випадку;
стійкої непрацездатності (інвалідності) застрахованої особи внаслідок
нещасного випадку.
Основні статистичні параметри у страхуванні життя. Нетто-тариф за договором
страхування життя для кожного з наведених щойно страхових ризиків (страхових подій)
визначають з урахуванням статистичних закономірностей страхових ризиків протягом дії
договору страхування та інвестиційного доходу від розміщення страхових резервів.
Математичною моделлю випадкових процесів дожиття та смертності,
непрацездатності, хвороби в разі переходу застрахованих осіб з однієї вікової категорії в
іншу є регіональні таблиці дожиття та смертності і відповідні регіональні чи селективні
(за статтю, станом здоров'я, тривалістю непрацездатності або хвороби, професією,
регіоном проживання тощо) статистичні таблиці страхових ризиків, що їх формують
страховики.
При визначенні нетто-тарифу за договором страхування життя використовують:
регіональну або селективну таблицю дожиття та смертності;
регіональні або селективні таблиці додаткових страхових ризиків;
річну ставку інвестиційного доходу І;
таблиці комутаційних чисел для встановленої в договорі страхування
річної ставки інвестиційного доходу та ймовірностей відповідних страхових ризиків.
Основні параметри таблиці дожиття та смертності:
Іх — кількість осіб, що дожили до віку х років (змінна х позначає повну кількість
років застрахованої особи на час укладення договору страхування життя);
d° — кількість осіб у віці х років, які не доживуть до віку х + 1 рік, при цьому:
d°=l-l
lx+lїї
термінах теорії корисності — відшукання адекватної функції корисності.
qx — коефіцієнт смертності для особи у віці х років (імовірність смерті протягом
року для особи у віці х років), при цьому:
0 <
а =
Чхh
p°x — імовірність дожити до віку х + 1 для особи у віці х років;
tq° — імовірність смерті протягомt років для особи у віці х років;
tp0x — імовірність прожити не менш ніжt років для особи у віці х років, при цьому:
tp° = l—
ї -Г X і
lxзвідки
оР°х=1 :Р°х=Р°х Ч°х=1-Р°х
0 0 0 0 0 0 7 о
tPx = PxPx+lPx+2-Px+t-l ', //,: ='-, Р,
При укладанні договору страхування життя, умови якого передбачають страхові
ризики, які щойно визначено, для кожного із цих страхових ризиків розраховують
відповідні статистичні таблиці, розрізняючи їх за допомогою індексів(j = 0, 1,2 ...), при
цьому індексj = 0 використовують для таблиць дожиття та смертності.
Основні параметри статистичних таблиць додаткових ризиків такі:
Іх — кількість осіб, котрі дожили до віку х років (має дорівнювати значенню такого
самого параметра в таблиці дожиття та смертності);
dj — кількість осіб у віці х років, для якиху-та страхова подія настане протягом
року (до настання віку х +1 рік);
tdj — кількість осіб у віці х років, для якиху-та страхова подія настане протягомt
років (на проміжку часу від х до х + t років);
qj — імовірність настання протягом рокуj-ї страхової події для особи у віці х років;
rqj — імовірність настання протягомt роківj-ї страхової події для особи у віці х
років, при цьому
dJ
q1
lxіРІ ~l~t c/x— імовірність того, щоj-та страхова подія не настане протягомt років
для особи у віці х років.
Розрахунки нетто-тарифів за договорами страхування життя виконують на основі
статистичних таблиць страхових ризиків. При цьому для кожного страхового ризику
розраховують такі комутаційні числа:
D=iy- (\-с/У :
t=l t=l
t=i t=i
деW — граничний, згідно з таблицею, смертності вік;
t — змінний індекс, що дорівнює повній кількості років з часу початку дії договору
страхування життя;
V — дисконтувальний множник, який для встановленої річної ставки інвестиційного
доходу і визначається співвідношенням:
1
v =
1 + і
Таблиця комутаційних чисел складається для всіх значень віку х та ставки і річного
інвестиційного доходу, застосовуваних у розрахунках нетто-тарифу.
Страхові ануїтети. Страховий ануїтет — це послідовність страхових платежів
або страхових виплат двох видів:
ануїтет пренумерандо — послідовність страхових платежів або страхових виплат,
що здійснюється на початку кожного обумовленого періоду часу;
ануїтет постнумерандо — послідовність страхових платежів або страхових виплат,
що здійснюється в кінці кожного обумовленого періоду часу.
