по Экономике 29 (стр. 3 из 4)
Верхняя граница: 28,51 0,66 = 29,17
___________________
u(2) = 1,12 ∙ 0,48 ∙ √1 + 1/9 + (9 + 2 – 5)2/60 ≈ 3,44
k = 2 (t = 10).
Нижняя граница: 31,19 – 0,70 = 30,49
Верхняя граница: 31,19 + 0,70 = 31,89
Проверим адекватность модели.
Проверка случайности ряда остатков по критерию пиков дает результат 7 больше 2 (критическое число поворотных точек).
Вычислим dпо формуле
∑(εt– εt-1)2 3,95
d = ————— = —— = 2,48
∑ εt2 1,59
При проверке независимости уровней ряда остатков друг от друга значение d′ = 4 – 2,48 = 1,52 при уровне значимости a = 0,025 больше d2 = 1,36, т.е. модель адекватна.
Соответствие ряда остатков нормальному распределению установим с помощью формулы
R/S = (εmax – εmin)/Sn,
_______________ _____
Sn = √ ∑(εt – εср)2/(n – 1) = √1,44/8 = 0,42
R/S = (0,62 – (-0,46))/0,42 = 2,55
Для n = 9 и a = 0,05 найдем критический интервал: [2,7; 3,7]. Вычисленное значение 2,55 не попадает между табулированными границами с заданным уровнем вероятности. Значит, закон нормального распределения не выполняется.
Результаты аппроксимации и прогнозирования по адаптивной модели Брауна при α = 0,4.
Возьмем α = 0,7, k = 1 и β = 1 – α = 1 – 0,7 = 0,3.
Будем находить последующие значения a0(t) и a1(t) по формулам
a1(t) = a1(t – 1) + (1 – β)2 ∙ (Y(t) – Yp(t)) и a0(t) = a0(t – 1) + a1(t – 1) + (Y(t) – Yp(t)) ∙ (1 – β2),
где Yp(t) = a0(t – 1) + a1(t – 1)k.
Таблица 4.
| Номер | Факт | a0 | a1 | Расчет | Отклонение | ε2 |
| 2,30 | 2,50 | |||||
| 1 | 5 | 4,98 | 2,60 | 4,80 | 0,200 | 0,04 |
| 2 | 7 | 7,05 | 2,31 | 7,58 | -0,580 | 0,34 |
| 3 | 10 | 9,94 | 2,62 | 9,37 | 0,634 | 0,40 |
| 4 | 12 | 12,05 | 2,35 | 12,57 | -0,567 | 0,32 |
| 5 | 15 | 14,95 | 2,64 | 14,40 | 0,602 | 0,36 |
| 6 | 18 | 17,96 | 2,84 | 17,59 | 0,413 | 0,17 |
| 7 | 20 | 20,07 | 2,45 | 20,81 | -0,807 | 0,65 |
| 8 | 23 | 22,96 | 2,68 | 22,52 | 0,479 | 0,23 |
| 9 | 26 | 25,97 | 2,86 | 25,64 | 0,360 | 0,13 |
| 10 | 28,83 | 2,64 | ||||
| 11 | 31,69 |
___________________
u(1) = 1,12 ∙ 0,61 ∙ √1 + 1/9 + (9 + 1 – 5)2/60 ≈ 0,85
k = 1 (t = 10).
Нижняя граница: 28,83 – 0,85 = 27,98
Верхняя граница: 28,83 + 0,85 = 29,68
___________________
u(2) = 1,12 ∙ 0,61 ∙ √1 + 1/9 + (9 + 2 – 5)2/60 ≈ 0,90
k = 2 (t = 10).
Нижняя граница: 31,69 – 0,90 = 30,79
Верхняя граница: 31,69 + 0,90 = 32,59
Проверим адекватность модели.
Проверка случайности ряда остатков по критерию пиков дает результат 7 больше 2 (критическое число поворотных точек).
Вычислим dпо формуле
∑(εt– εt-1)2 8,08
d = ————— = —— = 3,06
∑ εt2 2,64
При проверке независимости уровней ряда остатков друг от друга значение d′ = 4 – 3,06 = 0,94 при уровне значимости a = 0,025 меньше d1 = 1,08, т.е. модель неадекватна.
Соответствие ряда остатков нормальному распределению установим с помощью формулы
R/S = (εmax – εmin)/Sn,
_______________ _____
Sn = √ ∑(εt – εср)2/(n – 1) = √2,58/8 = 0,57
R/S = (0,57 – (-0,81))/0,57 = 2,54
Для n = 9 и a = 0,05 найдем критический интервал: [2,7; 3,7]. Вычисленное значение 2,54 не попадает между табулированными границами с заданным уровнем вероятности. Значит, закон нормального распределения не выполняется.
Результаты аппроксимации и прогнозирования по адаптивной модели Брауна при α = 0,7.
Очевидно, что лучше взять α = 0,4.
4. Для того чтобы оценить параметры и качество этой модели (адекватность и точность), а также построить точечный и интервальный прогнозы, заполним следующую таблицу:
Таблица 5.
| t | Yt | t-tср | (t-tср)2 | Yt-yср | (t-tср)(Yt-yср) | Yt* | εt= Yt- Yt* | Точ. пов | εt2 | εt-εt-1 | (εt-εt-1)2 | εt∙εt-1 | (εt- εср)2 | λt |
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |
| 1 | 5 | -4 | 16 | -10,11 | 40,44 | 4,58 | 0,42 | 0,18 | 0,18 | 0,2 | ||||
| 2 | 7 | -3 | 9 | -8,11 | 24,33 | 7,21 | -0,21 | 1 | 0,04 | -0,63 | 0,40 | -0,09 | 0,04 | 0,2 |
| 3 | 10 | -2 | 4 | -5,11 | 10,22 | 9,84 | 0,16 | 1 | 0,02 | 0,37 | 0,13 | -0,03 | 0,02 | 0,3 |
| 4 | 12 | -1 | 1 | -3,11 | 3,11 | 12,48 | -0,48 | 1 | 0,23 | -0,63 | 0,40 | -0,07 | 0,23 | 1,6 |
| 5 | 15 | 0 | 0 | -0,11 | 0,00 | 15,11 | -0,11 | 0 | 0,01 | 0,37 | 0,13 | 0,05 | 0,01 | 2,0 |
| 6 | 18 | 1 | 1 | 2,89 | 2,89 | 17,74 | 0,26 | 1 | 0,07 | 0,37 | 0,13 | -0,03 | 0,07 | 0,7 |
| 7 | 20 | 2 | 4 | 4,89 | 9,78 | 20,38 | -0,38 | 1 | 0,14 | -0,63 | 0,40 | -0,10 | 0,14 | 0,2 |
| 8 | 23 | 3 | 9 | 7,89 | 23,67 | 23,01 | -0,01 | 0 | 0,00 | 0,37 | 0,13 | 0,00 | 0,00 | 0,3 |
| 9 | 26 | 4 | 16 | 10,89 | 43,56 | 25,64 | 0,36 | 0,13 | 0,37 | 0,13 | 0,00 | 0,13 | 0,7 | |
| 45 | 136 | 0 | 60 | 0 | 158 | 136 | 0,00 | 5 | 0,82 | 1,88 | -0,27 | 0,82 | ||
| 5 | 15,11 | 0 | 6,67 | 0 | 0,000 |
В первой нижней строке под таблицей записаны суммы соответствующих граф, во второй – соответствующие средние значения.
Наличие тренда, то есть меру связи между переменными tи Ytоценим по коэффициенту корреляции. Построим вспомогательную расчетную таблицу:
Таблица 6.
