Групповые дисперсии. Агрегатный индекс себестоимости (стр. 1 из 4)
Задача 1. По данным о производственной деятельности ЗАО определить средние затраты на 1 руб. произведенной продукции в целом по ЗАО.
Таблица 1 - Исходные данные
| Предприятие | Общие затраты на производство, млн. руб. | Затраты на 1 руб. произведенной продукции, коп. |
| 1 | 2,12 | 75 |
| 2 | 8,22 | 71 |
| 3 | 4,43 | 73 |
Решение:
Для определения средних затрат на 1 рубль произведенной продукции необходимо воспользоваться средней гармонической, так как у нас известен числитель и неизвестен знаменатель. Для определения средней строим вспомогательную таблицу.
Таблица 2 - Вспомогательная
| Предприятие | Общие затраты на производство, млн. руб., (Wi) | Затраты на 1 руб. произведенной продукции, руб. (Xi) | Объем произведенной продукции, млн руб. (Wi/Xi) |
| 1 | 2,12 | 0,75 | 2,83 |
| 2 | 8,22 | 0,71 | 11,58 |
| 3 | 4,43 | 0,73 | 6,07 |
| Итого: | 14,77 | 20,47 |
Так средние затраты на 1 рубль продукции рассчитываются по формуле
,где х - признак (варианта) - индивидуальные значения усредняемого признака;
показатель, представляющий собой реально существующий экономический показатель равный х∙ f:Данные берутся из таблицы.
Ответ: Средние затраты на 1 рубль произведенной продукции равны 72 коп.
Задача 2. По данным 10% -го выборочного обследования рабочих по стажу работы, результаты которого приведены ниже, определить:
1) относительную величину структуры численности рабочих;
2) моду и медиану стажа рабочих;
3) средний стаж рабочих цеха;
4) размах вариации;
5) среднее линейное отклонение;
6) дисперсию;
7) среднее квадратическое отклонение;
8) коэффициент вариации;
9) с вероятностью 0,997 пределы, в которых изменяется средний стаж рабочих в целом по предприятию;
10) с вероятностью 0,997 пределы, в которых изменяется доля рабочих, имеющих стаж работы более 10 лет в целом по предприятию. Сделать выводы.
Таблица 3 - Исходные данные
| Группы рабочих по стажу, лет | До 2 | 2 - 4 | 4 - 6 | 6 - 8 | 8 - 10 | 10 - 12 | 12 - 14 |
| Число рабочих | 6 | 8 | 12 | 24 | 17 | 8 | 5 |
Решение:
1) Находим относительную величину структуры численности рабочих, для этого строим следующую таблицу.
Таблица 4 - Относительная структура численности рабочих
| Группы рабочих по стажу, лет | Число рабочих | Структура,% |
| До 2 | 6 | 7,5 |
| 2 - 4 | 8 | 10 |
| 4 - 6 | 12 | 15 |
| 6 - 8 | 24 | 30 |
| 8 - 10 | 17 | 21,25 |
| 10 - 12 | 8 | 10 |
| 12 - 14 | 5 | 6,25 |
| Итого: | 80 | 100 |
2) Находим моду и медиану стажа рабочих. Для этого строим вспомогательную таблицу.
Таблица 5 - Вспомогательная.
| Группы рабочих по стажу, лет | Число рабочих (fi) | Середина интервала, (xi) | xi*fi | fi. накопл |
| До 2 | 6 | 1 | 6 | 6 |
| 2 - 4 | 8 | 3 | 24 | 14 |
| 4 - 6 | 12 | 5 | 60 | 26 |
| 6 - 8 | 24 | 7 | 168 | 50>40 |
| 8 - 10 | 17 | 9 | 153 | 67 |
| 10 - 12 | 8 | 11 | 88 | 75 |
| 12 - 14 | 5 | 13 | 65 | 80 |
| Итого: | 80 | 564 |
Мода - это наиболее часто встречающееся значение ряда:
,
где
- мода; 
- нижняя граница модального интервала. Интервал с максимальной частотой является модальным; 
- шаг модального интервала, который определяется разницей его границ; fmo - частота модального интервала; fmo-1 - частота интервала, предшествующего модальному; fmo+1 - частота интервала, последующего за модальным.Медианой является значение признака х, которое больше или равно и одновременно меньше или равно половине остальных элементов ряда распределения. Медиана делит ряд на две равные части:
,где xme- нижняя граница медианного интервала. Интервал, в котором находится порядковый номер медианы, является медианным. Для его определения необходимо подсчитать величину
. Интервал с накопленной частотой равной величине 
является медианным; i - шаг медианного интервала, который определяется разницей его границ; 
- сумма частот вариационного ряда; Sme-1 
- сумма накопленных частот в домедианном интервале; fme- частота медианного интервала.3) Находим средний стаж рабочих цеха:
,где х - признак (варианта) - индивидуальные значения усредняемого признака, в качестве которого берется середина интервала, определяемая как полусумма его границ;
f - частота, т.е. числа, показывающие, сколько раз повторяется та или иная варианта.
Сравниваем полученные значения, в нашем случае получаем:
,что говорит о левосторонней асимметрии.
По этим данным можно сделать вывод о том, что средний стаж рабочих составляет 7,05 лет; наиболее часто встречаются рабочие со стажем 7,263 года. Кроме того, половина рабочих имеет стаж более 7,166 лет, а другая - менее 7,166 лет.
4) Находим размах вариации.
Размах вариации:
,где хmax - максимальное значение признака; х min - минимальное значение признака.
Так, разница между максимальным значением признака и минимальным составляет 12.
5) Находим среднее линейное отклонение:
,где
- индивидуальные значения признака, 
- средняя величина; f - частота.Строим расчетную таблицу.
Таблица 6 - Расчетная
| Середина интервала, (xi) |  | Число рабочих (fi) |  |  |  |
| 1 | 6,05 | 6 | 36,3 | 36,60 | 219,62 |
| 3 | 4,05 | 8 | 32,4 | 16,40 | 131,22 |
| 5 | 2,05 | 12 | 24,6 | 4, 20 | 50,43 |
| 7 | 0,05 | 24 | 1,2 | 0,00 | 0,06 |
| 9 | 1,95 | 17 | 33,15 | 3,80 | 64,64 |
| 11 | 3,95 | 8 | 31,6 | 15,60 | 124,82 |
| 13 | 5,95 | 5 | 29,75 | 35,40 | 177,01 |
 7,05 | 80 | 189 | 767,80 |
.Так средний абсолютный разброс значений вокруг средней составил 2,362. То есть работники отличаются по стажу друг от друга в среднем на 2,362 года.
6) Находим дисперсию:
7) Находим среднее квадратическое отклонение:
.Средний разброс стажа от среднего стажа в 7,05 лет составляет 3,097.
8) Находим коэффициент вариации:
.Так как коэффициент вариации больше 33%, то это говорит о высокой степени неоднородности совокупности.
9) Находим с вероятностью 0,997 пределы, в которых изменяется средний стаж рабочих в целом по предприятию.
Границы генеральной средней:
,где
- генеральная средняя, 
- выборочная средняя, Δ 
- предельная ошибка выборочной средней: 
,