Расчет показателей вариации (стр. 2 из 2)

Стандартное отклонение, среднее квадратическое отклонение (от английского standard deviation) вычисляется как корень квадратный из дисперсии. Чем выше дисперсия или стандартное отклонение, тем сильнее разбросаны значения переменной относительно среднего.

Дисперсия показывает, как сильно фактические значения колеблются вокруг среднего значения. Дисперсия вычисляется как сумма квадратов отклонений фактических значений от средней, взвешенных на число регионов данной группы.

В столбце 6 строятся сами квадраты отклонений, а в столбце 8 – взвешенные квадраты отклонений. Делением суммы взвешенных квадратов отклонений на количество регионов получаем саму дисперсию: 7,6748/69=0,111.

Корень из дисперсии тоже является одним из абсолютных показателей вариации – среднее квадратическое отклонение или СКО = 0,333.

Для вычисления асимметрии используются столбец 7 и столбец 9. Асимметрия показывает насколько фактический ряд распределения смещен в сторону своих больших или малых значений относительно распределения по нормальному закону.

Ассиметрия – это свойство распределения выборки, которое характеризует несимметричность распределения СВ. На практике симметричные распределения встречаются редко и чтобы выявить и оценить степень асимметрии, вводят следующую меру:

Асимметрия бывает положительной и отрицательной. Положительная сдвигается влево, а отрицательная – вправо.

Ассимметрия находится как сумма кубов отклонений фактического значения от средней, взвешенных на количество регионов, и дополнительно поделенных на куб среднего квадратического отклонения.

1,3887/69=0,0201 – сумма кубов отклонений фактического значения от средней, взвешенных на количество регионов.

0,333^3=0,0369; – куб среднего квадратического отклонения

0,0201/0,0369=0,5447 – ассиметрия.

Мода представляет собой максимально часто встречающееся значение переменной (иными словами, наиболее «модное» значение переменной), например, популярная передача на телевидении, модный цвет платья или марка автомобиля и т.д., Сложность в том, что редкая совокупность имеет единственную моду. (Например: 2, 6, 6, 8, 9, 9, 9, 10 – мода = 9).

Если распределение имеет несколько мод, то говорят, что оно мультимодально или многомодально (имеет два или более «пика»).

Мода – показатель указывающий на наиболее часто встречающийся в ряде распределения вариант. В случае, когда ряд имеет интервальное распределение (как в этой задаче), моду нужно высчитывать по спец форме. Для этого берется интервал с наибольшим количеством регионов, у нас это – 0,82–1,13. Для вычисления моды нам нужны значения: нижняя граница модального (самого многочисленного по регионам) интервала – 0,82; количество регионов в модальном интервале – 28; количество регионов в домодальном и послемодальном интервалах – 4 и 19 соответственно; величина модального интервала (здесь под величиной понимается не количество регионов, а разница между нижней и верхней границей интервала) – 0,31. Мода рассчитывается как нижняя граница, плюс величина модального интервала умноженная на дробь, где в числителе – разница между количеством регионов модального и домодального интервалов, а в знаменателе – сумма из разниц количества регионов модального и домодального, модального и послемодального интервалов.

Мо = 0,82 + 0,31*[(28 – 4) / ((28 – 4) + (28 – 19))] = 0,82 + 0,31*[24 / 33] = 0,82 + 0,31*0,7272 = 0,82 + 0,225 = 1,045

Все выше перечисленное – абсолютные показатели вариации.

К абсолютным показателям вариации относятся размах вариации, среднее линейное отклонение, среднее квадратическое отклонение, дисперсия и среднее квадратическое отклонение.

Относительные показатели вариации – это коэффициенты осцилляции, вариации, относительное линейное отклонение и др.

К относительным показателям вариации относятся: относительный размах вариации (или коэффициент осцилляции – R); коэффициент вариации, и др.

Коэффициент осцилляции высчитывается как разница между максимальным и минимальным значением ряда, поделенная на среднее значение. При интервальном распределении берутся середины крайних интервалов: (1,895 – 0,665) / 1,236 * 100% = 99,5%

Коэффициент вариации рассчитывается как отношение СКО к среднему значению: 0,333 / 1,236 * 100% = 26,9%

Мода и медиана могут быть определены графически: мода – по гистограмме, а медиана – по кумуляте.

Построим гистограмму распределения числа территорий по каждой группе по размерам заработной платы, для чего по оси х – размеры заработной платы, по оси у – число территорий

В прямоугольнике, имеющем наибольшую высоту, проводим две линии и из точки пересечения опускаем перпендикуляр на ось х. Значение х на оси абсцисс в этой точке есть мода (М0).

Для графического изображения медианы по накопленным частотам строим кумуляту. Для этого из верхней границы каждого интервала на оси абсцисс восстанавливаем перпендикуляр, соответствующий по высоте накопленной частоте с начала ряда по данный интервал. Соединив последовательно вершины перпендикуляров, получим кривую, называемую кумулятой. Из точки на оси ординат, соответствующей половине всех частот (порядковому номеру медианы), проводим прямую, параллельную оси абсцисс, до пересечения её с кумулятой. Опустив из этой точки перпендикуляр на ось абсцисс, находим значение медианы (Ме).

Пользуясь кумулятой, можно определить значение признака у любой единицы ранжированного ряда.

Задача 4

Структура социальных выплат в 2002 году в федеральных округах РФ (в процентах от общей суммы социальных выплат).

№	Виды социальных выплат	Федеральные округа
		Уральский	Южный
1	Пенсии	67,3	81,4
2	Пособия	23,1	16,1
3	Стипендии	1,0	1,1
4	Страховые возмещения	8,0	0,7
5	Прочие выплаты	0,6	0,7
	Итого	100,0	100,0