Финансовые риски (стр. 9 из 17)

В технических приложениях принято при оценке результатов измерений работать с долями площади кривой нормального распределения, равными 95, 99 и 99,9%. Этим значениям соответствуют ординаты, равные следующим долям среднего квадратического отклонения: +/-1,96; 2,576 и 3, 291.

Условия широкого применения нормального распределения связаны с центральной предельной теоремой Чебышева, которая утверждает, что распределение какого-либо признака (параметра) при действии на него большого числа независимых причин сводится к нормальному независимо от вида исходного распределения. Согласно неравенству Чебышева при любом типе распределения не менее 88% его значений будут в диапазоне +\- 3SD.

Логнормальное распределение - это распределение, в которой нормальное распределение имеет логарифм случайной величины:

Изменение цены актива в будущем - случайный процесс, который в принципе должен описываться нормальным распределением. В то же время для целей вероятностной оценки стоимости актива в теории пользуются не нормальным, а логнормальным распределением. Это обусловлено следующими причинами. Во-первых, нормальное распределение симметрично относительно ее центральной оси и может иметь как положительные, так и отрицательные значения; однако цена актива не может быть отрицательной. Во-вторых, нормальное распределение говорит о равной вероятности для значений переменной отклониться вверх или вниз. В то же время на практике, например, имеет место инфляция, которая оказывает давление на цены в сторону их повышения, а также сама временная сущность денег: стоимость денег сегодня меньше, чем стоимость денег вчера, но больше, чем стоимость денег завтра. Кривая логнормального распределения всегда положительна и имеет правостороннюю скошенность (асимметрично), т.е. она указывает на большую вероятность цены отклониться вверх. Поэтому если, допустим, цена актива составляет 50 долл., то кривая логнормального распределения свидетельствует о том, что опцион пут с ценой исполнения 45 долл. должен стоить меньше опциона колл с ценой исполнения 55 долл., в то время как в соответствии с нормальным распределением они должны были бы иметь одинаковую цену. Хотя нельзя надеяться, что приведенные исходные предположения в точности выполняются во всех реальных рыночных ситуациях, тем не менее принято считать, что логнормальное распределение достаточно хорошо как первое приближение в случае активов, которыми торгуют на конкурентных рынках аукционного типа для длинных рассматриваемых периодов.

ВОЛАТИЛЬНОСТЬ

Участника рынка интересует не только (а зачастую и не столько) направление движения рынка, но и скорость этого движения, поскольку от нее зависит вероятность того, что стоимость актива “перешагнет” за “критические” для участника значения. Показателем такой скорости выступает стандартное отклонение цены актива, или, как его еще называют, волатильность. Стандартное отклонение - это мера того, насколько широко разбросаны точки данных относительно их среднего. Стандартное отклонение свидетельствует о вероятности, с которой цена примет то или иное значение и задает меру отклонения цены актива от некоторой средней величины, т.е. характеризует риск, связанный с данным активом. [Общепринято задавать стандартное отклонение как процент отклонения цены актива от ее средней величины в расчете на год.]

При анализе ценового риска принято работать не с самой последовательностью цен, а с последовательностью порождаемых ценой доходов в относительных величинах (доходностей). Последовательность доходностей имеет ряд преимуществ по сравнению с последовательностью цен. Во-первых, преобразуя последовательность цен в последовательность доходностей, мы добиваемся большей сравнимости различных последовательностей цен (различных активов); во-вторых, последовательность доходностей отличается большей стабильностью в том смысле, что для нее среднее и дисперсия в большей степени являются стационарными, чем среднее и дисперсия последовательности “необработанных” цен (по крайней мере, так принято считать). Вследствие этого в финансовой деятельности стало общепринятым использовать термин “ожидаемая доходность”, понимая под этим средний процентный доход, связанный с некоторой позицией, и использовать термин “риск”, имея в виду при этом стандартное отклонение процентного дохода, связанного с позицией. Также общепринятым стало относить эти доходности к периоду в один год, независимо от фактической длины базового периода. После этого уже будет уместным интепретировать ожидаемую доходность как среднюю ставку дохода, а риск - как стандартное отклонение ставки дохода (что, вообще говоря, далеко не всегда удобно в случаях, когда инвестиционный горизонт длиннее или короче, чем 1 год).

