Влияние ресурсозависимости на экономическое развитие (на примере России) (стр. 3 из 7)

где

Такого рода неоднозначность уменьшается, если ограничить множество сбалансированных траекторий условием постоянства долей факторов.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 3 (Теорема Узавы – см. Uzawa, 1961, Jones, Scrimgeour, 2005). Если модель определена непрерывно дифференцируемой CRS производственной функцией

, и на сбалансированной траектории доли факторов

постоянны во времени[5], то (5) – единственно возможное представление производственной функции F на этой траектории.

Доказательство см. в Jones, Scrimgeour, 2005■

Хотя предложение 3 сужает, по сравнению с предложением 2, класс производственных функций, пригодных для построения сбалансированной траектории, оно не позволяет выявить вид функции F вне этой траектории. Т.е. невозможно однозначно специфицировать производственную функцию, наблюдая лишь одну сбалансированную траекторию.

Пусть, например,

- сбалансированная траектория,

- известные доли капитала и труда на этой траектории, и мы хотим специфицировать CES функцию

В таком случае начальный уровень технического прогресса

и параметры CES функции удовлетворяют системе уравнений

Однако, тройка

определяется этой системой неоднозначно.

Особенность двухфакторной функции Кобба-Дугласа в том, что для нее множитель

может трактоваться не только как трудосберегающий (нейтральный по Харроду) технический прогресс, но еще и как капиталосберегающий (нейтральный по Солоу) и как увеличивающий TFP (нейтральный по Хиксу) прогресс:

.

Поэтому теорему Узавы формулируют еще так: если на сбалансированной траектории доли факторов постоянны, то либо имеет место трудосберегающий технический прогресс, либо действует производственная функция Кобба-Дугласа.

Применительно к трехфакторной функции с природными ресурсами предложение 2 может быть переформулировано следующим образом.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 4. Пусть сбалансированная траектория такова, что

. Тогда эта траектория может быть построена при помощи трехфакторной производственной функции с трудосберегающим и ресурсосберегающим техническим прогрессом

, (6)

где

, G – неоклассическая функция.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Аналогично доказательству предложения 2, для произвольной CRS функции G подберем числа

так, что

.

Определим функции

Тогда на сбалансированной траектории

по свойству постоянной отдачи от масштаба

по предложению 1

■

Обобщением теоремы Узавы для случая трехфакторной модели является следующее утверждение.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 5. Если модель определена непрерывно дифференцируемой CRS производственной функцией

и на сбалансированной траектории доли факторов

постоянны во времени, то (6) – единственно возможное представление производственной функции на этой траектории.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Введем обозначения

Заметим, что при экзогенно заданных

траектория

определена последовательностью

(восстанавливается по этой последовательности), таким образом можно представить траекторию как

.

На произвольной траектории в момент t, эластичность y по x равна отношению доли капитала

к суммарной доли остальных двух факторов:

. (7)

Действительно,

следовательно

,

отсюда

,

т.е.

,

откуда следует (7).

В силу предложения 1, на сбалансированной траектории величина

сохраняется

На сбалансированной траектории с постоянными долями факторов имеет место равенство

.

Решая это дифференциальное уравнение, получаем

,

где

- некоторые функции. Отсюда, аналогично тому, как это сделано в Jones, Scrimgeour, 2005 для двухфакторной производственной функции, можно получить, что

.

Поскольку труд

и используемые природные ресурсы входят в формулировку модели симметрично, функция также сепарабельна, т.е.

■

Для функции Кобба-Дугласа

технический прогресс можно трактовать как трудо- и ресурсосберегающий одновременно, но еще и как только трудосберегающий, только ресурсосберегающий, а также как капиталосберегающий или как увеличивающий TFP.

Функция CES

обладает тем достоинством, что доли факторов на сбалансированной траектории постоянны, если прогресс является трудосберегающим и ресурсосберегающим. Действительно, пусть

,

Тогда доля труда на сбалансированной траектории равна

Аналогично проверяется постоянство доли природных ресурсов на сбалансированной траектории.

3. Темпы прироста на сбалансированных траекториях

Пусть выпуск описывается производственной функцией (1), и общая производительность факторов A, труд L и использование природных ресурсов N меняются постоянными темпами, равными

, и , соответственно. Вычислим темп прироста на сбалансированной траектории.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 6. На любой сбалансированной траектории

.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Равенство между собой темпов прироста величин

доказано в предложении 1. Запишем производственную функцию (1) в темпах прироста:

.