Економічне прогнозування (стр. 2 из 15)
У наведеній формулі перший елемент характеризує інерцію розвитку, другий — адаптує середню до нових умов. Таким чином середня
з кожним кроком ніби оновлюється. Ступінь оновлення визначається постійною вагою 
. При використанні зважених асиметричних фільтрів вагова функція формується з урахуванням ступеня новизни інформації. Такою є середня з екс-поненційно розподіленими вагами: 
,де Yt, — експоненційна середня, тобто згладжене значення рівня динамічного ряду на момент t;
— вага ( t - r )-гo рівня; a — параметр згладжування, який визначає вагу t-гo рівня, значення його коливаються в межах від 0 до 1.Розклавши формулу за елементами суми, маємо
,або
Друга складова останньої формули є не що інше, як експоненційна середня для (t- l)-гo моменту. Отже, експоненційну середню можна представити як лінійну комбінацію фактичного рівня t-гo моменту та експоненційної середньої (t - l)-гo моменту:
.Чим віддаленіший від t-го моменту рівень ряду, тим менша його відносна вага і вклад у тенденцію. Так, при a = 0,2 ваги становлять: для t- го моменту — 0,2, для ( t – 1 )- го моменту — 0,2(1 -O,2) = 0,16; для (t-2)-ro моменту — 0,2(1 -0,2)2 = 0,128 і т. д. Надаючи більшу вагу новій інформації, експоненційна середня адаптується до нових умов, що робить її досить ефективним і надійним методом короткострокового прогнозування.
Для розрахунку експоненційної середньої Yt, необхідно визначити початкові умови: початкову величину Y0і параметр а. Як початкову величину можна використати середній рівень за минулий (до динамічного ряду) період, або за відсутності таких даних, перший рівень ряду, тобто Yo=yt. Щодо параметра а, то на практиці найчастіше використовують його значення в інтервалі від 0,1 до 0,3 . Оскільки від параметра а залежить сума вагових коефіцієнтів
на певному часовому інтервалі m, то можна за наперед заданим значенням цих величин орієнтовно визначити параметр а: 
Наприклад, якщо часовий інтервал m = 10 місяців, а сума ваг
= 0,90 , то 
. Тобто, при a = 0,2 десять членів динамічного ряду визначать 90% величини експоненційної середньої.При прогнозуванні процесу вдаються до багаторазового згладжування. Якщо період упередження v = 1, то використовують подвійне згладжування. Експоненційна середня другого порядку
визначається за такою ж самою рекурентною формулою на основі згладженого ряду 
: 
.Якщо припустити наявність лінійного тренда, прогнозний рівень Yt+1 можна розрахувати за формулою :
Довірчі межі прогнозного рівня визначаються традиційно:
де
¾ дисперсія рівнів первинного динамічногоряду; t— квантиль розподілу Стьюдента для ймовірності ( 1 - a ).
Очевидно, що за умови значної варіації рівнів динамічного ряду довірчі межі будуть досить широкими.
Базову модель експоненційного згладжування можна використати при моделюванні рядів, які мають сезонну компоненту.
Оцінювання сезонної компоненти
Сезонні коливання формуються під впливом не лише природно-кліматичних, але й соціально-економічних факторів. Сила і напрям дії окремих факторів формує різну конфігурацію сезонної хвилі. За своїм характером сезонна компонента може бути адитивною або мультиплікативною. Для адитивної компоненти характерні сталі коливання навколо середнього рівня чи тренда, для мультиплікативної — зростання амплітуди коливань з часом.
Кожний рівень ряду уt , належить до певного сезонного циклу s, Довжина якого становить 12 місяців, або 4 квартали. Відношення Ytдо середнього рівня за цикл називається індексом сезонності:
.За умови, що вплив несезонних факторів еліміновано, середня з iндексіву j-го циклу становить 1, або 100 % .
