Расчёт параметров вытеснения одной жидкости другой (стр. 3 из 4)
Тогда закон фильтрации каждой фазы* можно представить в виде обобщенного закона Дарси в дифференциальной форме:
(3.1)где wв, Qв и wн, Qн — скорости фильтрации и объемные расходы соответственно воды и нефти; ηв, ηн, — коэффициенты динамической вязкости фаз; kв(s) и kн(s) относительные фазовые проницаемости; s=sв — водонасыщенность.
Для рассматриваемого двухфазного течения водо- и нефтенасыщенность sн связаны очевидным соотношением
sв+sн=1 (3.2)
Для вывода уравнения неразрывности рассмотрим баланс каждой фазы как однородной жидкости, примененный к фиксированному элементарному макрообъему ∆V=w∆x (см. рисунок 6), содержащему обе фазы. Если за некоторый промежуток времени ∆t в объем ∆V втекает большее количество жидкости, чем вытекает, то она должна накапливаться в этом объеме, и ее насыщенность увеличивается (и наоборот). Исходя из этого и сформулируем закон сохранения массы каждой фазы.
Так, для воды изменение массы находим в направлении течения по оси х, помня, что ее плотность ρв постоянна в силу предположения о несжимаемости. Через сечение с координатой х (см. рисунок 6) за промежуток ∆t втекает в объем ∆V масса воды ρвωwв(x, t)∆t, а вытекает через сечение х+∆х масса, равная ρвωwв(x + ∆x, t)∆t, так что изменение массы воды в объеме ∆V за время ∆t равно:
где
∆V/∆x = ω
С другой стороны, это изменение массы должно быть сбалансировано за счет изменения во времени водонасыщенности в поровом объеме m∆V:
Приравняв два последних выражения, разделив обе части полученного равенства на ρв∆V∆t и перейдя к пределу при ∆x→0, ∆t→0, получим:
(3.3)Аналогично выводится уравнение сохранения массы нефти:
(3.4)которое в силу (3.2) можно представить в виде
(3.5)Сложив уравнения неразрывности (3.3) и (3.5) для обеих фаз, получим:
(3.6)откуда найдем первый интеграл:
(3.7)Равенства (3.6) или (3.7) показывают, что суммарная скорость к1 двухфазного потока (а значит, и суммарный расход фаз Q(t) не зависит от координаты х, т.е. является либо постоянной величиной, либо известной функцией времени. Это — следствие предположения о несжимаемости фаз.
Уравнения (3.1), (3.3), (3.5) или (3.7) полностью описывают процесс вытеснения и позволяют определить неизвестные функции s(x, t), wв(x, t), wн(x,t) и p(x,t). Покажем, что, исключив другие зависимые переменные, можно вывести уравнение, которое содержит только водонасыщенность s.
Исключим градиент давления ∂p/∂x, поделив почленно одно на другое уравнения (3.1):
(3.1)где введено обозначение η0=ηв/ηн.
Применив к (3.8) правило производных пропорций и использовав (3.7), получим
Обозначив
(3.9)из предыдущего равенства найдем:
(3.10)Введенная здесь функция насыщенности f(s), называемая функцией распределения потоков фаз или функцией Бакли-Леверетта, имеет простой физический смысл. Из (3.10) следует, что f(s), представляющая отношение скорости фильтрации (или расхода) вытесняющей фазы (воды) и суммарной скорости w (или расхода Q), равна объемной доле воды в суммарном потоке двух фаз. Функция f(s), как мы убедимся в дальнейшем, играет важную роль при гидродинамических расчетах двухфазных потоков, определяет полноту вытеснения и характер распределения насыщенности по пласту. Задача повышения нефтеи газоконденсатоотдачи в значительной степени сводится к применению таких воздействий на пласт, которые в конечном счете изменяют вид f(s) в направлении увеличения полноты вытеснения.
Как видно из (3.9), функция f(s) полностью определяется относительными фазовыми проницаемостями. Типичные графики f(s) и ее производной f'(s) приведены на рисунке 7. С ростом водонасыщенности f(s) монотонно возрастает от 0 до 1. Характерная особенность графика f(s) -наличие точки перегиба П с насыщенностью sn. участков вогнутости и выпуклости, где вторая производная f''(s) соответственно больше и меньше нуля. Эта особенность в большой степени определяет специфику фильтрационных задач вытеснения в рамках модели Бакли-Леверетта (по сравнению, например, с задачами распространения ударных волн а газовой динамике). Графики функций f'(s) и f'(s) для различных отношений коэффициентов вязкости фаз η0=ηв/ηн приведены на рисунке 8. Подставив, теперь равенство (3.10) для и'в в уравнение (3.3), получим ,
(8.11)Поскольку насыщенность есть функция двух переменных s = s(x, t), то, применяя правило дифференцирования сложной функции к слагаемому —
,что дает 
Рисунок 7 — зависимость объемной доли вытесняющей фазы (воды) в потоке f(a) и ее производной (б) от насыщенности
Рисунок 8 — графики функции Бакли—Леверетта (а) и ее производной (б) для различных отношений коэффициентов вязкости η0=ηв/ηн
приведем окончательно (3.11) к уравнению
(3.12)которое является дифференциальным уравнением только относительно насыщенности. Изменение насыщенности во времени по пласту можно получить в результате решения уравнения (3.12) независимо от распределения давления р(х, t). Это уравнение известно в литературе как уравнение Бакли Леверетта по имени авторов, впервые его получивших.
Для нахождения распределения насыщенности к уравнению (3.12) нужно добавить начальное и граничное условия:
(3.13)Первое из условий (3.13) означает, что в момент времени / = 0 (до начала процесса вытеснения) в пласте имеется некоторое известное распределение насыщенности s0 вытесняющей фазы, определяемое функцией φ(x). Согласно второму условию (3.13), при t > 0 в пласт через нагнетательную галерею, расположенную на «линии» х = 0, закачивается вытесняющая жидкость (вода), насыщенность которой при х = 0 меняется со временем по заданному закону ψ(t). В некоторых случаях можно считать, что
(3.14)Это-случай кусочно-постоянных начальных данных, имеющий важное значение для практических приложений. Величина начальной водонасыщенности s0 влияет на процесс заводнения и определяет структуру зоны вытеснения. В дальнейшем для простоты будем считать суммарную скорость фильтрации w(t) (а значит, и суммарный расход Q) постоянной величиной:
Практическая часть
Задача 1
Определить предельный безводный дебит скважины, вскрывшей нефтяной пласт с подошвенной водой, если Rк=200 м, радиус скважины rc=10 см, нефтенасыщенная мощность пласта h0=12 м, разность плотностей воды и нефти ρв-ρн=0,398 г/см3, динамический коэффициент вязкости нефти μн=2,54 сП. Пласт считать однородным по проницаемости (х=1), k= 1 Д.
Задачу можно решить по формуле Н. Ф. Иванова и по методу, предложенному И. А. Чарным при мощности вскрытой части пласта b, равной 6 м и 2 м.
Решение: определим предельный безводный дебит при приближённой формуле Н. Ф. Иванова
По графикам И. А. Чарного (см рисунок 1) найдём
где 
