Статистико-экономический анализ состояния и использования оборотных средств сельскохозяйственного предприятия (стр. 5 из 8)

- Определения наличия связи между явлениями с помощью математического уравнения;

- Определение степени тесноты связи с помощью коэффициентов корреляции и детерминации.

Линейная регрессия одного фактора

Уравнение линейной регрессии одного фактора записывается в виде уравнения прямой:

+ , где - факторный признак; - результативный признак; и - параметры уравнения. Чтобы определить параметры пользуются методом наименьших квадратов и находят минимум функций S= Σ ( - - ) . В этой функции за переменные принимаются последовательно значения и . Экстремум функции двух переменных определяется, если приравнять частные производные по этим переменным нулю.

После определения частных производных функции по

и , приравнивания их нулю, и небольших преобразований получим систему нормальных уравнений:

+ Σ = Σ ;

Σ + Σ = Σ ,

Решение которой и позволяет определить величины параметров

и , а следовательно и уравнение регрессии.

Параметры уравнения линейной регрессии одного фактора можно находить и по формулам:

= ; = - .

Ясно, что практически приемлемым является наименее трудоемкий вариант расчета. В уравнении прямой параметр

экономического смысла не имеет. Параметр является коэффициентом регрессии и показывает изменение результативного признака при изменении факторного признака на единицу.

Кроме линейной функции связи в экономическом анализе часто применяются степенная, гиперболическая и параболическая функции.

Расчет параметров степенной функции

Если значения факторного признака расположены в порядке геометрической прогрессии и соответствующие значения результативного признака также образуют геометрическую прогрессию, то связь между признаками может быть представлена степенной функцией вида

Для определения параметров степенной функции методом наименьших квадратов необходимо привести ее к линейному виду путем логарифмирования:

.

Система нормальных уравнений имеет вид:

Σ Σ ,

Σ Σ Σ .

Параметры можно определить, решая систему нормальных уравнений или по формулам:

, .

Расчет параметров уравнения гиперболы

Если результативный признак с увеличением факторного признака возрастает (или убывает) не бесконечно, а стремится к конечному пределу, то для анализа такого признака применяется уравнение гиперболы вида

.

Для определения параметров этого уравнения используется система нормальных уравнений

Σ Σ ,

Σ

Σ Σ( ) .

Чтобы определить параметры уравнения гиперболы методом наименьших квадратов, необходимо привести его к линейному виду. Для этого произведем замену переменных

= , получим следующую систему нормальных уравнений:

Σ Σ ,

Σ

Σ Σ .

Параметры уравнения гиперболы можно вычислить по формулам

,

.

Параболическая регрессия одного фактора

Связь одного фактора, при которой результативный признак увеличивается быстрее, чем факторный, отображается уравнением параболы второго порядка:

. Для определения параметров параболы по методу наименьших квадратов находят минимум функции

.

При этом получают следующую систему нормальных уравнений:

;

;

.

Первое уравнение почти полностью воспроизводит само уравнение параболы, второе уравнение старше первого на

, третье - старше первого на .

Корреляционная таблица.

Парная таблица с большим числом наблюдений часто становится мало обозримой, и по ней неудобно вести расчеты. Поэтому для табличного изображения парной связи, решения уравнения регрессии и определения показателей тесноты связи используют корреляционную (двумерную) таблицу. В корреляционной таблице можно отобразить только парную связь, т. е. связь результативного признака с одним фактором. Она позволяет найти уравнение регрессии и вычислить линейный коэффициент корреляции. Само уравнение регрессии может иметь линейную, параболическую, гиперболическую, показательную и др. формы. При нахождении уравнения регрессии и линейного коэффициента по корреляционной таблице не теряется информация о связи, обусловленная усреднением данных. В корреляционной таблице связь между признаками выступает более рельефно, чем при рассмотрении средних значений факторного и результативного признаков. Однако, если обеспечивается возможность счета по каждой паре взаимосвязанных данных, необходимо ею воспользоваться и прибегать к корреляционной таблице лишь в отдельных случаях – при группировке данных.