Основные понятия статистики (стр. 10 из 13)

- собой среднюю арифметическую квадратов отклонений вариант от их выборочной для дисперсии – выборочная дисперсия, представляющая средней:

d =

.

Для расчетов может быть использована также эквивалентная формула, получающаяся после возведения в квадрат и почленного суммирования:

d =

,

где

- выборочная средняя квадратов вариант выборки.

После получения оценок с помощью любого из вышеприведенного метода остается нерешенным важнейший вопрос о несмещенности и эффективности оценок. Этот вопрос для математического ожидания решается положительно, т.е.

- несмещенная оценка для Мх. Для дисперсии – отрицательно, т.е. d является смещенной оценкой для D = σ2.

Для устранения смещенности выборочной дисперсии её следует умножить на величину n/(n-1) и получим:

S2 =

.

Величину S2 называют несмещенной или «исправленной» выборочной дисперсией

Пример. Покажем, что оценка математического ожидания с помощью выборочной средней является несмещенной.

Решение. Оценка параметра называется несмещенной, если математическое ожидание оценки равно оцениваемому параметру. Покажем , что математическое ожидание среднего арифметического равно математическому ожиданию генеральной совокупности.

М(

) = М(

) =

,

т.к.

Замечание. Мы воспользовались представлением выборочных значений как компонентов к – мерной случайной величины (x1, x2,…..xk) → (X1, X2,….Xk)

( см. начало обсуждение метода максимального правдоподобия).

Пример. Покажем, что оценка дисперсии является смещенной.

Воспользуемся расчётной формулой для вычисления оценки дисперсии, приведенной выше:

d =

,

d=

здесь n2 слагаемых здесь по n слагаемых

здесь n слагаемых

здесь (n2 – n) слагаемых

=

Вычислим математическое ожидание d, снова воспользовавшись представлением выборочных данных n –мерной случайной величиной (x1, x2,…..xn) → (X1, X2,….Xn):

М(d) = M(

) = - .

С учётом количества слагаемых (см. выше) и того, что М(Хi) = M(Xj) = M(X) и М(ХiXj) = М(Хi) M(Xj) в силу статистической независимости Хiи Xjполучаем:

М(d) =

-

=

где использована формула для вычисления дисперсии: D =

Из полученного результата следует, что выборочная дисперсия d является смещенной оценкой для D, т.к. её математическое ожидание не равно D, а несколько меньше. Чтобы ликвидировать это смещение, достаточно умножить d на

. Результат этого умножения обозначенный S2 и называется “исправленной эмпирической дисперсией”.

Пример. На предприятии изготовляется определённый вид продукции. Ежемесячный объём выпуска этой продукции является случайной величиной, для характеристики которой принят показательный закон распределения.

( x ≥ 0 )

В течение шести месяцев проводился замер объёмов выпуска продукции, получены следующие данные:

Месяц	1	2	3	4	5	6
Объём выпуска	25	34	23	28	32	30

Найти оценку параметру λ.

Решение. Так как закон распределения содержит лишь один параметр λ, то для его оценке надо составить одно уравнение, например, равенство теоретического и эмпирического первых начальных моментов. Находим выборочную среднюю - эмпирический первый начальный момент:

= (25+34+23+28+32+30)/6 = 28.7

Определяем математическое ожидание – теоретический первый начальный момент:

М(Х) =

,

Приравниваем теоретический и эмпирический первые начальные моменты:

откуда получаем оценку параметра λ:

3. Статистики. Критерии. Критериальные случайные величины Пирсона, Стьюдента, Фишера-Снедекора

Напомним, что любую функцию j = j (х1, ….хn), зависящую от выборочных переменных и поэтому являющуюся случайной величиной, принято называть статистикой. Таким образом, все оценки являются статистиками, случайными величинами. В связи с таким свойствами оценок, они должны быть проверены на значимость. Для этого используются критериальные случайные величины Пирсона, Стьюдента, Фишера-Снедекора.

4. Проверка статистических гипотез

Стандартными задачами математической статистики являются задачи определения класса (вида) распределения генеральной совокупности и определение её основных числовых характеристик. Эти задачи математическая статистика решает в виде выдвижения гипотез, а не прямым расчетом. Это связано с тем, исходные данные для статистических расчетов являются случайными величинами и полученные результаты расчета тоже есть случайные величины. Поэтому каждый расчетный результат должен быть дополнен вероятностью его правильности (или ошибки), следовательно, он является гипотетическим.

Определение 1. Статистической гипотезой называют гипотезу о виде неизвестного распределения или о параметрах известного распределения.

Наряду с данной гипотезой рассматривают и противоречащую ей гипотезу. В случае, когда выдвинутая гипотеза отвергается, обычно принимается противоречащая ей гипотеза.

Определение 2. Нулевой (основной) называют выдвинутую гипотезу H0. Конкурирующей (альтернативной) называют гипотезу H1, которая противоречит основной.

Пример. Нулевая гипотеза H0 : генеральная совокупность распределена по нормальному закону, тогда гипотеза H1 : генеральная совокупность не распределена по нормальному закону.

Пример. Нулевая гипотеза H0 : Мх = 20 ( т.е. математическое ожидание нормально распределённой величины равно 20), тогда гипотеза H1 может иметь вид H1: Мх

20.

Проверку правильности или неправильности выдвинутой гипотезы проводят статистическими методами. В результате такой проверки может быть принято правильное или неправильное решение. Поэтому различают ошибки двух родов. Ошибка первого рода состоит в том, что будет отвергнута правильная гипотеза. Ошибка второго рода состоит в том, что будет принята неправильная гипотеза.

Идея, которая используется при проверке статистических гипотез, заключается в следующем.

Вводится некоторая вычисляемая случайная величина, называемая критерием, распределение которой заранее известно и которая характеризует отклонение выборочных характеристик от их гипотетических значений. В предположении о справедливости гипотезы H0 фиксируем заранее некоторый уровень значимости α (допустимую вероятность ошибки того, что принимается гипотеза H0, а на самом деле верна гипотеза H1) считая , что в одиночном эксперименте событие с вероятностью, меньшей α, практически не происходят. По α находим такое число

, что бы выполнялось соотношение:

Пусть теперь КВ – вычисленное по выборке значение критерия. Если окажется

, то в предположении о справедливости гипотезы H0 произошло «практически» невозможное событие и поэтому выдвинутую гипотезу H0 следует отвергнуть и принять гипотезу H1. В противном случае, можно считать, что наблюдения не противоречат гипотезе H0. На приведенных рисунках показано функция плотности распределения случайной величины – критерия χ2 (Рис. 1 ) и кривая уровню значимости для распределения χ2 ( Рис.2.). Уровень значимости равен интегралу от функции плотности распределения в пределах от до ∞, т.е.: