Средние величины (стр. 3 из 7)
2.1.1 Средняя арифметическая величина
Средней арифметической величиной называется такое среднее значение признака, при вычислении которого общий объем признака в совокупности сохраняется неизменным.
Иначе можно сказать, что средняя арифметическая величина -среднее слагаемое. При ее вычислении общий объем признака мысленно распределяется поровну между всеми единицами совокупности.
Средняя арифметическая – наиболее распространенный на практике вид средних. Различают 2 вида арифметических средних:
· Невзвешенную (простую);
· Взвешенную.
Средняя арифметическая невзвешенная рассчитывается для несгруппированных данных по формуле:
.Для массовых статистических совокупностей рассчитывается взвешенная средняя арифметическая по формуле:
.Если при группировке значения осредняемого признака заданы интервалами, то при расчете средней арифметической величины в качестве значения признака в группах принимают середины этих интервалов, т.е. исходят из гипотезы о равномерном распределении единиц совокупности по интервалу значений признака. Для открытых интервалов в первой и последней группе, если таковые есть, значения признака надо определить экспертным путем исходя из сущности, свойств признака и совокупности. Например, по табл.2.1.1 можно минимальный возраст рабочих считать 17 лет. Тогда первый интервал будет от 17 до 20 лет, а максимальный возраст — 65 лет, тогда последний интервал — 50-65 лет.
Таблица 2.1.1 Распределение рабочих предприятия по возрасту
| Группы рабочих по возрасту, лет | Число рабочихfj | Середина интервала xj | xj fj |
| До 20 | 48 | 18,5 | 888 |
| 20-30 | 120 | 25 | 3000 |
| 30-40 | 75 | 35 | 2625 |
| 40-50 | 62 | 45 | 2790 |
| Старше50 | 54 | 57,5 | 3105 |
| Итого | 359 | 34,56 | 12408 |
Средний возраст рабочих, рассчитанный по формуле с заменой точных значений признака в группах серединами интервалов, составил:
= 
,что и записано в итоговую строку по графе 3 табл.2.1.1.
Средняя арифметическая величина обладает рядом свойств, позволяющих ускорить расчет:
1. Произведение средней на сумму частот всегда равно сумме произведений вариант на частоты, т. е.
.Это свойство определено требованиями правильного исчисления средней, согласно которым конкретные значения варьирующего признака уравниваются без изменения общего объема его и заменяются одним средним числом, которое как постоянный множитель выносится из-под знака суммы. Благодаря этому свойству средняя может быть использована для разного рода плановых и статистических расчетов как представитель или заменитель всех значений варьирующего признака. Так, если средний расход горючего на 1 гектар пахоты составляет 20 литров, а всего надо вспахать 2 млн. га, то всего потребуется 40 млн. литров горючего. Аналогично, если достаточно репрезентативное выборочное обследование показало, что среднегодовой надой молока на одну корову составляет 2500 литров, а всего в районе 15 тыс. коров, то общий надой составит 37,5 млн. литров.
2. Сумма отклонений вариантов как от простой, так и от взвешенной средней арифметической равна нулю:
и 
Рассмотренное свойство может быть использовано для проверки правильности исчисления средней. Если при исчислении средней арифметической
и 
не равны нулю, это указывает, что средняя неправильно исчислена. А так как в анализе часто приходится пользоваться отклонениями от средней, их удобно использовать и для проверки правильности исчисления средней.3. Сумма квадратов отклонений вариантов как от простой, так и от взвешенной средней меньше суммы квадратов отклонений от любой другой произвольной величины а, т. е.
.Пример:
Таблица 2.1.2
| Табельный номер рабочего | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| Часовая выработка деталей (x) | 12 | 10 | 6 | 10 | 12 | 10 |
В примере, основанном на данных табл. 2.1.2,
, а 
При а =12 
составит:
Таблица 2.1.3
| xi | - a |  |  |
| 12 | -12 | 0 | 0 |
| 10 | -12 | -2 | 4 |
| 6 | -12 | -6 | 36 |
| 10 | -12 | -2 | 4 |
| 12 | -12 | 0 | 0 |
| 10 | -12 | -2 | 4 |
| Итого | 48 |
Как видим, 24<48.
4. Если все частоты разделить (или умножить) на произвольное число (а), то средняя от этого не изменится, так как
Если разгруппировать рабочих (табл.2.1.2) по числу выработанных за час деталей, получим такие данные (табл.2.1.4):
Таблица 2.1.4
| Варианты выработки деталей за час (x) | Число рабочих с данной выработки (f) | Объем варьирующего признака (xf) |
| 6 | 1 | 6 |
| 10 | 3 | 30 |
| 12 | 2 | 24 |
| Итого | 6 | 60 |
Если применить полученную формулу, к примеру, приведенному в табл. 2.1.4, это означает, что если, например, частоты уменьшить в 6 раз, средняя взвешенная арифметическая не изменится и будет равна:
Средняя не изменится, если мы частности выразим в процентах, т. е. умножим их на 100:
Рассматриваемое свойство показывает, что при данных вариантах признака величина средней зависит не от абсолютного размера весов, а от соотношения между ними. В приведенном примере мы сначала частоты уменьшили в 6 раз, а затем увеличили в 100 раз, но средняя выработка не изменилась.
5. Если веса всех вариантов равны между собой, то взвешенная средняя равна простой средней, так как при этих условиях
Так как исчисление простой арифметической средней требует меньше затрат труда, чем взвешенной, то при равенстве весов нет надобности пользоваться последней.
6. Средняя алгебраической суммы равна алгебраической сумме средних. Так, если у, х иz— положительные варьирующие величины и уi=xi +zi , то
7.
.Следовательно,
.Это свойство средней показывает, в каких случаях можно непосредственно суммировать средние. Например, если изделие состоит из двух деталей, изготовляемых разными рабочими, и при этом один из них тратит в среднем на одну деталь 20, а на другую 30 минут, то в среднем на одно изделие расходуется 20 + 30 = 50 минут. Аналогично решался бы вопрос, если бы изделие состояло из трех и более деталей.
2.1.2 Средняя гармоническая величина
Если по условиям задачи необходимо, чтобы неизменной оставалась при осреднении сумма величин, обратных индивидуальным значениям признака, то средняя величина является гармонической средней.