Σу = na + bΣx, (2.1.1)
Σxy = aΣx + bΣx². (2.1.2)
(Если зависимость параболическая, то соответственно три производные и три параметра).
Разделив каждый член системы на n, получим систему (2):
у ср = а + bх ср, (2.1.3)
ху ср = aх ср = b Σ x²/ n. (2.1.4)
Решив эту систему относительно a и b, получим b=ху ср – хср∙уср /σ²х . Подставив b в систему уравнений (2), получим значение коэффициента корреляции:
r=ху ср – х ср∙у ср / σх∙σу или r= b (σx / σу)
Значением коэффициента корреляции может быть выражение:
r = Σ ( х – хср )(у – уср )/ √ Σ (х – хср)²Σ( у – уср)² (2.1.5)
Коэффициент корреляции измеряется случайной среднеквадратической погрешностью:
σr=1-r²/ √n(2.1.6)
Для измерения надежности коэффициента корреляции используется формула:
μ= √ r/ σr , μ≥2,6. (2.1.7)
Существует критерии оценки коэффициента корреляции:
1) Критерий Пирсона
η = √ 1 - S²/ σ² , (2.2.1) где
S² - погрешность выборки,
σ² - погрешность генеральной совокупности.
Если η→1, корреляционная связь тесная;
Если η→0, корреляционная связь отсутствает.
Здесь S = √ Σ ( у – уср)² / n-p , p – количество используемых параметров.
σ = √ Σ ( у – уср)² / n – 1,
n – число наблюдений.
2) Критерий Фишера табулирован (Fкр.)
Fф = σ²/ S². (2.2.2)
Если Fф>Fкр, то модель оптимальна, и связь существует. Если наоборот, ищем другую модель: показательную, гиперболическую, степенную.
2.3 Применение корреляционного анализа для экономических характеристик меди
Корреляционный анализ.
| года | цена,$/т | добыча,млн/т |
| 1999 | 1400 | 12,79 |
| 2000 | 1460 | 13,3 |
| 2001 | 1560 | 13,58 |
| 2002 | 1600 | 13,2 |
| 2003 | 1700 | 13,6 |
| 2004 | 3000 | 14,6 |
| 2005 | 4000 | 14,98 |
| 2006 | 4600 | 14,95 |
| 2007 | 6280 | 19,1 |
| 2008 | 3180 | 17,3 |
| № п/п | добыча, x | цена,у | x-xcр | (x-xcр)² | (x-xcр)(у-уср) | ŷ | (у-уcр) |
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
| 1 | 12,79 | 1400 | -1,05 | 1,1025 | 1551,9 | 3034,98 | -1478 |
| 2 | 13,3 | 1460 | -0,54 | 0,2916 | 765,72 | 2958,74 | -1418 |
| 3 | 13,58 | 1560 | -0,26 | 0,0676 | 342,68 | 2916,87 | -1318 |
| 4 | 13,2 | 1600 | -0,64 | 0,4096 | 817,92 | 2973,69 | -1278 |
| 5 | 13,6 | 1700 | -0,24 | 0,0576 | 282,72 | 2913,88 | -1178 |
| 6 | 14,6 | 3000 | 0,76 | 0,5776 | 92,72 | 2764,37 | 122 |
| 7 | 14,98 | 4000 | 1,14 | 1,2996 | 1279,08 | 2707,56 | 1122 |
| 8 | 14,95 | 4600 | 1,11 | 1,2321 | 1911,42 | 2712,04 | 1722 |
| 9 | 10,1 | 6280 | -3,74 | 13,9876 | -12723,48 | 3437,16 | 3402 |
| 10 | 17,3 | 3180 | 3,46 | 11,9716 | 1044,92 | 2360,7 | 302 |
| Σ | 138,4 | 28780 | 30,9974 | -4634,4 | |||
| (у-уcр)² | (у-ŷ) | ıу-ŷı/ŷ | |||||
| 9 | 10 | 11 | |||||
| 2184484 | -1634,985 | 0,538712678 | |||||
| 2010724 | -1498,735 | 0,506545877 | |||||
| 1737124 | -1356,872 | 0,465180586 | |||||
| 1633284 | -1373,686 | 0,461947219 | |||||
| 1387684 | -1213,882 | 0,416585894 | |||||
| 14884 | 235,62708 | 0,085237081 | |||||
| 1258884 | 1292,4406 | 0,477345253 | |||||
| 2965284 | 1887,9553 | 0,696137259 | |||||
| 11573604 | 2842,8352 | 0,827087238 | |||||
| 91204 | 819,30223 | 0,347059346 | |||||
| 24857160 | 4,82183843 | ||||||
| xcр=Σх/n | |||||||
| xcр= | 13,84 | ||||||
| уср=Σу/n | |||||||
| уср= | 2878 | ||||||
| ŷ=a+bx | |||||||
| a=yср-bxср | |||||||
| a= | 4947,2089 | ||||||
| b=Σ(x-xср)(y-yср)/Σ(x-xср)² | |||||||
| b= | -149,5093 | ||||||
| MAPE=1/n(Σıy-ŷı/y)*100% | |
| MAPE= | 0,4821838 |
| σ=√Σ(у-уср)²/n-1 | |
| σ= | 1661,89 |
| r=Σ(х-хср)(у-уср)/√Σ(х-хср)²Σ(у-уср)² | |
| r= | 0,166 |
| σх=√Σ(х-хср)²/n-1 | |
| σх= | 1,8 |
| tr=r√n-2/1-r² | |
| tr= | 0,47 |
| S=√Σ(у-уср)²/n-p | |
| S= | 1762,7 |
| ta=ıaı√n-2/S | |
| ta= | 296,83 |
| tb=ıbı√n-2/S*σх | |
| tb= | 7,47 |
| σr=1-r²/√n | |
| σr= | 0,3 |
| э=b*(хср/уср) | |
| э= | -0,71 |
Поскольку коэффициент аппроксимации < 33%, данная линейная модель считается приемлемой.
