Методи обчислення дисперсії

План

1. Методи обчислення дисперсії

2. Задача №6

3. Задача №12

4. Задача №18

5. Задача №24

1. Методи обчислення дисперсії

Статистична дисперсія (від англ. statistical dispersion) — ступінь відхилення або зміни значень змінній від центрального пункту. Статистична дисперсія розраховується як різниця між значенням середньою квадратів варіюючої ознаки і квадратом середнього значення цієї ознаки. Дисперсія є базовим інструментом для статистичної оцінки варіації розподілу. Якщо значення ознаки розподілу ідентичні, то дисперсія рівна нулю. Дисперсія не може бути негативною величиною.

Умови існування і розвитку окремих одиниць сукупності певною мірою різні, що позначається і на відмінності значень у них узятої нами ознаки. Середня величина відображає ці середні умови.

Середнє лінійне відхилення дає узагальнену характеристику ступеня тієї, що коливається ознаки в сукупності. Проте при його численні доводиться допускати некоректні з погляду математики дії, порушувати закони алгебри, що спонукало математиків і статистиків шукати інший спосіб оцінки варіації для того, щоб мати справу тільки з позитивними величинами. Найпростіший вихід - звести всі відхилення в другий ступінь.

Отримана міра варіації називається дисперсією, а корінь квадратний з дисперсії - середнім квадратичним відхиленням. Ці показники є загальноприйнятими заходами варіації і часто використовуються в статистичних дослідженнях, а також в техніці, біології і інших галузях знань. Дані показники знайшли також своє широке застосування в міжнародній практиці обліку і статистичного аналізу, зокрема в системі національного рахівництва.

Середнє квадратичне відхилення - це узагальнююча характеристика розмірів варіації ознаки в сукупності. Воно виражається в тих же одиницях вимірювання, що і ознака (у метрах, тоннах, рублях, відсотках і т. д.).

Дисперсія - середній квадрат відхилень індивідуальних значень ознаки від їх середньої величини.

Серед безлічі варіюючих ознак, що вивчаються статистикою, існують ознаки, якими володіють одні одиниці сукупності і не володіють інші. Ці ознаки називаються альтернативними. Прикладом таких ознак є: наявність бракованої продукції, вчений ступінь у викладача вузу, робота по отриманій спеціальності і так далі. Варіація альтернативної ознаки кількісно виявляється в значенні нуля у одиниць, які цією ознакою не володіють, або одиниці у тих, які дану ознаку мають.

Хай р - частка одиниць в сукупності, що володіють даною ознакою (р = m/n); q - частка одиниць, що не володіють даною ознакою, причому р + q = 1. Альтернативну ознаку приймає всього два значення - 0 і 1 з вагами відповідно q і р. Обчислений середнє значення альтернативної ознаки по формулі середньої арифметичної:

Дисперсія альтернативної ознаки визначається по формулі:

Таким чином, дисперсія альтернативної ознаки рівна твору частки на доповнюючи цю частку до одиниці число. Корінь квадратний з цього показника відповідає середньому квадратичному відхиленню альтернативної ознаки.

Показники варіації альтернативних ознак широко використовуються в статистиці, зокрема при проектуванні вибіркового спостереження, обробці даних соціологічних обстежень, статистичному контролі якості продукції, у ряді інших випадків.

Буває необхідно прослідкувати кількісні зміни ознаки по групах, на які розділяється сукупність, а також і між групами. Таке вивчення варіації досягається за допомогою обчислення і аналізу різних видів дисперсії.

Виділяють дисперсію загальну, міжгрупову і внутрішньогрупову. Загальна дисперсія вимірює варіацію ознаки у всій сукупності під впливом всіх чинників, що зумовили цю варіацію.

Існує закон, що зв'язує три види дисперсії. Загальна дисперсія рівна сумі середньої з внутрішньогрупових і міжгруповою дисперсій:

Дане співвідношення називають правилом складання дисперсій. Згідно цьому правилу, загальна дисперсія, що виникає під дією всіх чинників, рівна сумі дисперсії, що з'являється під впливом всіх інших чинників, і дисперсії, що виникає за рахунок группировочного ознаки.

Знаючи будь-які два види дисперсій, можна визначити або перевірити правильність розрахунку третього вигляду.

2. Задача №6

Виробництво хімічних волокон і ниток становили, в млн. грн.:

	2003 р.	2004 р.	2005 р.
Штучні волокна і нитки	2,3	1,6	3,5
Синтетичні волокна і нитки	2,7	2,4	4,8

Визначити по кожному волокну:

1. Базисні та ланцюгові темпи зростання та приросту.

2. Середньорічні темпи зростання та приросту.

Здійснити аналіз:

1. Зміни виробництва волокон по відношенню до минулого року.

2. Зміни виробництва волокон по відношенню до базисного року.

Среднегодовой темп роста выпуска товаров:

Среднегодовой темп прироста выпуска товаров:

Показатели Год	у_ц	у_б	Т_ц	Т_б	Т_ц_%	Т_б_%
2003	-----	-----	-----	1	-----	-----

2004	-0,7	-0,7	69,56	69,56	-30,43	-30,43
	-0,3	-0,3	88,89	88,89	-11,11	-11,11
2005	1,9	1,2	218,75	152,17	118,75	52,17
	2,4	2,1	200	117,78	100	77,78

Рассчитываем среднегодовые темп роста и темп прироста по формулам

Среднегодовой темп роста

3. Задача № 12

Є такі дані про чисельність населення України і виробництво цукру–піску:

Рік	1994 р.	1995 р.	1996 р.
Чисельність населення на початок року, млн.чол.	52,1	51,7	51,3
Виробництво цукру-піску, млн.т.	3,4	3,9	3,3

Обчисліть:

1. Середні рівні рядів динаміки;

2. Середньорічні абсолютні прирости зменшення і середньорічні темпи зростання (зниження). Проаналізуйте обчислені показники.

4. Задача № 18

Слюсарі ремонтного цеху у березні отримали таку заробітню платню:

З/п, грн.	204	212	215	225	240	244	250	260
Число слюсарів	2	3	4	6	2	3	3	2

Розрахувати розміри середньої заробітньої платні за місяць одного слюсаря:

а) для всієї сукупності слюсарів;

б) для тих слюсарів, які мають заробітню платню вищу загального середнього;

в) для тих слюсарів, які мають заробітню платню нижчу загального середнього.

5. Задача № 24

Собівартість і обсяг продукції підприємства характеризується такими даними:

Вид виробів	Собівартість одиниці продукції, грн.		Вироблено продукції, тис.шт.
Вид виробів	Базисний період	Звітний період	Базисний період	Звітний період
А	30	29	120	125
Б	24	20	140	50
В	8	9	90	76

Визначте:

Індивідуальні індекси собівартості і фізичного обсягу продукції; загальний індекс собівартості; суму економії від зміни собівартості.