Основные понятия статистики (стр. 8 из 12)
– ряд Фурье.Определение параметров
в этих функциях может вестись несколькими способами, но самые незначительные отклонения аналитических (теоретических) уровней ( 
– читается как «игрек, выравненный по t») от фактических ( 
) дает метод наименьших квадратов – МНК (т.е. 
минимально). При этом методе учитываются все эмпирические уровни и должна обеспечиваться минимальная сумма квадратов отклонений эмпирических значений уровней 
от теоретических 
: 
. (1.56)В частности, при выравнивании по прямой вида
, параметры 
и 
отыскиваются по МНК следующим образом. В формуле (1.56) вместо записываем его конкретное выражение 
. Тогда 
.Дальнейшее решение сводится к задаче на экстремум, т.е. к определению того, при каком значении
и 
функция двух переменных S может достигнуть минимума. Как известно, для этого надо найти частные производные S по и 
, приравнять их к нулю и после элементарных преобразований решить систему двух уравнений с двумя неизвестными.В соответствии с вышеизложенным найдем частные производные
Сократив каждое уравнение на 2, раскрыв скобки и перенеся члены с y в правую сторону, а остальные – оставив в левой, получим систему нормальных уравнений
где n – количество уровней ряда; t – порядковый номер в условном обозначении периода или момента времени; y – уровни эмпирического ряда.
Эта система и, соответственно, расчет параметров
и 
упрощаются, если отсчет времени ведется от середины ряда. Например, при нечетном числе уровней серединная точка (год, месяц) принимается за нуль. Тогда предшествующие периоды обозначаются соответственно –1, –2, –3 и т.д., а следующие за средним (центральным) – соответственно 1, 2, 3 и т.д. При четном числе уровней два серединных момента (периода) времени обозначают –1 и +1, а все последующие и предыдущие, соответственно, через два интервала: 
, 
, 
и т.д.При таком порядке отсчета времени (от середины ряда)
= 0, поэтому система нормальных уравнений упрощается до следующих двух уравнений, каждое из которых решается самостоятельно: 
(1.57)Как видим, при такой нумерации периодов параметр
представляет собой среднее значение уровней ряда. К данному виду можно свести гиперболу, если ввести замену 
, тогда к ней полностью применима система уравнений (1.57).По полученной модели для каждого периода (каждой даты) определяются теоретические уровни тренда (
) и оценивается надежность (адекватность) выбранной модели тренда. 4.6 Оценка надежности уравнения тренда
Выбрав и составив уравнение, проводят оценку его надежности с помощью критерия Фишера, сравнивая его расчетное значение Fр с теоретическими значениями FТ, приведенными в специальных таблицах любого справочника по высшей математике. При этом расчетный критерий Фишера определяется по формуле
, (1.58)где k – число параметров (членов) выбранного уравнения тренда; ДА – дисперсия аналитическая; До – дисперсия остаточная в виде разности фактической ДФи аналитической дисперсий.
В свою очередь, фактическая и аналитическая дисперсии отклонений уровней ряда определяются по формулам
; (1.59) 
. (1.60) 
Сравнение расчетного и теоретического значений критерия Фишера ведется обычно при уровне значимости 0,05 с учетом степеней свободы
и 
. При условии Fр> FТ считается, что выбранная математическая модель ряда динамики адекватно отражает обнаруженный в нем тренд. 4.7 Гармонический анализ сезонных колебаний[1]*
Особое место при анализе сезонных колебаний занимает выравнивание с помощью ряда Фурье, в котором уровни можно выразить как функцию времени следующим уравнением:
.То есть сезонные колебания уровней динамического ряда можно представить в виде синусоидальных колебаний. Поскольку последние представляют собой гармонические колебания, то синусоиды, полученные при выравнивании по ряду Фурье, называют гармониками различных порядков (показатель k в этом уравнении определяет число гармоник). Обычно при выравнивании по ряду Фурье рассчитывают несколько гармоник (чаще не более 4) и затем уже определяют, с каким числом гармоник ряд Фурье наилучшим образом отражает изменения уровней ряда.
При выравнивании по ряду Фурье периодические колебания уровней динамического ряда представлены в виде суммы нескольких синусоид (гармоник), наложенных друг на друга.
Так, при k=1 ряд Фурье будет иметь вид
,а при k=2, соответственно,
и так далее.
Параметры уравнения теоретических уровней, определяемого рядом Фурье, находят, как и в других случаях, методом наименьших квадратов. Приведем без вывода формулы, используемые для исчисления параметров ряда Фурье:
; 
; 
.Последовательные значения t обычно определяются от 0 с увеличением (приростом), равным
, где n – число уровней эмпирического ряда.Например, при n=10 временнЫе точки t можно записать следующим образом:
,или (после сокращения)
; 
; 
; 
; 
; 
; 
; 
; 
.