по Экономике 29 (стр. 1 из 4)
Задача 1.5
Продукция двух видов (краска для внутренних (I) и наружных (E) работ) поступает в продажу. Для производства красок используются два исходных продукта – A и B. Максимально возможные суточные запасы этих продуктов составляют 6 и 8 тонн соответственно. Расходы продуктов A и B на1 1 т соответствующих красок приведены в таблице.
| Исходный продукт | Расход исходных продуктов на тонну краски, т | Максимально возможный запас, т | |
| Краска T | Краска I | ||
| A | 1 | 2 | 6 |
| B | 2 | 1 | 8 |
Изучение рынка сбыта показало, что суточный спрос на краску I никогда не превышает спроса на краску T более чем на 1 т. Кроме того, установлено, что спрос на краску I никогда не превышает 2 т в сутки. Оптовые цены одной тонны красок равны 3000 ден. ед. для краски T и 2000 ден. ед. для краски I. Какое количество краски каждого вида должны производить фабрика, чтобы доход от реализации продукции был максимальным?
Построить экономико-математическую модель задачи, дать необходимые комментарии к ее элементам и получить решение графическим методом. Что произойдет, если решать задачу на минимум, и почему?
Решение:
Сформулируем экономическо-математическую модель задачи. Обозначим через x1 количество краски для наружных работ (в тоннах), x2 – количество краски для внутренних работ (в тоннах). Необходимо максимизировать доход от реализации краски:
maxf(x) = 3000x1 + 2000x2,
при ограничениях
x1 + 2x2 ≤ 6
2x1 + x2 ≤ 8
x2 – x1 ≤ 1
x2 ≤ 2
x1, x2 ≥ 0
Полученная задача – задача линейно программирования. Построим ОДР задачи.
Прямые ограничения означают, что область решений будет лежать в первой четверти Декартовой системы координат.
Функциональные ограничения (неравенства) определяют область, являющуюся пересечением полуплоскостей с граничными прямыми:
I. x1 + 2x2= 6
II. 2x1 + x2= 8
III. x2 – x1 = 1
IV. x2 = 2
Пересечение указанных полуплоскостей в первой четверти представляет собой полуплоскость - заштрихованная общая область для всех ограничений задачи ОДР.
1. Для определения направления движения к оптимуму построим вектор-градиент, соединив его вершину Ñ(3, 2) с началом координат O (0, 0).
2. Построим некоторую линию уровня 3000x1 + 2000x2 = a. Пусть, например, a = 12666,67. На рисунке такой линии уровня отвечает прямая OX, перпендикулярная вектор - градиенту.
3. При максимизации ЦФ необходимо перемещать линию уровня OX в направлении вектор - градиента, а при минимизации – в противоположном направлении.
Максимум функции будет находиться в точке пересечения прямых x1 + 2x2 = 6 и 2x1 + x2 = 8. Таким образом, максимума функции (12666,67) достигается при x1 = 10/3, x2 = 4/3. Если решать задачу на минимум, то минимум функции будет равен 0, так как функция ограничена снизу осями Ox1 и Ox2.
Задача 2.5
На основании информации, приведенной в таблице, решается задача оптимального использования ресурсов на максимум выручки от реализации готовой продукции.
| Вид ресурсов | Нормы расхода ресурсов на ед. продукции | Запасы ресурсов | ||
| I вид | II вид | III вид | ||
| I | 1 | 4 | 3 | 200 |
| II | 1 | 1 | 2 | 80 |
| III | 1 | 1 | 2 | 140 |
| Цена изделия | 40 | 60 | 80 | |
Требуется:
- Сформулировать прямую оптимизационную задачу на максимум выручки от реализации готовой продукции, получить оптимальный план выпуска продукции.
- Сформулировать двойственную задачу и найти ее оптимальный план с помощью теоремы двойственности.
- Пояснить нулевые значения переменных в оптимальном плане.
- На основе свойств двойственных оценок и теорем двойственности:
- проанализировать использование ресурсов в оптимальном плане исходной задачи;
- определить, как изменятся выручка от реализации продукции и план выпуска продукции при увеличении запасов сырья на 18 единиц;
- оценить целесообразность включения в план изделия четвертого вида ценой 70 ед., на изготовление которого расходуется по две единицы каждого вида ресурсов.
Решение:
1. Обозначим через x1, x2, x3, x4 – количество четырех видов продукции соответственно и запишем математическую модель задачи критерию «максимум стоимости»:
max (40x1 + 60x2 + 80x3)
x1 + 4x2 + 3x3 ≤ 200
x1 + x2 + 2x3 ≤ 80
x1 + x2 + 2x3 ≤ 140
xj ≥ 0, j = 1, 2, 3.
Приведем задачу к каноническому виду
max (40x1 + 60x2 + 80x3)
x1 + 4x2 + 3x3 + x4 = 200
x1 + x2 + 2x3 + x5 = 80
x1 + x2 + 2x3 + x6 = 140
xj ≥ 0, j = 1-6.