Наиболее часто для расчета волатильности используют два приема. Первый состоит в том, что в качестве переменной величины принимают отношение изменения цены к ее предыдущему значению, т.е.

, где

- цена актива в конце i-го периода.

Второй метод заключается в том, что в качестве переменной величины принимают логарифм отношения последующей цены к цене предыдущей, а именно:

Первый прием представляет собой не что иное, как начисление процента за базовый период времени, равный 1 (через определенные равные промежутки времени); второй -непрерывное начисление процента. Результаты, получаемые с использованием первого или второго способов, не сильно отличаются друг от друга. Но: в предположении, что стохастический процесс динамики цен является стационарным и что последовательные изменения цен взаимно независимы, цены активов, которыми торгуют на конкурентных рынках, должны подчиняться логнормальному распределению; поэтому относительный доход должен иметь логнормальное распределение, эффективная доходность за базовый период также должна иметь логнормальное распределение со сдвигом влево на единицу, а доходность за базовый период при непрерывном начислении процентов должна иметь нормальное распределение. Поскольку параметры логнормального распределения в силу его асимметричности сложно использовать для статистических оценок, мы в дальнейшем будем использовать непрерывное начисление процента (с целью использования для работы нормального распределения!), поэтому волатильность - это выборочное стандартное отклонение логарифма отношения последней цены к цене предыдущей, выраженное в процентах годовых (стандартное отклонение непрерывной ставки процента):

[% годовых] Почему корень?

, где

- m - количество периодов выбранного масштаба в рабочем году (260 для дневного масштаба, 52 - недельного, 12 - месячного, 6 240 - часового, 12 480 для тридцатиминутного и 187 200 для тикового);

- n - размер выборки (длина окна), принятой для расчета волатильности (10, 20, 40, 252 и т.д.).

Отдельно необходимо поставить вопрос о понятии выборки.

Из задачи “о блуждании случайной точки” известно, что среднее квадратическое отклонение длинного периода равно произведению среднего квадратического отклонения короткого периода на корень квадратный из числа блужданий. Тогда:

и, наконец,

если под тиком понимать совершение сделки каждые две минуты. Полагая, что

равно текущему среднему спрэду, можно определить

, или же по историческому среднему спрэду и исторической волатильности оценить количество совершенных за день сделок.

ИНВЕСТИЦИОННЫЙ ГОРИЗОНТ И КРИТЕРИИ ДОПУСТИМЫХ ПОТЕРЬ

Задача состоит в определении лимита убытков и через него - определения основного торгового масштаба: длинная средняя равна среднему времени нахождения в торговой позиции.

Основополагающие правила:

- потеря не более 2% исходного капитала за одну сделку;

- потеря не более 5-7% исходного капитала в месяц;

- максимальная бумажная потеря не более 10% исходного капитала;

- потеря не более 50% бумажной прибыли;

- соотношение прибыль/риск 3:1.

Если SD месяц = SD день * корень (21 день) = 5%, то SD день = 1,09%.

Если 0,02 = 0,0112 * корень (число дней в сделке), то максимальное число дней в сделке = 3,19.

Исходя из 2%-го ограничения все рынки с волатильностью свыше 32,24% являются запретными для торговли:

32,24% / корень(260) = 2%.

Исходя из правила 5%-го ограничения потерь в месяц - запретными являются рынки с волатильностью 17,32%:

17,32% / корень(12) = 5%

[Инвестиционный горизонт и его роль в принятии финансовых решений]

Проблема поиска окна волатильности: если баланс банка закрывается ежемесячно и исходя из того, что длина экстраполяции не может быть более 20-30% длины исторического ряда - то окно должно быть равно приблизительно 100: 20*5=100 (или 25*4=100: +/-2SD?). Более короткие окна можно брать исходя из того временного интервала, когда вы планируете закрывать свою позицию.

Ромины разработки плюс посмотреть Шарпа. Теория Блэка-Шоулза.