7.7.3 Замкнутая система с ПИ – регулятором по возмущению

Общий вид передаточной функции замкнутой системы с ПИ – регулятором по возмущению:

- диапазон изменения чатоты;

- замена p на комплексную величину i;

- знаменатель передаточной функции;

- действительная составляющая;

- мнимая составляющая;

Рисунок 22 – Годограф Михайлова разомкнутой системы с ПИ – регулятором в интервале частот [0;2,5]

Изменим диапазон частоты:

и покажем, что годограф разомкнутой системы с ПИ – регулятором проходит все 6 квадрантов.

Рисунок 23 – Годограф Михайлова разомкнутой системы с ПИ – регулятором в интервале частот [2,5; 9,5]

Из рисунков 22 и 23 видно, годограф проходит 6 квадрантов, начав свое движение с положительной действительной полуоси, вращаясь последовательно против часовой стрелки нигде не обращаясь в нуль. Таким образом, замкнутая система с ПИ – регулятором является устойчивой, так как выполняется необходимое и достаточное условие устойчивости по критерию Михайлова.

8 ПОСТРОЕНИЕ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ

8.1 Постановка задачи. Методы решения

Чтобы окончательно убедиться в пригодности САУ нужно исследовать результаты их переходных процессов. Поэтому на завершающей стадии проектирования САУ всегда стремятся тем или иным способом получить оценки динамических характеристик системы и сравнить их с заданными.

Переходные процессы рассчитывают для замкнутых САУ по возмущающему и управляющему воздействиям. Если переходные процессы рассчитываются для замкнутых САУ по возмущению, то регулятор должен в течение переходного процесса скомпенсировать это возмущение, а объект – вернуться в исходное состояние, в котором он был до приложения возмущения. Если же переходные процессы рассчитываются для замкнутых САУ по управлению, то регулятор должен отработать управляющее воздействие и регулируемая величина на выходе объекта должна принять заданное значение.

Для построения переходных процессов, используя при этом любые методы (аналитические, численные), необходимо иметь математическую модель замкнутой системы в форме передаточной функции или дифференциального уравнения (ДУ).

Если передаточная функция замкнутой системы приведена к ДУ с произвольной правой частью, то аналитическое решение ищется в следующей последовательности:

– находятся корни характеристического уравнения;

– строится частное решение с неопределенными коэффициентами;

– полученное частное решение подставляется в исходное уравнение;

– после приравнивания коэффициентов при одинаковых степенях

находятся все неопределенные коэффициенты;

– записывается искомое частное решение.

Это решение и будет являться зависимостью выходной координаты системы от времени.

При использовании численных методов для построения переходных процессов необходимо:

– передаточную функцию замкнутой системы преобразовать в ДУ;

– ДУ

порядка привести к нормальной системе, состоящей из

ДУ первого порядка;

– задать уравнение для возмущающего воздействия;

– выбрать один из численных методов для решения полученной системы;

– составить программу на ЭВМ для решения полученной системы ДУ и построения переходных процессов.

Для решения поставленной задачи используются следующие методы:

1) Метод Эйлера;

Интегрирование ДУ этим методом аналогично вычислению определенного интеграла по методу левых прямоугольников:

2) Модифицированный метод Эйлера

Аналогично методу средних прямоугольников:

Недостатком данного метода являются двойные затраты на решение.

3) Усовершенствованный метод Эйлера-Коши

Аналогично методу трапеций:

4) Метод Эйлера – Коши с итерациями

В данном методе приближенное решение используется для уточнения этого же решения (подстановка в правую часть), эта итерация продолжается до обеспечения требуемой точности; если точность не достигается за заданное количество итераций, то либо нужно изменить дополнительное число итераций, либо уменьшить требуемую точность;

5) Методы с автоматическим выбором величины шага (адаптивные)

Во всех численных методах точность зависит от величины шага, в то же время искомое решение изменяется с разной скоростью внутри интервала. Для численных методов необходимо выбрать разный шаг на разных участках изменения функции, чтобы обеспечить на них одинаковую точность. В этих методах решение на каждом шаге находится дважды: с исходным шагом и с шагом, в два раза меньшим. Эти два решения сравниваются, и если точность не достигнута, то исходный шаг уменьшается вдвое и процедура повторяется; таким образом, каким бы ни был исходный шаг, машиной выберется шаг в соответствии с заданной точностью. В такой процедуре шаг может быть выбран исключительно малым и прохождение всего интервала с таким шагом может оказаться неэффективным, поэтому на следующем шаге выполняется обратная процедура. Решение находится с этим же шагом и с шагом в два раза большим; если точность достаточна, то шаг увеличивается еще вдвое. Таким образом, величина шага однозначно определяется величиной дополнительной погрешности получения решения;

6) Метод Рунге – Кутта:

7) Экстраполяционные методы

В основе этих методов лежит получение решения в последующей точке через найденные решения в предыдущих точках;

8) Методы решения для жестких систем (метод Гира, метод Штера, метод Булирша)

Для этого вычисляется матрица Якоби:

8.2 Построение переходных процессов в замкнутых системах по возмущению

8.2.1 Система с П – регулятором

Запишем передаточную функцию данной системы:

По аналогии с п.5 преобразуем полученную передаточную функцию в ДУ пятого порядка и приведем его к нормальной системе. После этого зададим нормальную систему в виде вектора.

Запишем нормальную систему и решим её:

Полученные результаты отобразим на рисунке 24.

Рисунок 24 – График переходного процесса в замкнутой системе с П – регулятором по возмущению

8.2.2 Система с И – регулятором