Модель ринкової рівноваги (стр. 3 из 4)

5. Якщо

з точністю до не дорівнює 0, то аукціонником за наступними формулами здійснюється регуляція цін

, ,

,

де

й – додатні коефіцієнти корекції.

3. Задача визначення рівноважного випуску продукції

Складемо алгоритм, який визначає на основі міжгалузевого аналізу величину випуску за допомогою моделі Леонтьєва при відомій матриці коефіцієнтів прямих витрат

і векторів кінцевого попиту .

Для розв’язання даної задачі використовуємо обчислювальну схему Гаусса-Зейделя.

Визначимо перелік змінних:

– кількість секторів економіки; – матриця коефіцієнтів прямих витрат; – кінцевий попит на -й продукт; – ітераційний розв’язок -го порядку; – значення критерію збіжності; – загальна сума абсолютних відхилень; – лічильник ітерацій; – загальний кінцевий попит; – загальний випуск.

Під час використання методу Гаусса-Зейделя як основні рівняння виступають такі:

,

,

………………………………………

, (7)

………………………………………

,

Де

,

Якщо розбити матрицю коефіцієнтів прямих витрат по діагоналях на дві частини:

,

Де

,

,

то систему (7) можна записати у вигляді

.

Зауважимо, що

– кількість секторів економіки, – коефіцієнти матриці коефіцієнтів прямих витрат, – коефіцієнти вектора кінцевого попиту. Вважається, що

.

Ітераційний процес триває доти, доки

.

4. Оптимізаційні задачі в моделі Леонтьєва

Сформулюємо наступну екстремальну задачу. Нехай вектор трудових ресурсів дорівнює

, де – витрати трудових ресурсів -ї галузі. Суму назвемо обсягом витрат ресурсів, необхідних для виробництва валового продукту . Позначимо через загальний об’єм трудових ресурсів, . Тоді має місце нерівність . Розв’язок системи рівнянь при існує, але не при будь-якому невід’ємному векторі . Нехай вектор задає не кінцевий попит, а лише структуру кінцевого попиту, тобто можна вважати, що . Необхідно максимізувати – кіль-кість комплектів товарів, що випускають, тобто

. (8)

Суть задачі (3.13) полягає в раціональному розподілі трудових ресурсів під час виробництва номенклатури товарів.

Якщо матриця

продуктивна, то задача (8) припустима й має розв’язок. Справді, якщо , то існує додатне таке, що

Значення

є припустимим для задачі (8). Очевидно, що множина всіх припустимих значень є обмеженою, отже, задача (8) має розв’язок.

Розглянемо узагальнену модель Леонтьева (УМЛ), в якій передбачається, що кожна галузь має не один технологічний спосіб для виробництва свого продукту. Нехай у виробничій системі є

типів товарів і технологічних процесів , кожен з яких випускає один товар.

Позначимо кількість ресурсу

-го типу й об'єму роботи, необхідних для виробництва одиниці продукції виду в галузі за допомогою технології , відповідно як

тоді узагальнену матрицю коефіцієнтів прямих витрат (узагальнену матрицю Леонтьєва) і вектор коефіцієнтів трудових витрат можна визначити як

.

Матриця коефіцієнтів випуску виходить із одиничної матриці шляхом такого розширення:

.

Виразимо вектор обсягу випуску, що описує режим роботи всіх технологічних способів узагальненої моделі Леонтьєва, як

.

Вектор кінцевого попиту

.

Кожна галузь вибирає з кількості доступних їй технологій одну певну технологію. Якщо припустити, що вибір технологій здійснюється з урахуванням задоволення кінцевого попиту

, який пропонують кожній з галузей, так, щоб мінімізувати об'єм витрат „живої" роботи в суспільстві в цілому, то задача технологічного вибору може бути наведена у вигляді задачі лінійного програмування

. (9)

Для сформульованої узагальненої моделі Леонтьєва існує так називана теорія заміщення: якщо в УМЛ припустити можливість виробництва додатного вектора попиту

, то, як би не змінювався кінцевий попит, оптимальний базис залишатиметься незмінним. Цей базис є матрицею розміру . Оскільки будь-яка галузь має виробляти певну кількість продукції, причому це можливо за допомогою різних виробничих технологій, кожною галуззю буде обраний один технологічний процес.