Линейная регрессия (стр. 2 из 5)
4) Вычислим F- распределения.
Fнабл=S2ŷ/S1ŷ =1,653.
5) Произведем сравнение Fнабл и Fтабл.
1,653<5,32 (при k1=1 и k2=n–2=10–2=8), следовательно, гетероскедастичность места не имеет, т.е. дисперсия остатков гомоскедастична.
· Отсутствие автокорреляции.
Отсутствие автокорреляции проверяется по d-критерию Дарбина - Уотсона:
Таблица 4
| εi | εi-1 | εi- εi-1 | (εi- εi-1)2 | |
| 1 | 1,284 | |||
| 2 | -1,521 | 1,284 | -2,805 | 7,868 |
| 3 | 2,611 | -1,521 | 4,132 | 17,073 |
| 4 | 1,894 | 2,611 | -0,717 | 0,5141 |
| 5 | 0,089 | 1,894 | -1,805 | 3,258 |
| 6 | -1,760 | 0,089 | -1,849 | 3,4188 |
| 7 | -2,433 | -1,760 | -0,673 | 0,4529 |
| 8 | -2,106 | -2,433 | 0,327 | 0,1069 |
| 9 | 3,001 | -2,106 | 5,107 | 26,081 |
| 10 | -1,062 | 3,001 | -4,063 | 16,508 |
| Сумма | 75,282 |
; d=75,282/37,961=1,983.Так как d-критерий меньше двух, то мы наблюдаем присутствие положительной автокорреляции.
· Остатки подчиняются нормальному закону распределения.
4. Осуществить проверку значимости параметров уравнения регрессии с помощью t-критерия Стьюдента
; 
, 
; 
,где
Тогда
, 
; 
и 
tтабл=2,3060 (при 10-2=8 степенях свободы); tа и tb> tтабл, что говорит о значимости параметров модели.
5. Коэффициент детерминации находится по формуле:
.Данные возьмем из таблицы 5:
Таблица 5
| № | x | y |  |  |  |  |  |  |
| 1 | 17 | 26 | 3,7 | 4,1 | 13,69 | 16,81 | 1,284 | 4,938 |
| 2 | 22 | 27 | 8,7 | 5,1 | 75,69 | 26,01 | -1,521 | 5,633 |
| 3 | 10 | 22 | -3,3 | 0,1 | 10,89 | 0,01 | 2,611 | 11,868 |
| 4 | 7 | 19 | -6,3 | -2,9 | 39,69 | 8,41 | 1,894 | 9,968 |
| 5 | 12 | 21 | -1,3 | -0,9 | 1,69 | 0,81 | 0,089 | 0,424 |
| 6 | 21 | 26 | 7,7 | 4,1 | 59,29 | 16,81 | -1,760 | 6,769 |
| 7 | 14 | 20 | 0,7 | -1,9 | 0,49 | 3,61 | -2,433 | 12,165 |
| 8 | 7 | 15 | -6,3 | -6,9 | 39,69 | 47,61 | -2,106 | 14,040 |
| 9 | 20 | 30 | 6,7 | 8,1 | 44,89 | 65,61 | 3,001 | 10,003 |
| 10 | 3 | 13 | -10,3 | -8,9 | 106,09 | 79,21 | -1,062 | 8,169 |
| Сумма | 133 | 219 | 392,1 | 264,9 | 83,979 | |||
| Ср. знач. | 13,3 | 21,9 |
Для проверки значимости модели используем F-критерий Фишера:
.Fтабл=5,32 (k1=1, k2=8 степенями свободы) ;
F>Fтабл, что говорит о значимости уравнения регрессии.
Среднюю относительную ошибку аппроксимации находим по формуле:
;В среднем расчетные значения отклоняются от фактических на 8,4%.
Поскольку найденная средняя относительная ошибка аппроксимации находится в интервале от 5 до 10, то можно утверждать, что модель имеет хорошее качество.
6. Ширина доверительного интервала находится по формулам:
где tα=1,86 при m=n-2=8 и α=0,1
Т.о.
Верхн. граница: 25,173+4,34=29,513
Нижн. граница: 25,173-4,34=20,833
Таблица 6
| Нижняя граница | Прогноз | Верхняя граница |
| 20,83 | 25,17 | 29,51 |
7. Фактические и модельные значения Y, точки прогноза представлены на графике 2.
График 2
8. Составить уравнения нелинейной регрессии:
· Гиперболической
Уравнение показательной кривой имеет вид: ŷ = a + b/x.
Произведем линеаризацию модели путем замены Х = 1/х.
Тогда уравнение примет вид: ŷ = a + bХ- линейное уравнение регрессии.