А) анализ временных рядов.
Ряд данных, взятых в определенный период t и представленных в табличной форме, называют временными рядами. Наиболее важной компонентой временных рядов является тенденция. В экономической литературе линию тенденции называют трендом.
Данные временных рядов часто изображаются графически. Среди графических изображений временных рядов главными являются:
- тенденция, T
- циклическая, C
- сезонная, S
- нерегулярная, I
Б) компоненты временного ряда.
Тенденция является долгосрочной компонентой и определяет общее изменение временного ряда. Прямая, представляющая линию развития во времени, обозначается символом T.
Сезонная S относится к типу изменения, регулярно повторяющемся во времени.
Циклическая С- компонента, повторяющаяся волнообразно, длящаяся во времени, но менее короткая, чем Т.
I - нерегулярная компонента, представляющая быстрые изменения малой длительности.
По классической модели любая заданная величина У может быть представлена во временном ряду или суммой компонент
У=Т+С+S+I, (3.1.1)
При условии, что, если рассматривать тенденцию, остальные компоненты "замораживаются".
Заданную величину У можно представить и произведением воздействующих компонентов.
У=Т*С* S*I. (3.1.2.)
В) анализ тенденции T и сезонной S.
важным направлением социально- экономических исследований является изучение основной тенденции развития (тренда). На практике наиболее распространёнными методами исследований являются:
1).Укрупнение интервалов;
2).сглаживание скользящей средней;
3).аналитическое выравнивание.
1. укрупнение интервалов.
В этом методе главное- это преобразование первоначальных рядов динамики в ряды более продолжительных периодов.
2. укрупнение интервалов.
В основу этого метода положено определение по эмпирическим данным теоретических уровней, в которых случайные колебания погашаются, а основная линия развития выражается в виде плавной кривой.
Применение в тренд- анализе рядов динамики метода укрупнения интервалов и метода сглаживания скользящей кривой позволяет выявить тренд для его описания (развития),но не измерение тренда. Измерение тренда можно получить методом аналитического выравнивания, когда основная тенденция развития у1 рассматривается как функция времени у=f(t). Определение выровненной функции развития у1^ происходит на основе адекватной математической функции, которая наилучшим образом отображает основную тенденцию развития. Подбор адекватных функций осуществляется методом наименьших квадратов. Рассматривая минимум суммы квадратов отклонений, и выравнивание происходит на основе нахождения теоретических кривых (в уравнениях которых появляется новый фактор- время):
Y=a + b*t,
Y= a + b*1/t,
Y= a + b*t + c*t2
Статистические показатели динамики социально- экономических явлений.
В зависимости от применяемого способа (одного из трех), сопоставления показателей временных рядов вычисляются на постоянной и переменной базах сравнения.
1)для расчетов показателей динамики на постоянной базе каждый уровень ряда сравнивается с одним и тем же базисным уровнем. Такое исчисление называется базисным;
2)для расчета показателей динамики на переменной базе каждый уровень последующих показателей сравнивается с предыдущим. Такое исчисление показателей называется цепным.
Уровень ряда - это количественная оценка развития во времени.
Важнейшими показателями тренд- анализа являются:
1) абсолютный прирост, величина которого может быть положительной и отрицательной.
∆yδ=yi-y0
∆yu=yi-y(i-1), где
Yi- сравниваемый уровень ряда,
Y0i-постоянная база сравнения,
Y(i-1)-предшествующий уровень.
2) темп роста базисный и цепной и относительные приросты (всегда положительные) выражают отношение двух уровней роста. Выражаются в коэффициенте или в %.
А) базисный темп роста:
Тр.б.= у1/у0i(3.1.3)
Б) цепной темп роста:
Тр.ц.=у1/у(i-1) (3.1.4)
В) темпы прироста - это понятие среднего темпа роста.
Т‾р.б.=ⁿ√Пр.Т.р.б., (3.1.5)
Где под корнем находится произведение базисных темпов роста.
Т‾р.ц.= ⁿ√Пр.Т.р.ц.,
Где под корнем находится произведение цепных темпов роста.
3) прирост цепной.
Тпр.ц.=( Т‾р.ц.-1)*100% (3.1.6)
Прирост базисный.
Тпр.б.= (Т‾р.б.-1)*100% (3.1.7)
Выбор масштаба времени: Система уравнений упрощается, если значения временных периодов подобрать так, чтобы их сумма равнялась нулю. Если число периодов четное, то столбец t делится
∑t= n(n-1)/3
Если число параметров четное.
Если нечетное-
∑t= n(n-1)/12