PV х (1+ r)n, (3)
где
FV — будущая стоимость,
PV — текущая стоимость (первоначальная стоимость на момент
инвестирования = основная сумма вклада при первоначальном инвестировании),
r — ставка процента в периоде начисления в долях единицы,
n — число периодов начисления.
КОЭФФИЦИЕНТ НАРАЩЕНИЯ
Выражение (1 + r)n называется коэффициентом наращения.
Расчет будущей стоимости при использовании формулы сложного процента называется наращением.
Расчет будущей стоимости в Примере 1, как мы помним, производился следующим образом:
1000 + 1000 * 0.1 +1000 * 0.1 + 1000 * 0.1 = 1000 * (1 + 0.1 * 3)
При начислении простого процента мы находим будущую стоимость путем умножения текущей стоимости на (1 + ставка процента в периоде начисления в долях единицы, умноженная на количество периодов начисления).
FV = PV х (1+ n * r), (4)
где
FV — будущая стоимость,
PV — текущая стоимость (первоначальная стоимость на момент инвестирования = основная сумма вклада при первоначальном инвестировании),
r — ставка процента в периоде начисления в долях единицы,
n — число периодов начисления.
В случае одного периода (n = 1) формулы (3) и (4) совпадают, т. к. в случае одного временного интервала реинвестирования не происходит и условия заимствования фактически совпадают.
Дисконтирование — это расчет, обратный наращению. При дисконтировании мы узнаем, сколько сейчас (в момент расчета) стоит известная в будущем стоимость денег. Этот пересчет к настоящему моменту позволит сравнивать разные суммы в разные времена.
Таким образом, при дисконтировании мы находим текущую стоимость путем деления известной будущей стоимости на (1 + ставка процента) столько раз, на сколько раз начисляется процент.
| PV = | FV | , (5) |
| (1 + r)n |
где
FV — будущая стоимость,
PV — текущая стоимость (первоначальная стоимость на момент инвестирования = основная сумма вклада при первоначальном инвестировании),
r — ставка процента в периоде начисления в долях единицы,
n — число периодов начисления.
КОЭФФИЦИЕНТ ДИСКОНТИРОВАНИЯ
Выражение 1 / (1 + r)n называется коэффициентом дисконтирования. Очевидно, он равен величине, обратной величине коэффициента наращения.
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ
Как называется расчет, результатом которого является приведение денежных потоков к начальному моменту времени?
Как называется коэффициент, обратный коэффициенту дисконтирования?
3. Расчет годовых ставок процента
Очевидно, что при одинаковых условиях (одинаковый срок, простой или сложный процент) выгоднее та инвестиция, у которой выше процентная ставка. Однако зачастую сроки инвестиций и периоды выплат по ним не совпадают. В этом случае для того, чтобы сравнивать инвестиции, необходимо рассчитывать их процентные ставки, приведенные к одному и тому же временному периоду. Как правило, в качестве такого периода выбирается год.
Пример 3.
Сравнить, какой из банковских вкладов выгоднее:
а) вложение 1000 рублей в банк на месяц под 3% в месяц;
б) вложение 500 рублей в банк на 6 месяцев под 12% за полгода.
Можно вычислить, каков доход в процентном выражении за месяц во втором случае, и сравнить с уже данным показателем в первом случае. Однако традиционно в качестве такого периода берется один год.
При этом говорят, что ставка составляет Х процентов годовых.
Вычисление ставки в годовом исчислении можно производить по формуле простого или сложного процента.
Пример 4.
По банковскому вкладу ежеквартально начисляют 2% от первоначальной суммы вклада. Найти годовую ставку процента.
Процентную ставку в периоде начисления умножают на число периодов в году: