x
де р^ ^ — деяка невід'ємна функція, то випадкова величина називається
абсолютно неперервною, а функція р, —щільністю розподілу випадкової величини
Абсолютно неперервними можна вважати, наприклад, розмір майбутніх прибутків
страховика, а також тривалість очікування між двома послідовними страховими
випадками.
Числові характеристики випадкових величин. У страховій практиці, як правило,
нас цікавлять не самі випадкові величини, а деякі їх числові макрохарактеристики.
Найважливішими з них є математичне сподівання та дисперсія.
Математичне сподівання (його називають також середнім, або сподіваним,
значенням) — це середньозважене за ймовірністю значення випадкової величини. Для
дискретних випадкових величин математичне сподівання обчислюється з формулою:
i
де хі, — значення, яких набуває випадкова величина; Рі — ймовірності їх реалізації.
Для абсолютно неперервних випадкових величин математичне сподівання подається так:
м\~= ]tp(Qt
де р? — щільність випадкової величини Якщо випадкова величина невід'ємна
(0<Ј), математичне сподівання можна обчислити за формулою:
Для будь-яких сталихa, b та випадкових величин Z виконуються такі властивості
математичного сподівання:
М\=а
м\ї~=ьм\
Дисперсія характеризує відхилення випадкової величини від її середнього
значення й обчислюється як математичне сподівання квадрата відхилення цієї величини
від її математичного сподівання:
Дисперсія задовольняє такі співвідношення:
dY=mY_ zm\7- D\~=0
D\ f=b2D\~_
D\ + a=D \
де а, b — довільні сталі;Ј — випадкова величина. Якщо випадкова величина
невід'ємна (0<Ј), дисперсію можна обчислити за формулою:
+со
_=2jV<
о V о
Поряд з дисперсією часто використовують похідні поняття — стандартне
відхилення та коефіцієнт варіації. Стандартним, або середньоквадратичним,
відхиленням називають корінь квадратний із дисперсії.
Відношення стандартного відхилення випадкової величини до модуля
математичного сподівання називається коефіцієнтом варіації.
+СО І +00
D\~=2 \ti-F,(t)ljf-\ \i-Ff0)2/
V\
- сг.
НІГ
Для випадкової величини Ј, квантилем рівня а (або tt-квантилем) називається
величинаta, яка при заданому значенні довірчої ймовірності & є коренем рівняння
Незалежність випадкових величин. Випадкові величиниЈ, та називаються
незалежними, якщо за відомим значенням величиниЈ не можна зробити жодних
висновків стосовно значення і навпаки, значенняЈ ніяк не впливає на обізнаність із
величиною Ј. Формально випадкові величини Ј та Ј називаються незалежними, якщо
при будь-яких значеннях а та Ь імовірність події Р ^ < а, % <Ь є добутком
ймовірностей подій Р ^<а та Р
Р^<а, g <Ь~=Р 4<а~_Р Ј<Ь\
Якщо випадкові величини не задовольняють наведену щойно умову, то вони
називаються залежними. Прикладом залежних випадкових величин є кількість позовів та
сумарний розмір виплат. Відсутність позовів означає відсутність виплат. Нехай Ц —
кількість позовів (кількість виплат) у поточному році,Ј — відповідна сума виплат у
страховика. Нехай з імовірністю10 % протягом року виплат у страховика немає. Цей факт
можна записати кількома способами:
Р 4 = 1гРн j І0%
р $ = о ^Р Ј<1^10%
Рі$<1, Ј < 1грн j 10%
Отже,Р іі<1, ^ < 1грн З*Р ^< 1 ггр ij і\< 1 , Це означає, що випадкові величини
Ц іЈ, залежні. Незалежними випадковими величинами можуть вважатись, наприклад,
кількості позовів з різних видів страхування.
Наведемо дві важливі властивості. Якщо випадкові величини та незалежні, то
для них виконуються такі співвідношення:
М Iд~=М ІМ J"
D\ + g~=D І + |;
Статистичні оцінки. Часто ми не маємо інформації про реальний розподіл
випадкової величиниЈ, але маємо деяку сукупність спостережень, у результаті яких вона
набуває значень х1, х3, ... хп. Ця сукупність значень називається вибіркою, а величини
- 1 "
х = - ТиХг■2 1 V/ ">
1 * =—-П-І1,Ґ!
відповідно вибірковим (емпіричним) середнім та незсуненою вибірковою (емпіричною)
дисперсією. Вибіркове середнє використовують для оцінювання математичного
сподівання:
хкМ\
незсунена вибіркова дисперсія є оцінкою дисперсії випадкової величини:
s2=D\'_
Принципи обчислення тарифних ставок. В актуарній практиці використовуються
найрізноманітніші методи обчислення тарифних ставок. Усі вони базуються на принципі
еквівалентності фінансових зобов'язань страхувальника і страховика. Але парадокс
полягає в тому, що не існує єдиного погляду на те, як тлумачити цей загальновизнаний
принцип страхування. Розглянемо найпоширеніші підходи до трактування принципу
еквівалентності.