Річні ануїтети — це послідовність страхових платежів або страхових виплат, які
здійснюються один раз на рік.
Дійсна вартість страхових ануїтетів (сподівана вартість майбутніх страхових
платежів або майбутніх страхових виплат на час укладення договору страхування)
визначається, як правило, в розрахунку на одну грошову одиницю річних ануїтетів
постнумерандо. Інші можливі варіанти платежів — піврічні, щоквартальні та щомісячні
страхові ануїтети як постнумерандо, так і пренумерандо визначаються через річні ануїтети
постнумерандо.
Дійсна вартість річних страхових ануїтетів постнумерандо на час укладення
договору страхування життя для застрахованої особи у віці х років у загальному випадку
розраховується аналітично за формулою
t
де /'С — імовірність настання страхової події для застрахованої особи за проміжок
часу відt доt + 1 року дії договору;
значення цілого індексуt визначає порядок року в межах терміну дії договору
страхування;
значення b визначає розмір річного страхового платежу або річної страхової
виплати.
Дисперсія таких ануїтетів визначається так:
а2 1г "С " "С v
де 2а С — ануїтет виду
t
Дійсна вартість страхових ануїтетів постнумерандо на час укладення договору
страхування життя визначається аналітично або за допомогою комутаційних чисел з
урахуванням даних статистичних таблиць для кожного страхового ризику:
• при укладанні договору страхування життя без обмеженнястроку дії
договору (довічне страхування) дійсна вартість страхового ануїтету ах, який щороку
сплачується в розмірі одиниця (випадокb(t) = 1), поки застрахована у віці X років
особа жива, визначається ймовірністю Iі €.=,р'!: та обчислюється за допомогою
співвідношень:
Dx
при укладанні договору страхування життя на строк п роківдійсна
вартість страхового ануїтету який протягом п років щороку сплачується в
розмірі одиниця, поки застрахована у віці X років особа жива, визначається
ймовірністю РіУіРІ та розраховується за допомогою співвідношень:
а = ах - v" „ р°хах+п, або а =
х: п х nJrx х+п' х: п
при укладанні договору страхування життя без обмеженнястроку дії
договору (довічне страхування) дійсна вартість страхового ануїтету CO, який
сплачується в розмірі одиниця за кожний рік дії договору (випадокb(t) =t), поки
W-X о
t=i
• при укладанні договору страхування життя на строк п років дійсна
вартість страхового ануїтету С^^.. п , який протягом tl років сплачується в розмірі
одиниця за кожен рік дії договору, поки застрахована у віці X років особа жива,
визначається ймовірністю P€ytp°x та обчислюється за допомогою співвідношень:
^а ^ _ ^х+и+1П^х+п-1
Л = або ]ах = '—*
ts Dx
де qx — імовірність настання протягом року інвалідності внаслідок нещасного
випадку для застрахованої у віці х років особи; при цьому випадок п = <х> визначає дійсну
вартість страхового ануїтету без обмеження терміну дії договору:
,-А1 г = „ А,
застрахована у віці X років особа жива, визначається ймовірністю PK,^tpx та
обчислюється за допомогою співвідношень:
Х+П
або
—X n
D
при укладанні договору страхування життя без обмеженнястроку дії
договору (довічне страхування) на випадок настанняj-ї страхової події для
застрахованої у віці X років особи дійсна вартістьодиниці одноразової страхової
виплати jAx визначається ймовірністю І' та розраховується за допомогою
співвідношень:
м.
при укладанні договору страхування життя на строкn років на
випадок настанняj-ї страхової події для застрахованої у віці х років особи дійсна
вартість одиниці одноразової страхової виплати п визначається за
допомогою співвідношень:
Аг= А - v" п P°JA+n > або ,А1 г = Мх ~Мх+п
j х: п i j х nr xj х+п ' j х\ п \ тл
x
Приклад. При укладанні договору страхування життя на строк п років, умови якого
передбачають страхову подію «стійка непрацездатність (інвалідність) застрахованої особи
внаслідок нещасного випадку», дійсна вартість одиниці одноразової страхової виплати
А1 х п визначається ймовірністю 1>(1)=ірхс{'"_^ та обчислюється за формулою
ті—1
гн х ">
при укладанні договору страхування життя, умови якого
передбачають страхову подію «дожиття застрахованої у віці х років особи до
закінчення строку дії договору» (п — кількість років дії договору страхування),
дійсна вартість одиниці страхової виплати визначається так: