Эконометрические методы управления качеством и сертификации продукции (стр. 3 из 13)

Биномиальная модель легче для теоретического изучения, поэтому будем её рассматривать в дальнейшем. Однако при реальном контроле лучше формировать выборку, исходя из гипергеометрической модели. Это делают, выбирая номера изделий (для включения в выборку) с помощью датчиков псевдослучайных чисел на ЭВМ (см. главу 11) или с помощью таблиц псевдослучайных чисел. Алгоритмы формирования выборки встраивают в современные программные продукты по статистическому контролю.

Планы статистического контроля и правила принятия решений. Под планом статистического контроля понимают алгоритм, т.е. правила действий, на входе при этом—генеральная совокупность (партия продукции), а на выходе—одно из двух решений: «принять партию» либо «забраковать партию». Рассмотрим несколько примеров.

Одноступенчатые планы контроля (n,c): отобрать выборку объема n; если число дефектных единиц в выборке X не превосходит c, то партию принять, в противном случае забраковать. Число с называется приемочным.

×àñòíûå ñëó÷àè: ïëàí (n,0) —ïàðòèþ ïðèíÿòü òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà âñå åäèíèöû â âûáîðêå ÿâëÿþòñÿ ãîäíûìè; ïëàí (n,1) - ïàðòèÿ ïðèíèìàåòñÿ, åñëè â âûáîðêå âñå åäèíèöû ÿâëÿþòñÿ ãîäíûìè èëè ðîâíî îäíî - äåôåêòíîå, âî âñåõ îñòàëüíûõ ñëó÷àÿõ ïàðòèÿ áðàêóåòñÿ.

Двухступенчатый план контроля (n,a,b) + (m,c): отобрать первую выборку объема n; если число дефектных единиц в первой выборке X не превосходит a , то партию принять; если число дефектных единиц в первой выборке X больше или равно b, то партию забраковать; во всех остальных случаях, т.е. когда Х больше a, но меньше b, следует взять вторую выборку объема m; если число дефектных единиц во второй выборке Y не превосходит c, то партию принять, в противном случае забраковать.

Ðàññìîòðèì â êà÷åñòâå ïðèìåðà ïëàí (20, 0, 2) + (40, 0). Ñíà÷àëà áåðåòñÿ ïåðâàÿ âûáîðêà îáúåìà 20. Åñëè âñå åäèíèöû â íåé - ãîäíûå, òî ïàðòèÿ ïðèíèìàåòñÿ. Åñëè äâå èëè áîëüøå - äåôåêòíûå, ïàðòèÿ áðàêóåòñÿ. À åñëè òîëüêî îäíî - äåôåêòíîå?  ðåàëüíîé ñèòóàöèè â òàêèõ ñëó÷àÿõ íà÷èíàþòñÿ ñïîðû ìåæäó ïðåäñòàâèòåëÿìè ïðåäïðèÿòèÿ è ýêîëîãè÷åñêîãî êîíòðîëÿ, èëè ïîñòàâùèêà è ïîòðåáèòåëÿ. Ãîâîðÿò, íàïðèìåð, ÷òî äåôåêòíàÿ åäèíèöà ñëó÷àéíî ïîïàëà â ïàðòèþ, ÷òî åå ïîäñóíóëè êîíêóðåíòû èëè ÷òî ïðè êîíòðîëå ñëó÷àéíî ñäåëàí íåïðàâèëüíûé âûâîä. Ïîýòîìó, ÷òîáû ñïîðû ïðåñå÷ü, áåðóò âòîðóþ âûáîðêó îáúåìà 40 (âäâîå áîëüøåãî, ÷åì â ïåðâûé ðàç). Åñëè âñå åäèíèöû âî âòîðîé âûáîðêå - ãîäíûå, òî ïàðòèþ ïðèíèìàþò, â ïðîòèâíîì ñëó÷àå - áðàêóþò.

В реальной нормативно-технической документации - договорах на поставку, стандартах, технических условиях, инструкциях по экологическому контролю и т.д. - не всегда четко сформулированы планы статистического контроля и правила принятия решений. Например, при описании двухступенчатого плана контроля вместо задания приемочного числа с может стоять загадочная фраза "результат контроля второй выборки считается окончательным". Остается гадать, как принимать решение по второй выборке. Менеджер, администратор (государственный служащий), эколог или экономист, занимающийся вопросами экологического контроля или контроля качества, должен первым делам добиваться кристальной ясности в формулировках правил принятия решений, иначе ошибочные и необоснованные решения, а потому и убытки неизбежны.