Еквівалентність фінансових зобов'язань як еквівалентність сподіваних
значень. Зобов'язання страхувальників полягають у сплаті страхових премій. Зобов'язання
страховика оплачувати позови страхувальника. Нехай р означає суму зібраних
страховиком премій, X — сумарні виплати страховика. Природно вважати, що
справедливою платою за ризик страховика є сподіване (середнє) значення випадкової
величини X:
р=М ^
У такому вигляді принцип еквівалентності доволі часто використовується у
страхуванні життя та деяких інших галузях масового страхування.
Еквівалентність зобов'язань з погляду теорії розорення. Зобов'язання
страхувальників мають безумовний характер. Купуючи поліс, страхувальник звільняє себе
від ризику несподіваних витрат. Витрати страховика, навпаки, непередбачувані.
Страховик бере на себе ризик, який полягає в тому, що його виплати будуть значно більші
за М[Х]. Тому страховик вправі вимагати додаткової плати за можливі збитки —
ризикову надбавкуL. Із цього погляду справджується співвідношення:
p=M^~+L
Постає запитання: якими мають бути розміри ризикової надбавкиL та страхової
премії р? Щоб відповісти на нього, доцільно звернутися до теорії розорення.
Факт розорення страховика описується співвідношеннямU + р <Х,
деU — розмір власних коштів страховика.
Відповідно ймовірність розорення дорівнює Р{и + р < X}.
Отже, якщо страховик намагається досягнути ймовірності розорення а, то він має
забезпечити розмір страхових премійр таким, щоб виконувалося співвідношення:
Р{и + р <X}.= а
Таке розуміння принципу еквівалентності є найпоширенішим у сьогоденній
практиці. Основним недоліком цього підходу є досить висока абстрактність поняття
«ймовірність розорення». Яка ймовірність розорення страховика вважається достатньою
— 10,1 чи 0,1 %? На це запитання дуже важко дати аргументовану відповідь. Зменшення
ймовірності розорення з 2 до 0,2 % для страховика не має принципового значення, хоча
може призвести до необхідності збільшити ризикову надбавку в півтора рази.
Принцип еквівалентності зобов'язань у термінах теорії розорення має математично
обґрунтовану форму, але застосування його в актуарній практиці може призводити до
значних коливань розрахункових значень.
Еквівалентність зобов'язань з погляду теорії корисності. Нині дедалі
популярнішим стає підхід до формалізації принципу еквівалентності фінансових
зобов'язань страхувальника і страховика, що ґрунтується на теорії корисності.
Основним поняттям цієї теорії є функція корисності. Функцією корисності
називають функцію и(х), яка має такі властивості:
функціяU зростаюча —и(х)> и(у)приX > у,
функціяU задовольняє нерівність Єнсена М[и(х)] < и(М[х]);
функціяи задовольняє умову нульової корисності и(0) = 0.
Функція корисності визначає ступінь важливості для страховика певних грошових
сум. Вона має суб'єктивний характер, включаючи психологічний компонент.
За допомогою функції корисності принцип еквівалентності можна записати так:
М\<1 + р-Х^=иі?1
Отже, сподівана корисність капіталу страховика після прийняття ризиків не повинна
зменшитися порівняно з корисністю початкового капіталу. На практиці часто
застосовують експоненціальну 1 -е~ах та квадратичну ах-х2 функції
корисності.
Головна проблема при практичному використанні принципу еквівалентності в
2. ВИЗНА ЧЕННЯ ТАРИФІВ ЗА ДОГОВОРАМИ СТРАХУВАННЯ ЖИТТЯ
Страхова виплата за договорами страхування життя здійснюється одноразово в
розмірі страхової суми (її частини) і/або у вигляді послідовних виплат страхової суми
(додаткове забезпечення доходу застрахованої особи в разі її хвороби, досягнення нею
віку, який визначено у договорі страхування, настання певних подій у її житті).
Страхові виплати здійснюються в разі:
смерті застрахованої особи;
дожиття застрахованої особи до закінчення строку дії договору страхування;
досягнення застрахованою особою пенсійного віку (страхування додаткової
пенсії) або віку, який визначено в договорі страхування;
настання події в житті застрахованої особи, яка обумовлена у договорі
страхування (укладання шлюбу, народження дитини, вступ до навчального закладу,
смерть близького родича застрахованої особи — дружини, чоловіка, дітей, батьків).
Умови договору страхування життя можуть додатково передбачати обов'язок
страховика здійснити страхові виплати в разі:
хвороби застрахованої особи;
тимчасової непрацездатності застрахованої особи внаслідок нещасного