У нестаціонарних рядах замість середньої використовують лі-н'ю тренда Yt = y(t), яка плавно проходить через ряд динаміки і , як і середня , елімінує його нерівномірності. Сукупність індексів Сезонності в межах циклу характеризує сезонний ритм.
Прогнозування сезонних процесів ґрунтується на декомпозиції динамічного ряду. Припускають, що у майбутньому збережеться тенденція і такий же характер коливань. За таких умов прогноз на будь-який місяць (квартал), визначений методом екстра-поляціїтренда, коригується індексом сезонності:
, де v — період упередження. Скажімо, поквартальна динаміка обсягів імпорту пального (тис. т) за два роки (n = 8, t1 = -3,5, tn = 3,5) описується трендом Yt = 923,7 + 33,8t, за яким теоретичний обсяг імпорту у восьмому кварталі становить 1042,0 тис.т, а в 1-му кварталі наступного року (v=1) передбачається Yt+v= 1042,0 + 33,8 * 1 = 1075,8 . Якщо середній індекс сезонності 1-го кварталу It = 1,34, то скоригований на сезонність прогнозний рівень дорівнює 
,= 1,34 - 1075,8 = 1441,6 тис.т.Динаміка більшості показників не виявляє чітко вираженої тенденції розвитку. Через постійний перерозподіл впливу факторів, які формують динаміку процесу, змінюється інтенсивність динаміки, частота та амплітуда коливань. До таких фактичних даних більш еластичною виявляється ковзна середня, інтервал згладжування якої дорівнює сезонному циклу (4 або 12). Коригування ковзної середньої на сезонність здійснюється так само, як коригування лінійного тренда.
Ha використанні експоненційної середньої ґрунтується ceзонно-деколіпозиційна модель Холта-Вінтера, в якій поєднуються моделі стаціонарності, лінійності та сезонності. Послідовність операцій така:
1. Визначаються індекси сезонності It
2. Ряд динаміки фільтрується від сезонних коливань діленням ytна коефіцієнт сезонності з лагом s; ряд ut = yt : It-sназивається декомпозиційним.
3. Перші різниці декомпозиційного ряду bt = (ut – ut-1 ) розглядаються як характеристики лінійного тренда.
Кожна з компонент моделі згладжується за допомогою експоненційної середньої. При комбінації лінійної та сезонно-адитивної моделей тренда:
Значення параметрів згладжування A, D і C в системі Statistica за умовчування визначаються на рівні 0,1, в [10] рекомендуються: A = 0,2; B = 0,2; C = 0,5.
За умови ізольованої оцінки трьох факторів прогноз на період упередження v визначається як скоригована на сезонність сума прогнозного рівня ut , і лінійного тренда:
.При комбінації лінійного та сезонно-мультиплікативного трендів кінцевий прогноз визначається за формулою :
, де 
.Типи трендових моделей
При моделюванні динамічних процесів причинний механізм формування властивих їм особливостей у явному вигляді не враховується. Будь-який процес розглядається як функція часу. Певна річ, час не є фактором конкретного соціально-економічного процесу, змінна часу t просто акумулює комплекс постійно діючих умов і причин, які визначають цей процес.
У моделях динаміки процес умовно поділяється на чотири складові:
- довгострокову, детерміновану часом еволюцію — трендf(t));
- періодичні коливання різних частот Ct;
- сезонні коливання St;
- випадкові коливання et.
Зв'язок між цими складовими представляється адитивно (сумою) або мультиплікативно (добутком):
Така умовна конструкція дає змогу, залежно від мети дослідження, вивчати тренд, елімінуючи коливання, або вивчати коливання, елімінуючи тренд. При прогнозуванні здійснюється зведення прогнозів різних елементів в один кінцевий прогноз.
Характерною властивістю будь-якого динамічного ряду є залежність рівнів: значення уt , певною мірою залежить від попередніх значень:
i т. д. Для оцінювання ступеня залежності рівнів ряду використовують коефіцієнти автокореляції rрз часовим лагом p = 1, 2, ..., т.