Анализ временных рядов (стр. 2 из 5)

Отметим два важных свойства коэффициента автокорреляции.

Во-первых, он строится по аналогии с линейным коэффициентом корреляции и таким образом характеризует тесноту только линейной связи текущего и предыдущего уровней ряда. Поэтому по коэффициенту автокорреляции можно судить о наличии линейной (или близкой к линейной) тенденции. Для некоторых временных рядов, имеющих сильную нелинейную тенденцию (например, параболу второго порядка или экспоненту), коэффициент автокорреляции уровней исходного ряда может приближаться к нулю.

Во-вторых, по знаку коэффициента автокорреляции нельзя делать вывод о возрастающей или убывающей тенденции в уровнях ряда. Большинство временных рядов экономических данных содержит положительную автокорреляцию уровней, однако при этом могут иметь убывающую тенденцию.

Последовательность коэффициентов автокорреляции уровней первого, второго и т. д. Порядков называют автокорреляционной функцией временного ряда. График зависимости её значений от величины лага (порядка коэффициента корреляции) называется коррелограммой.

Анализ автокорреляционной функции и коррелограммы позволяет определить лаг, при котором автокорреляция наиболее высокая, а, следовательно, и лаг, при котором связь между текущим и предыдущими уровнями ряда наиболее тесная, то есть при помощи анализа автокорреляционной функции и коррелограммы можно выявить структуру ряда.

Если наиболее высоким оказался коэффициент автокорреляции первого порядка, исследуемый ряд содержит только тенденцию. Если наиболее высоким оказался коэффициент автокорреляции порядка τ, ряд содержит циклические колебания с периодичностью в τ моментов времени. Если ни один из коэффициентов автокорреляции не является значимым, можно сделать одно из двух предположений относительно структуры этого ряда: либо ряд не содержит тенденции и циклических колебаний, либо ряд содержит сильную нелинейную тенденцию, для выявления которой нужно провести дополнительный анализ. Поэтому коэффициент автокорреляции уровней и автокорреляционную функцию целесообразно использовать для выявления во временном ряде наличия или отсутствия трендовой компоненты и циклической, сезонной компоненты.

1.3 Моделирование тенденции временного ряда

Одним из наиболее распространенных способов моделирования тенденции временного ряда является построение аналитической функции, характеризующей зависимость уровней ряда от времени, или тренда. Этот способ называют аналитическим выравниванием временного ряда.

Пусть имеются следующие фактические уровни ряда:

у₁, у₂, . . ., у_n.

Характер изменения этих уровней, то есть движения динамического ряда, может быть различным. Нашей задачей является нахождение такой простой математической формулы, которая давала бы возможность вычислить теоретические уровни. Основное требование, предъявляемое к этой формуле, состоит в том, что уровни, исчисленные по ней, должны воспроизводить общую тенденцию фактических уровней.

Поскольку зависимость от времени может принимать разные формы, для ее формализации можно использовать различные виды функций. Для построения трендов чаще всего применяются следующие функции:

· линейный тренд: y_t = a₀ + a₁t;

· гипербола: y_t =a₀ + a₁/t;

· экспоненциальный тренд: y_t = e^{a + bt};

· тренд в форме степенной функции: y_t = at^b;

· парабола второго и более порядков:

y_t = a₀ + a₁t + a₂ t ² + . . . +a_k t ^k .

Аналитическое выравнивание есть не что иное, как удобный способ описания эмпирических данных.

Общие соображения при выборе типа линии, по которой производится аналитическое выравнивание , могут быть сведены к следующим:

1) Если абсолютные приросты уровней ряда по своей величине колеблются около постоянной величины, то математической функцией, уравнение которой можно принять за основу аналитического выравнивания, следует считать прямую линию:

y_t = a₀ + a₁ t,

где y_tсчитается как у, выровненный по t.

2) Если приросты приростов уровней, то есть ускорения, колеблются около постоянной величины, то за основу аналитического выравнивания, следует принять параболу второго порядка:

y_t = a₀ + a₁ t + a₂ t² .