| t | Yt | t – tср | (t – tср)2 | Yt – Yср | (Yt – Yср)2 | t∙Yt | |
| 1 | 5 | -4 | 16 | -10,11 | 102,23 | 5 | |
| 2 | 7 | -3 | 9 | -8,11 | 65,79 | 14 | |
| 3 | 10 | -2 | 4 | -5,11 | 26,12 | 30 | |
| 4 | 12 | -1 | 1 | -3,11 | 9,68 | 48 | |
| 5 | 15 | 0 | 0 | -0,11 | 0,01 | 75 | |
| 6 | 18 | 1 | 1 | 2,89 | 8,35 | 108 | |
| 7 | 20 | 2 | 4 | 4,89 | 23,90 | 140 | |
| 8 | 23 | 3 | 9 | 7,89 | 62,23 | 184 | |
| 9 | 26 | 4 | 16 | 10,89 | 118,57 | 234 | |
| Сумма | 45 | 136 | 0 | 60 | 0 | 416,89 | 838 |
| Среднее | 5 | 15,1 | 0 | 6,67 | 0 | 46,32 | 93,11 |
Коэффициент корреляции:
____ _ __
t ∙ Yt – t ∙ Yt
r = ————
st ∙ sy
гдеst=√∑(t – tср)2/n
sy = √∑( Yt – Yср)2/n
tср = ∑t / n
Ytср = ∑ Yt / n
tср = 45/9 = 5
Ytср = 136/9 = 15,11
st=√60/9 = 2,58
sy=√416,89/9 = 6,81
r = (93,11 – 5 ∙ 15,11)/(2,58 ∙ 6,81) = 0,999
Оценим полученный коэффициент корреляции по статистике Стьюдента. То есть проверим гипотезу о ненулевом коэффициенте корреляции генеральной совокупности. Для проверки гипотезы установим значения taи Faи сравним с заданными табличными значениями.
r2(n – 2) 0,9992(9 – 2)
ta = ———— = ————— = 3542,19
1 – r2 1 – 0,9992
Для уровня значимости a = 0,05 при числе степеней свободы m = 9 tтабл = 2,262. Так как ta> tтабл, то гипотезу о равенстве нулю коэффициента корреляции генеральной совокупности отвергаем.
Для проверки адекватности модели в соответствии и видом формул
|εср| _ ∑(εt– εt-1)2
ť = —— ∙ √nd = ————— r1 = (∑εt∙εt-1) : ∑ εt2.
S∑ ∑ εt2
организуем заполнение граф 9 – 13.
- Легко убедиться, что математическое ожидание ряда остатков равна нулю, т.е. |εср| = 0.
- Проверка случайности ряда остатков по критерию пиков дает результат: 5 (сумма графы 9) больше 2 (критическое число поворотных точек).
__________ _____
/ ∑ (εt– εср)2 / 0,82
S∑ = / ————— = / ——— = 0,32
√ n – 1 √ 8
|εср| _ 0,00 _
ť = —— ∙ √n = —— ∙ √9 = 0,00
S∑ 0,32
- Вычислим d по формуле
∑(εt– εt-1)2 1,88
d = ————— = —— = 2,28
∑ εt2 0,82
При проверке независимости уровней ряда остатков друг от друга значение d = 2,28 при уровне значимости a = 0,025 больше d2 = 1,36, т.е. ряд остатков не коррелирован. Воспользоваться формулой
r1 = (∑εt∙εt-1) / ∑ εt2 = – 0,27/0,82 = – 0,33.
Сопоставляя это число с табличным значением первого коэффициента автокорреляции 0,36, взятым для уровня значимости a = 0,01 и n = 9, увидим, что расчетное значение по модулю меньше табличного. Это означает, что с ошибкой в 1 % ряд остатков можно считать некоррелированным, т.е. свойство взаимной независимости уровней остаточной компоненты подтверждается.
- Соответствие ряда остатков нормальному распределению установим с помощью формулы
R/S = (εmax – εmin)/Sn,
_______________ _____
Sn = √ ∑(εt – εср)2/(n – 1) = √0,82/8 = 0,32
R/S = (0,42 – (-0,48))/Sn = 2,81
Для n = 9 и a = 0,05 найдем критический интервал: [2,7; 3,7]. Вычисленное значение 2,81 попадает между табулированными границами с заданным уровнем вероятности. Значит, закон нормального распределения выполняется, и можно строить доверительный интервал прогноза.
- Так как модель оказалась адекватной, оценим ее точность. Рассчитаем среднюю относительную ошибку по формуле
1 |εt| 1