Средние велиичины в экономическом анализе (стр. 3 из 6)
5. Сумма отклонений значений признака Х от средней арифметической х равна нулю:
Средняя гармоническая
Наряду со средней арифметической, в статистике применяется средняя гармоническая величина, обратная средней арифметической из обратных значений признака. Как и средняя арифметическая, она может быть простой и взвешенной. Применяется она тогда, когда необходимые веса (fi) в исходных данных не заданы непосредственно, а входят сомножителем в одни из имеющихся показателей.
Средняя гармоническая простая рассчитывается по формуле
, т.е. это обратная величина средней арифметической простой из обратных значений признака.Например, бригада токарей была занята обточкой одинаковых деталей в течение 8-часового рабочего дня. Первый токарь затратил на одну деталь 12 мин, второй - 15 мин., третий - 11, четвертый - 16 и пятый - 14 мин. Определите среднее время, необходимое на изготовление одной детали.
На первый взгляд кажется, что задача легко решается по формуле средней арифметической простой:
Полученная средняя была бы правильной, если бы каждый рабочий сделал только по одной детали. Но в течение дня отдельными рабочими было изготовлено различное число деталей. Для определения числа деталей, изготовленных каждым рабочим, воспользуемся следующим соотношением:
все затраченное время
Среднее время, затраченное = --------------------------------------
на одну деталь число деталей
Число деталей, изготовленных каждым рабочим, определяется отношением всего времени работы к среднему времени, затраченному на одну деталь. Тогда среднее время, необходимое для изготовления одной детали, равно:
Это же решение можно представить иначе:
Таким образом, формула для расчета средней гармонической простой будет иметь вид:
Средняя гармоническая взвешенная:
, где Mi=xi*fi (по содержанию).Например, необходимо определить среднюю урожайность всех технических культур на основании следующих данных (таблица 3):
Таблица 3
Валовой сбор и урожайность технических культур по одному из районов во всех категориях хозяйств.
| Культуры | Валовой сбор, ц (Mi) | Урожайность, ц/га (xi) |
| ХлопчатникСахарная свеклаПодсолнечникЛьноволокно | 97,2601,246,32,6 | 30,4467,011,02,9 |
| Итого | 743,3 | Х |
Здесь в исходной информации веса (площадь под культурами) не заданы, но входят сомножителем в валовой сбор, равный урожайности, умноженной на площадь Mi=xi*fi, поэтому
, а средняя урожайность будет равна 
.Средняя геометрическая
Средняя геометрическаяприменяется в тех случаях, когда индивидуальные значения признака представляют собой, как правило, относительные величины динамики, построенные в виде цепных величин, как отношение к предыдущему уровню каждого уровня в ряду динамики, т.е. характеризует средний коэффициент роста.
Средняя геометрическаяисчисляется извлечением корня степени и из произведений отдельных значений — вариантов признака х:
где n — число вариантов; П — знак произведения.
Наиболее широкое применение средняя геометрическая получила для определения средних темпов изменения в рядах динамики, а также в рядах распределения.
Средняя квадратическая и средняя кубическая
В ряде случаев в экономической практике возникает потребность расчета среднего размера признака, выраженного в квадратных или кубических единицах измерения. Тогда применяется средняя квадратическая (например, для вычисления средней величины стороны и квадратных участков, средних диаметров труб, стволов и т.п.) и средняя кубическая (например, при определении средней длины стороны и кубов).
Средняя квадратическая простая является квадратным корнем из частного от деления суммы квадратов отдельных значений признака на их число:
,где x1,x2,…xn- значения признака, n- их число.
Средняя квадратическая взвешенная:
,где f-веса.
Средняя кубическая простая является кубическим корнем из частного от деления суммы кубов отдельных значений признака на их число:
,где x1,x2,…xn- значения признака, n- их число.
Средняя кубическая взвешенная:
,где f-веса.
Средние квадратическая и кубическая имеют ограниченное применение в практике статистики. Широко пользуется статистика средней квадратической, но не из самих вариантов x, и из их отклонений от средней (х —
) при расчете показателей вариации.Средняя может быть вычислена не для всех, а для какой-либо части единиц совокупности. Примером такой средней может быть средняя прогрессивная как одна из частных средних, вычисляемая не для всех, а только для "лучших" (например, для показателей выше или ниже сред- них индивидуальных).
Структурные средние.
Для характеристики структуры вариационных рядов применяются так называемые структурные средние. Наиболее часто используются в экономической практике мода и медиана.
Мода – значение случайной величины встречающейся с наибольшей вероятностью. В дискретном вариационном ряду это вариант имеющий наибольшую частоту.
В дискретных вариационных рядах мода определяется по наибольшей частоте. Предположим товар А реализуют в городе 9 фирм по цене в рублях:
44; 43; 44; 45; 43; 46; 42; 46;43;
Так как чаще всего встречается цена 43 рубля, то она и будет модальной.
В интервальных вариационных рядах моду определяют приближенно по формуле
,где
- начальное значение интервала, содержащего моду; 
- величина модального интервала; 
- частота модального интервала; 
- частота интервала, предшествующего модальному; 
- частота интервала, следующего за модальным.Место нахождения модального интервала определяют по наибольшей частоте (таблица 4)
Распределение предприятий по численности промышленно - производственного персонала характеризуется следующими данными:
Таблица 4
| Группы предприятий по числу работающих, чел | Число предприятий |
| 100 — 200 | 1 |
| 200 — 300 | 3 |
| 300 — 400 | 7 |
| 400 — 500 | 30 |
| 500 — 600 | 19 |
| 600 — 700 | 15 |
| 700 — 800 | 5 |
| ИТОГО | 80 |
В этой задаче наибольшее число предприятий (30) имеет численность работающих от 400 до 500 человек. Следовательно, этот интервал является модальным интервалом ряда распределения.
Введем следующие обозначения:
=400, =100, =30, =7, =19Подставим эти значения в формулу моды и произведем вычисления:
Мода применяется для решения некоторых практических задач. Так, например, при изучении товарооборота рынка берется модальная цена, для изучения спроса на обувь, одежду используют модальные размеры обуви и одежды и др.
Медиана - это численное значение признака у той единицы совокупности, которая находится в середине ранжированного ряда (построенного в порядке возрастания, либо убывания значения изучаемого признака). Медиану иногда называют серединной вариантой, т.к. она делит совокупность на две равные части.
В дискретных вариационных рядах с нечетным числом единиц совокупности - это конкретное численное значение в середине ряда. Так в группе студентов из 27 человек медианным будет рост у 14-го, если они выстроятся по росту. Если число единиц совокупности четное, то медианой будет средняя арифметическая из значений признака у двух средних членов ряда. Так, если в группе 26 человек, то медианным будет рост средний 13-го и 14-го студентов.
В интервальных вариационных рядах медиана определяется по формуле: