Методологічні основи наукових досліджень (стр. 4 из 5)
де yl – l-й відгук; n – число відгуків, що аналізуються; хі – і-й фактор; m – число факторів.
Функція ψ називається функцією відгуку або реакцією. Її геометричний образ – поверхня відгуку. Враховуючи те, що функція ψ заздалегідь невідома, використовують іншу наближену функцію
Якщо в процесі експерименту перебрати всі можливі набори рівнів факторів, отримаємо повну множину різних станів модельованої системи («чорної скриньки»). Разом з тим це буде кількість різних можливих дослідів.
Однак використання для моделі всіх можливих дослідів призводить до абсурдно великих експериментів. З огляду на це і виникає потреба планування експерименту. Таким чином, планування екстремального експерименту – це вибір кількості та умов проведення дослідів, мінімально необхідних для пошуку оптимальних умов.
Планування експерименту - це розроблення такого плану експерименту, який дає можливість за мінімальної кількості прогонів моделі і за мінімальних затрат ресурсів зробити статистичне значимі висновки або знайти оптимальні рішення щодо функціонування системи. Під час планування експериментів, як правило,визначають:
·вхідні дані для кожного експерименту і кількість прогонів імітаційної моделі;
·тривалість одного прогону моделі і перехідного процесу моделювання;
·стратегію збирання даних під час кожного прогону моделі;
·методи оцінювання точності вихідних даних і побудови довірчих інтервалів;
·чутливість моделі до вхідних даних, різних видів розподілів випадкових величин, сценаріїв поведінки модельованої системи;
·умови і сценарії проведення експерименту;
·умови генерування потоків випадкових чисел у системі моделювання та імовірнісних вхідних даних;
·стратегію досягнення мети експерименту (наприклад, порівняння альтернативних варіантів системи або оптимізація цільової функції).
Кінцева мета проведення експериментів - це одержання статистичної інформації, достатньої для прийняття рішень відповідно до результатів моделювання.Моделювання здебільшого провадиться з метою визначення деяких екстремальних значень характеристик модельованої системи (рптимізуючий експеримент)або для виявлення важливих факторів, які впливають на модельовану систему (висівний експеримент). Під час експериментів обох типів використовують факторні плани. Для пошуку екстремальних значень застосовуються числові методи оптимізації. Під час таких експериментів визначається функціональна залежність вихідної змінної (функції відгуку, чи просто відгуку) від вхідних змінних, або факторів; ця залежність відображає критерій ефективності модельованої системи. Таким чином, пошук найкращого рішення характеризується числовим значенням цього критерію, і для знаходження екстремальних значень необхідно досліджувати поверхні відгуку (провадити експерименти) у різних точках факторного простору.
Планування експерименту можливе тільки за умов:
· керованості об'єкта дослідження;
· можливості відтворення результатів експерименту.
Опишемо послідовність дій, які необхідно виконувати під час планування експериментів.
1. Визначення відгуків (вихідних змінних) системи.
2. Визначення факторів, які впливають на відгук системи. Більшість систем підпорядковуються принципу Парето - з огляду на характеристики системи істотними є лише деякі з множини факторів. У більшості систем 20 факторіввизначають 80 % властивостей системи.
3. Визначення рівнів факторів. Мінімальна кількість рівнів для кожного факторадва - нижня і верхня межі значення фактора. У разі використання цього числа рівнів можна визначити тільки лінійні ефекти.
Дамо визначення факторного експерименту.
Факторний експеримент - це план, згідно з яким всі рівні кожного факторазустрічаються в сполученні з усіма рівнями всіх інших факторів. Рівні визначають кількісні значення факторів. Різні рівні деякого фактора можуть відповідатиякісним значенням (наприклад, різні дисципліни обслуговування вимог пристроєм) або кількісним значенням (наприклад, число пристроїв для обслуговування).Якщо деякий фактор f, (f = 1,…, k) має Lfрівнів, то загальне число комбінацій рівнів визначається добутком:
Якщо число рівнів для кожного з факторів однакове, то загальним числом комбінацій буде Lk.
Схема планування експерименту наведена на рис. 3.
Якщо необхідно знайти екстремум процесу або оптимальну технологію достатньо виконати 1-4 пункти схеми, а якщо відомі всі фактори, що впливають на процес, що вивчається, то пункт 3 можна вилучити з виконання.
Щоб описати процес математичною моделлю для використання в алгоритмах або для систематизації результатів великої кількості досліджень, можна запланувати виконання 1-3, 5 пунктів схеми, або 1, 2, 5 за раніше відомих факторів.
Якщо необхідно дослідити процес, описати його математично і зробити технологічні висновки, виконують пункти 1, 3, 5, 6 або 1, 2, 5, 6.
Рис. 3. Схема планування експерименту
Експеримент, в якому реалізуються всі можливі сполучення рівнів факторів, називається повніш факторним експериментом. Розглянемо простий двофакторний експеримент з одним фактором на двох рівнях, одним фактором на трьохрівнях і з двома спостереженнями в кожному досліді, тобто план 3х2. Запишемов табл. 3. матрицю експерименту.
Таблиця 3. Матриця двофакторного експерименту
У загальному випадку: значення фактора yijg, де g – номер спостереження, і та j – номери рівнів факторів А та В відповідно. Нехай математичне сподівання вихідної змінної М( yijg ) = nij. Тоді очікувану функцію відгуку можна записати у вигляді:
; 
; 
де еijg - помилка досліду (або шум), яка вважається незалежною нормально розподіленою випадковою величиною з математичним сподіванням нуль і дисперсією σ2, або
Якщо знайти середнє значення відгуку для фактора А на рівні і з усіма рівнями фактора В, то
Тоді αАі - головний ефект фактора А на рівні і визначається як різниця міжйого середнім і загальним середнім:
Повніли факторний план передбачає всі комбінації факторів на двох рівнях і позначається 2k (k — кількість факторів) за кількістю необхідних дослідів. Для зменшення кількості дослідів використовують не повний план, а лишейого частну (репліку), так званий дробний факторний план. Усі досліди зкомбінацією факторів записують у вигляді таблиці (матриці), однакової (стандартної) для всіх досліджень. Щоб скористатися стандартною матрицею,значення (рівні факторів) кодують за формулою
де хі — кодоване значення фактора (1, -1, 0 і под.);
— натуральне значення фактора на якомусь рівні;
— натуральне значення фактора на нульовому рівні;Іі – інтервал варіювання фактора ( в натуральному вигляді); найчастіше інтервал варіювання дорівнює 10-25% максимального значення фактора.
Добирають такі частки реплік, за яких кількість дослідів дорівнює або трохи перебільшує число факторів k. Наприклад, для 15 факторів (повний план 215 = 32 768 дослідів) можна скористатися 1/2048 репліки (215-11= 16 дослідів), для 7 факторів — 1/16 репліки (27-4 = 8 дослідів) тощо.
Після цього складений план-матрицю реалізують — виконують досліди за планом. Результати у вигляді параметра оптимізації заносять до тієї самої таблиці.
Коефіцієнти, що визначають ступінь впливу факторів на параметр оптимізації, розраховують за формулою
де bi — коефіцієнт регресії i-го фактора;
уi — значення параметра оптимізації в і-му досліді;
xij— кодоване значення i-го фактора в j-му досліді;
n — кількість дослідів у матриці.
Помилку експерименту розраховують за результатами дослідів, що повторються кілька разів за однакових умов. Рекомендується кожен дослідпроводити двічі, а якщо результати різняться більш як на 10%, його повторюють ще раз. Одне з трьох значень відкидають як випадкове за критеріємСт'юдента.
Після цього.підраховують середньоквадратичну помилку експерименту Sдослм і коефіцієнти регресії Sиш . Довірчий інтервал у разі наближених розрахунківвизначають за формулою
де n — кількість дослідів із повторенням. Довірчий інтервал у разі наближених розрахунків визначають за формулою
де t - критерій Ст'юдента.