Показатели а₀, а₁ и а₂ представляют собой в каждом отдельном случае выравнивания постоянные величины, называемые параметрами: а₀ –начальный уровень; а₁ – начальная скорость ряда и а₂ – ускорение или вторая скорость.

3) Если уровни изменяются с приблизительно постоянным относительным приростом, то выравнивание производится по показательной (экспонентной функции):

y_t = a₀a₁^t.

В этих же целях можно использовать и коэффициенты автокорреляции уровней ряда. Тип тенденции можно определить путём сравнения коэффициентов автокорреляции первого порядка, рассчитанным по исходным и преобразованным уровням ряда. Если временной ряд имеет линейную тенденцию, то его соседние уровни y_tи y_{t –1} тесно коррелируют. В этом случае коэффициент автокорреляции первого порядка уровней исходного ряда должен быть высоким. Если временной ряд содержит нелинейную тенденцию, например, в форме экспоненты, то коэффициент автокорреляции первого порядка по логарифмам уровней исходного ряда будет выше, чем соответствующий коэффициент, рассчитанный по уровням ряда. Чем сильнее выражена нелинейная тенденция в изучаемом временном ряде, тем в большей степени будут различаться значения указанных коэффициентов.

При обработке информации на компьютере выбор вида уравнения тенденции обычно осуществляется экспериментальным методом , то есть путём сравнения величины остаточной дисперсии D_ост, рассчитанной при разных моделях. Имеют место отклонения фактических данных от теоретических (у – у_t). Величина этих отклонений и лежит в основе расчёта остаточной дисперсии:

(1.3.1)

Чем меньше величина остаточной дисперсии, тем лучше данное уравнение подходит к исходным данным.

1.4 Метод наименьших квадратов

Для нахождения аналитического уравнения, по которому производится выравнивание уровней временного ряда, применяют различные способы. Один из таких способов – метод наименьших квадратов - основан на требовании о том, чтобы сумма квадратов отклонений фактических данных от выровненных была наименьшей:

(у₁ – у₁)² + (у₂ – у₂)² + . . . + (у_n – y_n)² = S.

S должно быть наименьшим (минимальным)

Принцип, положенный в основу метода наименьших квадратов, может быть записан в сжатом математическом виде следующим образом:

∑ (y – y_t)² = min.(1.4.1)

Из курса математического анализа известно, что при нахождении минимума функции нужно найти частные производные и приравнять их к нулю. Найдём минимум функции, используя уравнение параболы.

Имеем:

∑ (y – y_t )² = S; (1.4.2)

заменяем:

y_t = a₀ + a₁ t + a₂ t ²

иполучаем:

∑( y - a₀ - a₁ t - a₂ t ² )² = S.

Находим частные производные функции S сначала по параметру а₀, а затем по а₁ и а₂, и приравниваем их к нулю.

;

; (1.4.3)

.

Преобразовывая, получаем:

;

; (1.4.4)

.

Полученная система называется системой нормальных уравнений для нахождения параметров а₀ , а₁ и а₂ при выравнивании по параболе второго порядка.

При выравнивании по показательной функции y_t = a₀a₁^tпараметры а₀ и а₁ определяются по методу наименьших квадратов отклонений логарифмов путём решения системы нормальных уравнений:

; (1.4.5)

.

1.5 Приведение уравнения тренда к линейному виду

Если тренд представляет собой нелинейную функцию, то методы линейного регрессионного анализа для оценки его параметров неприменимы. Но к некоторым нелинейным функциям мы можем применить такие преобразования, которые приведут нас к линейному уравнению.

Если наш тренд представлен степенной линией регрессии, то есть он имеет вид:

y_t = a₀t^a1, (1.5.1)

то логарифмируя обе части равенства, получим:

ln y_t = ln a₀ + a₁ ln t.

Отсюда видно, что, введя новые переменные

z = lny_t , x = lnt,

мы получим уравнение вида

z = b₀ +a₁x,

где b₀ = ln a₀. Это обычное линейное уравнение.

Если линия тренда – парабола второго порядка