Хаос и порядок на рынках капитала (стр. 2 из 9)
Возьмем для иллюстрации простую нелинейную систему. Предположим, есть акция ценой Pt, определим ее как мелкую акцию, продаваемую меньше чем за один доллар. Поскольку на рынок приходит достаточно много покупателей, их требования становятся причиной повышения цены на определенную долю от первоначальной стоимости, определяемую коэффициентом a. Тогда стоимость этой акции в момент времени t + 1 будет равна:
Pt +1 = a * рt (1.1)
В этом уравнении предполагается, что существуют только покупатели. Чтобы сделать модель более реалистичной, мы должны учесть влияние продавцов. Предположим, что в то время как цена увеличивается на а*рt продавцы уменьшают ее на а*Рt2. Уравнение (1.1), следовательно, приобретает вид:
Рt +1 = а * Pt- а * Рt2 Pt +1 = а * Pt * (1 - Pt ). (1.2)
Эта модель тоже не очень реалистична, однако она объясняет, по крайней мере, что происходит, если давление покупателей поднимает цены в пропорции а, а продавцы снижающих на а * Рt2. При низком спросе цены снижаются до нуля и система умирает. При высоком (но не слишком высоком) спросе цены стремятся к устойчивому состоянию, или к «справедливой величине».
Предположим, покупательское давление дает рост со скоростью а = 2 и р0 = 0.3. В соответствии с итерационным уравнением (1.2) цена в конце концов устанавливается на отметке 0,50. (Я предлагаю читателю проверить это на персональном компьютере с электронной таблицей. Просто скопировать уравнение (1.2) вниз на сто ячеек, или около того. Может быть использован также калькулятор путем повторных нажатий кнопки вычисления.) Таким образом, на средних величинах цены конвергируют к постоянной величине. Однако, если скорость роста увеличить до а = 2,5, то неожиданно образуются две возможных справедливых цены, и система начинает осциллировать между ними. Почему это происходит? На этом критическом уровне покупатели и продавцы поступают на рынке не одинаково. Отставание а * Pt2 при этом становится больше, чем рост, обусловленный величиной а. Но если цена достигла низшего уровня, то в этом случае начинает доминировать скорость роста а, толкая цену обратно к верхней отметке. Таким образом, имеют место две справедливые цены: по одной продавцы продают, по второй покупатели покупают. На этом однако, дело не кончается.
Если скорость роста а непрерывно повышать, то возможно появление 4-х, 16-ти, 32-х справедливых цен. В итоге, при а = 3,75 имеет место бесконечное количество справедливых цен. Так как система не может установиться на какой-то справедливой цене, она флуктуирует случайным образом, хаотически. На рис. 1.1 показана бифуркационная диаграмма с критическими величинами скорости роста а, где число справедливых цен увеличивается.
Эта модель не реалистична, она предполагает, например, что давление продавцов прямо соотносится со скоростью роста покупательского спроса. Однако она показывает, как сложные результаты могут порождаться даже в простой нелинейной системе. Легко представить себе уровень сложности большой нелинейной системы, такой например, как погода или активно функционирующий рынок капитала. Уравнение (1.2) - это знаменитое логистическое уравнение, хорошо изученное и описанное в литературе. В главе 10 мы исследуем его поведение более подробно.
2.5 3.0 3.45 3.54 3.56 3.75 4 а
Рис. 1.1 Бифуркационная диаграмма: логистическое уравнение.
Из приведенного выше простого примера нетрудно вывести несколько важных свойств нелинейных динамических систем. Во-первых, это системы с обратной связью. То, что происходит сегодня, зависит от того что было вчера – Рt+1 есть результат Рt. Во-вторых, существуют критические уровни, где имеет место больше чем одно положение равновесия. В логистическом уравнении первый критический уровень соответствует а = 2,5. В-третьих, эта система является фракталом. Этот термин будет подробно раскрыт в части 2, но» фрактальная характеристика станет ясна, если обратиться к рис. 1. При а = 3,75 мы видим «полосу устойчивости». Внутри каждой фигуры существуют фигурки поменьше, подобные большой фигуре. Если малую фигуру увеличить, то можно увидеть, что она содержит свою «полосу устойчивостей», где также содержатся подобия большой фигуры. Во все меньших и меньших масштабах могут быть найдены ее повторения. Это свойство самоподобия является характеристикой нелинейных динамических систем, симптоматикой нелинейных процессов с обратной связью. Сложность в поведении возникает только тогда, когда система находится далеко от равновесия.
И, наконец, четвертое - имеет место чувствительная зависимость от начальных условий. Если уравнение (1.2) становится предсказательной моделью, то тогда даже малейшее изменение Рt даст огромную разницу цен при t+N, даже если они были близки вначале.
Эти характеристики указывают на то, что рынки капитала являются нелинейными динамическими системами, и тогда можно ожидать следующего:
1. Долговременных корреляций и трендов (эффектов обратной связи).
2. Изменчивости, с критическими уровнями рынков - при определенных условиях и в определенное время.
3. Временные ряды прибылей при уменьшаемых временных промежутках будут выглядеть одинаково и иметь подобные статистические характеристики (фрактальная структура).
4. Уменьшения надежности предсказаний по мере того как эти предсказания будут стремиться заглядывать все дальше вперед (чувствительная зависимость от начальных условий).
В общем случае такого типа явления имеют место тогда, когда система находится далеко от равновесия. Они характерны для рынка, как мы его знаем из опыта, и они никак не подпадают под гипотезу эффективного рынка (Efficient Market Hypothesis-EMH), которая оказывала влияние на финансовые инвестиции, или на финансовую экономическую теорию в последние тридцать лет. Крушение EMH как парадигмы составляет тему следующих двух глав.
EMH предполагает, что инвесторы рациональны, дисциплинированы и аккуратны. Такого рода предположения о поведении инвесторов сузили математическую модель до простых линейных дифференциальных уравнений с единственным решением. Однако рынки не упорядочены и не просты. Они хаотичны и сложны.
СЛОЖНОСТЬ
В последние пять лет стало ясно, что теория хаоса и фракталы являются подмножеством более всеобъемлющей дисциплины - теории сложности. Теория сложности имеет дело с процессами, где много кажущихся независимыми агентов действуют связанно. Сложными могут быть динамические процессы или объекты. Мы узнаем качественные аспекты сложности, но не имеем возможности их точного измерения. Деревья, почерк, речное ложе - все это сложные объекты, которые будучи самобытными, имеют в то же время нечто общее. Их сложностью обусловлен тот факт, что, различаясь в деталях, они подобны в принципе. Это означает, что они локально случайны, но глобально детерминированы. Они - фрактальны.
Мы также наблюдаем это во множестве динамических систем, таких например, как мировая экосистема. Кауфман (Kauffman, 1993) постулировал, что спонтанная согласованность структур - более приемлемый механизм эволюции, нежели медленные перемены по теории Дарвина. Его работа была вдохновлена признанной всеми очевидностью, состоящей в том, что новый вид всегда возникает во времени в результате неких взрывов природной активности. Так же и в социальных науках можно отыскать много примеров, когда рассредоточенная индивидуальная деятельность внезапно становится школой или философским направлением, подобным трансцендентализму, или школой в искусстве - например импрессионизмом. А неорганизованная чернь может стать шайкой гангстеров, действующей как один ум. Группа может совершать действия, которые трудновообразимы для одного человека.
Традиционная техника моделирования не может управиться со сложностью реального мира в таких ситуациях, как упомянутые выше. Только в последнее десятилетие, с появлением мощных компьютеров стала возможной разгадка многих природных явлений и секрета рынка капиталов.
Глава 2. Случайные блуждания и эффективные рынки
В теории финансового инвестирования нет концепции, которая имела бы такую широкую проверку и так мало доверия к себе, как «эффективные рынки». Помимо всего эта концепция является краеугольным камнем количественной теории рынка капитала, и последние тридцать с лишним лет исследований были полностью ей подчинены. В действительности гипотеза эффективного рынка (ЕМН) уходит корнями в начало века. Она выполняет одну первейшую функцию: оправдать использование вероятностных расчетов в анализе рынков капитала. Но если рынки являются нелинейными динамическими системами, то тогда использование стандартного статистического анализа может привести к ошибочным результатам, особенно если в основе лежит модель случайных блужданий. Поэтому становится важным пересмотр тех предпосылок, которые стоят во главе угла нынешней теории рынков капитала.
Эффективные рынки представляются такими, где в сложившихся ценах уже учтена и обесценена вся публичная информация, отражена как общеэкономическая, так и собственно ценовая история. Ценовой сдвиг, следовательно, происходит только тогда, когда появляется новая информация. Эффективный рынок не может быть игровым, не только потому, что в ценах отражает известную информацию, но и потому, что само по себе большое количество инвесторов обеспечивает справедливость этих цен. С этой точки зрения инвесторы предполагаются рациональными: они знают в совокупности, какая информация важна, какая нет. Тогда после систематизирования этой информации и оценки рисков коллективное сознание рынка находит равновесную цену. В сущности ЕМН утверждает, что рынок создается ошибками многих.