Данные, необходимые для нахождения параметров приведены в таблице 6
Таблица 7
| № | y | x | X | X2 | Xy | ŷ | εi | εi2 |  |
| 1 | 26 | 17 | 0,0588 | 0,0035 | 1,5294 | 24,41 | 1,59 | 2,52 | 6,11 |
| 2 | 27 | 22 | 0,0455 | 0,0021 | 1,2273 | 25,10 | 1,90 | 3,61 | 7,04 |
| 3 | 22 | 10 | 0,1000 | 0,0100 | 2,2000 | 22,29 | -0,29 | 0,09 | 1,33 |
| 4 | 19 | 7 | 0,1429 | 0,0204 | 2,7143 | 20,09 | -1,09 | 1,18 | 5,72 |
| 5 | 21 | 12 | 0,0833 | 0,0069 | 1,7500 | 23,15 | -2,15 | 4,63 | 10,24 |
| 6 | 26 | 21 | 0,0476 | 0,0023 | 1,2381 | 24,99 | 1,01 | 1,02 | 3,89 |
| 7 | 20 | 14 | 0,0714 | 0,0051 | 1,4286 | 23,76 | -3,76 | 14,16 | 18,82 |
| 8 | 15 | 7 | 0,1429 | 0,0204 | 2,1429 | 20,09 | -5,09 | 25,88 | 33,91 |
| 9 | 30 | 20 | 0,0500 | 0,0025 | 1,5000 | 24,87 | 5,13 | 26,35 | 17,11 |
| 10 | 13 | 3 | 0,3333 | 0,1111 | 4,3333 | 10,28 | 2,72 | 7,38 | 20,90 |
| Сумма | 219 | 133 | 1,0757 | 0,1843 | 20,0638 | 86,82 | 125,07 | ||
| Ср.знач. | 21,9 | 13,3 | 0,1076 | 0,0184 | 2,0064 |
Значение параметров а и b линейной модели определим по формулам:
Уравнение регрессии будет иметь вид ŷ = 27,44 – 51,47 X.
Перейдем к исходным переменным, получим уравнение гиперболической модели:
. 
График 3
Степенная
Уравнение степенной модели имеет вид: ŷ = a · xb
Для построения этой модели необходимо произвести линеаризацию переменных. Для этого произведем логарифмирование обеих частей уравнения:
lg ŷ = lg a + b lg x
Обозначим Y = lg ŷ; A = lg a; X = lg x
Тогда уравнение примет вид: Y = A + bX - линейное уравнение регрессии.
Рассчитаем его параметры, используя данные таблицы 8:
Таблица 8
| № | y | x | Y | X | YX | X2 | ŷ | εi | εi2 |  |
| 26 | 17 | 1,4150 | 1,2304 | 1,7411 | 1,5140 | 24,545 | 1,45 | 2,12 | 5,60 | |
| 27 | 22 | 1,4314 | 1,3424 | 1,9215 | 1,8021 | 27,142 | -0,14 | 0,02 | 0,52 | |
| 22 | 10 | 1,3424 | 1,0000 | 1,3424 | 1,0000 | 19,957 | 2,04 | 4,17 | 9,29 | |
| 19 | 7 | 1,2788 | 0,8451 | 1,0807 | 0,7142 | 17,365 | 1,63 | 2,67 | 8,60 | |
| 21 | 12 | 1,3222 | 1,0792 | 1,4269 | 1,1646 | 21,427 | -0,43 | 0,18 | 2,04 | |
| 26 | 21 | 1,4150 | 1,3222 | 1,8709 | 1,7483 | 26,654 | -0,65 | 0,43 | 2,51 | |
| 20 | 14 | 1,3010 | 1,1461 | 1,4911 | 1,3136 | 22,755 | -2,76 | 7,59 | 13,78 | |
| 15 | 7 | 1,1761 | 0,8451 | 0,9939 | 0,7142 | 17,365 | -2,37 | 5,59 | 15,77 | |
| 30 | 20 | 1,4771 | 1,3010 | 1,9218 | 1,6927 | 26,151 | 3,85 | 14,81 | 12,83 | |
| 13 | 3 | 1,1139 | 0,4771 | 0,5315 | 0,2276 | 12,479 | 0,52 | 0,27 | 4,01 | |
| Сумма | 219 | 133 | 13,2729 | 10,5887 | 14,3218 | 11,8913 | 37,86 | 74,94 | ||
| Ср.знач. | 21,9 | 13,3 | 1,3273 | 1,0589 | 1,4322 | 1,1891 |
Значение параметров А и b линейной модели определим по формулам: