Классификация математических моделей, используемых в экономике и менеджменте (стр. 11 из 11)
(6.6)Рассмотрим некоторую модификацию задачи 1.
Задача 2. В задаче 1 предположим, что ежегодные затраты на эксплуатацию, ликвидная и начальная стоимость зависят не только от возраста оборудования t, но и от времени, прошедшего с начала процесса. Пусть rh{t)—затраты на эксплуатацию в течение k-гoгода, если со времени последней замены прошло tлет;
—ликвидная стоимость оборудования возрастав лет, если оно продается в начале k-гoгода; рk— начальная стоимость оборудования, если оно куплено в начале k-гoгода.Требуется определить оптимальные сроки замены старого оборудования новым в течение п лет с тем, чтобы минимизировать затраты на его содержание.
Показатель эффективности в данной задаче — суммарные затраты на эксплуатацию оборудования. Затраты на k-м шаге, как и прежде, зависят от выбранного управления. При управлении иk= исэти затраты равны
, а при управлении иk =u3 составляют 
Пусть Zk*{t)—условные минимальные затраты за n—k+1 шагов с k-гoпо n-й включительно, если к началу k-гoшага возраст оборудования составлял tлет, при условии, что был выбран оптимальный режим эксплуатации.
Рекуррентные соотношения для Zk*{t) имеют вид
(6.7)Для n-го шага соответственно получим
(6.8)Вычислительный процесс строится как и в предыдущей задаче.
Введение в условие задачи функций, оценивающих затраты, выпуск продукции и стоимость, зависящие не только от возраста t, но и непосредственно от k, т. е. от времени, прошедшего с начала процесса, является косвенным способом учета технического прогресса.
Как уже отмечалось неоднократно, модели ДП очень гибки и в смысле возможностей анализа чувствительности к вариации исходных данных, и в смысле возможностей включения в модель различных модификаций задачи. Так, например, аналогичная модель может быть построена для задач, в которых ежегодно рассматривается более двух вариантов управления («сохранение», «замена», «реконструкция» и т. д.). Можно рассматривать задачи, в которых затраты или прибыль зависят не только от возраста оборудования, но и еще от одного параметра, например, времени, прошедшего после восстановительного ремонта, и т. д.
Замечание. Если функции затрат, ликвидная и начальная стоимости в задаче 2 зависят от времени τ, прошедшего с начала эксплуатационного периода, и τ не совпадает с k, то состояние системы следует характеризовать двумя параметрами τ и t.
В заключение главы рассмотрим задачу определения оптимальной стратегии замены оборудования при бесконечном плановом периоде.
Задача 3. Определить оптимальные сроки замены оборудования при неограниченном времени его использования, если известны: р — начальная стоимость; r(t) — эксплуатационные затраты на содержание оборудования возраста tлет в течение ближайшего года;
—ликвидная стоимость оборудования возраста tлет.В задаче будем минимизировать затраты. Параметр состояния есть время:
. Процесс, является бесконечным, поэтому условные минимальные затраты 
за все последующее время, начиная с k-гoгода, зависят только от 
и не зависят от k.При рассмотрении бесконечного процесса необходимо ввести так называемый дисконтирующий множитель 0<α<1, позволяющий привести сумму в последующий момент времени к настоящему моменту с учетом ежегодного роста по правилу сложных процентов. Если имеется первоначальная сумма а руб., то через п лет она составит, при процентной ставке р%, сумму
руб. Наоборот, конечную сумму а руб. через п лет можно получить от первоначальной суммы 
руб. Множитель 
называется коэффициентом дисконтирования.Учитывая этот множитель и повторяя весь ход рассуждений, изложенный в предыдущих задачах, получим следующие функциональные уравнения:
(6.9)Поскольку конечного шага нет, обратный ход выпол-. нить нельзя, поэтому решим уравнения явно следующим образом.
Для 1-го шага имеем
, поэтому
Так как
то выражение, стоящее в первой строке, всегда не больше выражения во второй строке. Поэтому 
, что соответствует сохранению оборудования.Пусть оптимальным является решение о сохранении для первых N шагов и о замене на (N+1)-м шаге. Задача состоит в определении этого числа N. Запишем последовательность рекуррентных соотношений для этих N шагов:
Исключив из этих равенств последовательно Z*(2),Z*(3), … получим
(6.10)Но для (N+ 1)-го шага по предположению оптимальным является решение о замене оборудования, следовательно,
Подставляя значение Z*(N) в равенство (6.10) и разрешая полученное при этом уравнение относительно Z*(0), найдем
(6.11)Величина Z*(0) равна необходимому минимуму затрат на весь процесс. Теперь, полагая последовательно N= 1, 2, 3, .... вычисляем значение Z*(0) и находим среди них наименьшее.
Заключение
В данной курсовой работе рассмотрены виды математических моделей, используемых в экономике и менеджменте, а также их классификация.
Особое внимание в курсовой работе уделено оптимизационному моделированию.
Изучен принцип построения моделей линейного программирования, также приведены модели следующих задач:
· Задача о раскрое материалов;
· Задача выбора оптимальной производственной программы предприятия;
· Задача о диете;
· Транспортная задача.
В работе представлены общие характеристики задач дискретного программирования, описан принцип оптимальности и уравнение Беллмана, приведено общее описание процесса моделирования.
Для построения моделей выбраны три задачи:
· Задача оптимального распределения ресурсов;
· Задача об оптимальном управлении запасами;
· Задача о замене.
В свою очередь для каждой из задач построены различные модели динамического программирования. Для отдельных задач приведены числовые расчеты, в соответствии с построенными моделями.
Список литературы:
1. Вавилов В.А., Змеев О.А., Змеева Е.Е. Электронное пособие “Исследование операций”
2. Калихман И.Л., Войтенко М.А. “Динамическое программирование в примерах и задачах”, Москва ”Высшая школа”, 1979
3. Косоруков О.А., Мищенко А.В. “Исследование операций”, Москва, 2003
4. Материалы из сети Internet.