Статистические наблюдения (стр. 6 из 18)
n - число единиц совокупности
Для взвешенной имеем:
где fi – частота повторения индивидуальных значений признака (вес).
При k = 1 получаются формулы средней арифметической (ArithmetischesMittel, Arithmeticmean) простой и взвешенной:
Средняя арифметическая простая используется тогда, когда значение признака относится к отдельным единицам наблюдения или к равновеликим группам единиц.
Пример (см. таблицы 4.2, 4.3).
Таблица 4.2.
Заработная плата работников бригады
| Работник | Заработная плата (в у. е.) |
| Иванов | 150 |
| Петров | 200 |
| Сидоров | 250 |
или
Таблица 4.3.
Заработная плата по цехам предприятия
| Цеха (в каждом цехе по 100 работников) | Заработная плата по цеху(в у. е.) |
| Цех 1 | 150 |
| Цех 2 | 200 |
| Цех 3 | 250 |
Тогда
Средняя арифметическая взвешенная применяется тогда, когда отдельные значения признака встречаются с разной частотой или когда группы не являются равновеликими.
Пример (см. табл.4.4).
Таблица 4.4.
Заработная плата по цехам предприятия
| Цех | Заработная плата по цеху (в у. е.) | Количество работающих в цехе (чел.) |
| 1 | 150 | 50 |
| 2 | 200 | 100 |
| 3 | 250 | 150 |
При k = - 1 степенная средняя называется средней гармонической (HarmonischesMittel, Harmonicmean):
Средняя гармоническая взвешенная тогда будет равна:
где Wi – вес средней гармонической, равный произведению индивидуального значения признака на его частоту (обычную).
Пример (см. таблицы 4.5, 4.6).
Таблица 4.5.
Данные о заработной плате по отделам организации
| Отдел | Заработная плата по отделу в у. е. | Численность, чел. |
| 1 | 100 | 50 |
| 2 | 200 | 150 |
Тогда среднюю зарплату по организации можно найти по формуле средней арифметической взвешенной:
Однако часто данные имеются в другом виде (табл. 4.6).Тогда для расчета средней зарплаты по организации применяется средняя гармоническая взвешенная:
Таблица 4.6.
Данные о заплате по отделам организации
| Отдел | Заработная плата по отделу в у. е. | Фонд заработной платы в у.е. |
| 1 | 100 | 5000 |
| 2 | 200 | 30000 |
Всегда, когда в качестве веса уже имеем произведение значения признака на частоту, средняя арифметическая не работает – применяют формулу средней гармонической. Чтобы не ошибиться в расчетах, нужно постоянно следить за смыслом числителя и знаменателя.
При k = 0 получаем формулу средней геометрической (GeometrischesMittel, Geometricmean) простой и взвешенной:
Средняя геометрическая применяется тогда, когда используются операции, связанные умножением/ делением, а не сложением/ вычитанием.
Пример (см. табл.4.7).Найти среднегодовой темп роста и прироста по следующим данным.
Таблица 4.7.
Темпы роста объема сбыта по фирме N
| Годы | Темпы роста, % |
| 1996 | 103 |
| 1997 | 105 |
| 1998 | 104 |
| 1999 | 106 |
 |
Среднегодовойтемпроста (Wachstumstempo, Rate of Growth):
Среднегодовой темп прироста (Zuwachsrate, Rateofincrement):
= Среднегодовой темп роста – 1.В нашем примере:
= 1,045 – 1= 0,045 или 4,5 %Примечание: среднегодовой темп роста и среднегодовой темп прироста можно получить исходя и из абсолютных значений. Видоизменим предыдущий пример (табл. 4.8).
Таблица 4.8.
Объем оказанных услуг по фирме N
| Года | Произведено услуг, тыс. евро |
| 1995 | 1800 |
| 1996 | 1854 (1854/1800=1,03) |
| 1997 | 1947 |
| 1998 | 2025 |
| 1999 | 2147 |
Тогда получим:
= 1,045 – 1= 0,045 или 4,5 %. 
При k = 2 получаем формулу средней квадратической (QuadratischesMittel, Quadraticmean) простой и взвешенной:
При k = 3 получаем формулу средней кубической (KubischesMittel, Cubicmean) простой и взвешенной и т.д:.
Средняя квадратическая и средняя кубическая применяются, если нужно сохранить неизменной сумму квадратов или сумму кубов исходных величин.
Правило мажорантности средних
Если на одном и том же фактическом материале рассчитать разные средние, то все они будут иметь разные значения, причем эти значения будут тем меньше, чем меньше k. Получаем следующее неравенство:
Свойства средней арифметической
Средняя арифметическая обладает некоторыми свойствами, облегчающими ее применение на практике и упрощающими ее расчеты.
1) сумма отклонений индивидуальных значений признаков от средней арифметической равна нулю:
2) если все значения признака увеличить или уменьшить на какое-либо число, то средняя арифметическая увеличится (уменьшится) на это же число:
3) если все значения признака умножить (поделить) на какое-либо число, то средняя арифметическая изменится во столько же раз:
4) сумма квадратов отклонений индивидуальных значений признака от средней арифметической есть величина минимальная:
5) если вес каждого значения признака разделить (умножить) на какое-либо постоянное число А, то средняя арифметическая от этого не изменится:
6) средняя суммы (разности) двух величин равна сумме (разности) средних этих величин
Условия применения средних величин в анализе
- однородность статистической совокупности. Действительно, допустим, что отдельные элементы совокупности, вследствие подверженности влиянию некоторого случайного фактора, имеют слишком большие (или слишком малые) величины изучаемого признака, существенно отличающиеся от остальных. Такие элементы повлияют на размер средней для данной совокупности, поэтому средняя не будет выражать наиболее характерную для совокупности величину признака.
Если исследуемое явление не является однородным, то его разбивают на группы, содержащие только однородные элементы. Для такого явления рассчитываются сначала средние по группам, которые называются групповые средние, – они будут выражать наиболее типичную величину явления в каждой группе. Затем рассчитывается для всех элементов общая средняя величина, характеризующая явление в целом, – она рассчитывается как средняя из групповых средних, взвешенных по числу элементов совокупности, включенных в каждую группу.
На практике, однако, выполнение данного условия не является безусловным. Пример: расчет величины средней заработной платы по всем секторам экономики, включая высокооплачиваемые (банки, финансы) и низкооплачиваемые (народное образование, сельское хозяйство).
- достаточное количество единиц в совокупности, по которой рассчитывается среднее значение признака. Достаточность анализируемых единиц обеспечивается корректным определением границ исследуемой совокупности, т.е. закладывается еще на начальном этапе статистического исследования. Данное условие становится решающим при применении выборочного наблюдения, когда необходимо обеспечить репрезентативность выборки.
- нежелательность большого расхождения максимального и минимального значения признака в изучаемой совокупности также является условием применения средней величины в анализе. В случае больших отклонений между крайними значениями и средней, необходимо проверить принадлежность экстремумов к исследуемой совокупности. Если сильная изменчивость признака вызвана случайными, кратковременными факторами, то, возможно, крайние значения не характерны для совокупности. Следовательно, их следует исключить из анализа, т.к. они оказывают влияние на размер средней величины.