Оперативная характеристика плана статистического контроля. Каковы свойства плана статистического контроля? Они, как правило, определяются с помощью функции f(p), связывающей вероятность p дефектности единицы контроля с вероятностью f(p) положительной оценки экологической обстановки (приемки партии) по результатам контроля. При этом вероятность p того, что конкретная единица дефектна, называется входным уровнем дефектности, а указанная функция называется оперативной характеристикой плана контроля. Если дефектные единицы отсутствуют, р = 0, то партия всегда принимается, т.е. f(0) = 1. Если все единицы дефектные, р = 1, то партия наверняка бракуется, f(1) = 0. Между этими крайними значениями р функция f(p) монотонно убывает.

Âû÷èñëèì îïåðàòèâíóþ õàðàêòåðèñòèêó ïëàíà (n,0). Ïîñêîëüêó ïàðòèÿ ïðèíèìàåòñÿ òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà âñå åäèíèöû ÿâëÿþòñÿ ãîäíûìè, à âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî êîíêðåòíàÿ åäèíèöà—ãîäíàÿ, ðàâíà (1‑ð), òî îïåðàòèâíàÿ õàðàêòåðèñòèêà èìååò âèä

f(p) = Р(Х=0) = (1—р)ⁿ.(5)

Для плана (n,1) оперативная характеристика, как легко видеть, такова:

f(p) = Р(Х=0)+Р(Х=1) = (1—р)ⁿ + n (1—р)^n-1(6)

Оперативные характеристики для конкретных планов статистического контроля не всегда имеют такой простой вид, как в случае формул (5) и (6). Рассмотрим в качестве примера план (20, 0, 2) + (40, 0). Сначала найдем вероятность того, что партия будет принята по результатам контроля первой партии. Согласно формуле (5) имеем:

f₁(p) = Р(Х=0) = (1—р)²⁰.

Вероятность того, что понадобится контроль второй выборки, равна

Р(Х=1) = 20(1—р)¹⁹.

При этом вероятность того, что по результатам её контроля партия будет принята, равна

f₂(p) = Р(Х=0) = (1—р)⁴⁰.

Следовательно, вероятность того, что партия будет принята со второй попытки, т.е. что при контроле первой выборки обнаружится ровно одна дефектная единица, а затем при контроле второй—ни одной, равна

f₃(p) = Р(Х=1) f₂(p) = 20(1—р)¹⁹(1—р)⁴⁰= 20(1—р)⁵⁹.

Следовательно, вероятность принятия партии с первой или со второй попытки равна

f(p) = f₁(p) + f₃(p) = (1—р)²⁰+ 20(1—р)⁵⁹.

При практическом применении методов статистического приемочного контроля для нахождения оперативных характеристик планов контроля вместо формул, имеющих обозримый вид лишь для отдельных видов планов, применяют численные компьютерные алгоритмы или заранее составленные таблицы.

Риск поставщика и риск потребителя, приемочный и браковочный уровни дефектности. С оперативной характеристикой связаны важные понятия приемочного и браковочного уровней дефектности, а также понятия "риск поставщика" и "риск потребителя". Чтобы ввести эти понятия, на оперативной характеристике выделяют две характерные точки, делящие входные уровни дефектности на три зоны—А, Б и В. В зоне А все почти всегда хорошо, а именно - почти всегда экологическая обстановка признается благополучной, почти все партии принимаются. В зоне В, наоборот, почти всегда все плохо, а именно - почти всегда экологический контроль констатирует экологические нарушения, почти все партии бракуются. Зона. Б - буферная, переходная, промежуточная, в ней как вероятность приемки, так и вероятность браковки заметно отличаются от 0 и 1. Для задания границ между зонами выбирают два малых числа—риск поставщика (производителя, предприятия)

и риск потребителя (заказчика, системы экологического контроля)

, при этом границы между зонами задают два уровня дефектности - приемочный p_пp и браковочный p_бр, определяемые из уравнений