Решим каноническую задачу симплекс-методом.
| Базис | Z | x1 | x2 | x3 | x4 | x5 | x6 | Реш | b/aij | Комм |
| z | 1 | -40 | -60 | -80 | 0 | 0 | 0 | 0 | не опт | |
| x4 | 0 | 1 | 4 | 3 | 1 | 0 | 0 | 200 | 66,67 | |
| x5 | 0 | 1 | 1 | 2 | 0 | 1 | 0 | 80 | 40 | x3 в Baz |
| x6 | 0 | 1 | 1 | 2 | 0 | 0 | 1 | 140 | 70 | |
| z | 1 | 0 | -20 | 0 | 0 | 40 | 0 | 3200 | не опт | |
| x4 | 0 | -0,5 | 2,5 | 0 | 1 | -1,5 | 0 | 80 | 32 | x2 в Baz |
| x3 | 0 | 0,5 | 0,5 | 1 | 0 | 0,5 | 0 | 40 | 80 | |
| x6 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | -1 | 1 | 60 | ||
| z | 1 | -4 | 0 | 0 | 8 | 28 | 0 | 3840 | не опт | |
| x2 | 0 | -0,2 | 1 | 0 | 0,4 | -0,6 | 0 | 32 | ||
| x3 | 0 | 0,6 | 0 | 1 | -0,2 | 0,8 | 0 | 24 | 40 | x1 в Baz |
| x6 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | -1 | 1 | 60 | ||
| z | 1 | 0 | 0 | 6,67 | 6,67 | 33,33 | 0 | 4000 | опт | |
| x2 | 0 | 0 | 1 | 0,33 | 0,33 | -0,33 | 0 | 40 | ||
| x1 | 0 | 1 | 0 | 1,67 | -0,33 | 1,33 | 0 | 40 | ||
| x6 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | -1 | 1 | 60 |
Задача решена, получена оптимальная симплекс-таблица.
z = 4000 – максимальное значение целевой функции. Решение x1 = 40, x2 = 40, x3 = 0.
В этой модели функциональные ограничения отражают условия ограниченности запасов ресурсов используемых в производстве продукции.
Проверим, как удовлетворяется система функциональных ограничений планом X* = (x1 = 40, x2 = 40, x3 = 0):
40 + 40 ∙ 4 + 0 ∙ 3 = 200
40 + 40 + 2 ∙ 0 = 80 (*)
40 + 40 + 2 ∙ 0 = 80 ≤ 140
Значение целевой функции на этом плане равно
f(X) = 40 ∙ 40 + 60 ∙ 40 + 80 ∙ 0 = 4000
2. Двойственная задача имеет вид:
min (200y1 + 80y2 + 140y3)
y1 + y2 + y3 ≥ 40
4y1 + y2 + y3 ≥ 60
3y1 + 2y2 + 2y3 ≥ 80
yj ≥ 0.
Для нахождения оценок y1, y2, y3 используем вторую теорему двойственности. Поскольку первое и второе ограничение в (*) выполняется как строгое неравенство, то y3 = 0. Так как x1 > 0 и x2 > 0 , то
y1 + y2 + y3= 40
4y1 + y2 + y3 = 60.
Итак, для получения двойственных оценок имеем систему линейных уравнений:
y3* = 0
y1 + y2 + y3 = 40
4y1 + y2 + y3 = 60,
т.е. y1* = 20/3, y2* = 100/3, y3* = 0.
Вычислим значение целевой функции двойственной задачи:
φ(Y) = 200 ∙ 20/3 + 80 ∙ 100/3 + 140 ∙ 0 = 4000, т.е. f(X) = φ(Y) = 4000.
3. Значение переменной x3 в оптимизационном плане равно нулю. Это говорит о том, что изделие третьего вида невыгодно изготавливать.
4. По первой теореме двойственности мы можем утверждать, что действительно найдены оптимальные значения двойственных переменных.
· Экономико-математический анализ оптимальных решений базируется на свойствах двойственных оценок. В пределах устойчивости двойственных оценок имеют место следующие свойства.
1. Величина двойственной оценки того или иного ресурса показывает, насколько возросло бы максимальное значение целевой функции, если бы объем данного ресурса увеличился на одну единицу.
В рассматриваемом примере увеличение запасов сырья I типа привело бы к увеличению общей стоимости на 20/3 у.е. (y1 = 20/3), увеличение запасов сырья II типа привело бы к увеличению общей стоимости на 100/3 у.е. (y2 = 100/3), а увеличение запасов сырья III типа не повлияет на оптимальный план выпуска продукции и на общую стоимость.
2. Двойственные оценки отражают сравнительную дефицитность различных видов ресурсов в отношении принятого в задаче показателя эффективности. Оценки показывают, какие ресурсы являются более дефицитными, какие менее дефицитные и какие совсем не дефицитными.
В нашем примере недефицитным ресурсом является сырье III поскольку y3 = 0.
Острее ощущается дефицитность сырья II (y2 = 100/3) – он более дефицитен, чем сырье I (y1 = 20/3).
3. Двойственные оценки позволяют определять своеобразные «нормы заменяемости ресурсов». В нашем примере относительная заменяемость ресурсов определяется соотношением 1 : 5.
· Определим, как изменится выручка от реализации продукции и план ее выпуска при увеличении запасов сырья на 18 ед.
Предполагая, что эти изменения проходят в пределах устойчивости двойственных оценок, имеем:
x1 + 4x2 + 3 ∙ 0 = 200
x1 + x2 + 2 ∙ 0 = 98
Отсюда определяется план выпуска в новых производственных условиях – X = (x1 = 64, x2 = 34, x3 = 0) соответственно прибыль составит 4600 у.е., т.е. увеличится на 600 у.е.