Ці обмеження покликані стримати підвищення цін на страхові послуги
хоча б у сфері обов'язкового страхування.
В актуарній практиці використовуються найрізноманітніші методи
обчислення тарифних ставок. Але всі вони, як вже наголошувалось, повинні
базуються на принципі еквівалентності фінансових зобов'язань
страхувальника і страховика.
Надамо деякі, найпоширеніші, підходи до трактування принципу
еквівалентності та їх математичні вирази:
еквівалентність фінансових зобов'язань як еквівалентність очікуваних
значень. При цьому підході зобов'язання страхувальників полягають у
сплаті страхових премій, а зобов'язання страховика - в оплаті позовів
страхувальника (виплати страхових сум чи сум страхових
відшкодувань). Справедливою платою за ризик тут є очікуване
значення випадкової величини М, тобто:
р = М [Y], (4)
де: р - величина зібраних страхових премій;
Y - величина сумарних виплат страховика.
еквівалентність зобов'язань з погляду теорії розорення. При цьому
підході, зобов'язання страхувальників мають безперечний характер
(отримуючи поліс, страхувальник більшою мірою звільняє себе від
ризику несподіваних витрат). Зобов'язання страховика, навпаки,
стають непередбачувані. Тобто тепер його ризик (його виплати) будуть
значно більшими за М [Y]. Тому страховик вимагає додаткову плату за
можливість збитку - ризикову надбавку L. У зв'язку з цим залежність
(4) буде такою:
р = М [Y] + L. (5)
Зразу ж постає питання: якими мають бути величини ризикової
надбавки L та страхової премії?
Звернемось до теорії розорення. Факт розорення будь -якої організації, в
тому числі і страховика, описується співвідношенням:
U + p < Y, (6)
де: U - величина власних коштів страховика.
Імовірність розорення із цього буде дорівнювати Р (U + р < Y).
Досягнення ймовірності розорення настане, коли буде отримано величину
страховими преміями Р, які задовольняли б співвідношення:
P(U + p<Y) = a . (7)
еквівалентність зобов'язань з погляду теорії корисності. Основним
критерієм цієї теорії є функція корисності U(x), що має такі
властивості:
функція U зростаюча - ІІ(х) > U(y) при х> у;
функція U задовольняє нерівність ЄнсонаМ[[/(х)] < U (М[х]);
■ функція U задовольняє умову нульової корисності U (0) = 0
Взагалі сутність такої функції у мірі важливості для страховика певних
грошових сум. І тому принцип еквівалентності за допомогою такої функції
корисності можна записати таким чином:
М [U (U + p - Y)] = U (U). (8)
Тобто, очікувана корисність капіталу страховика після прийняття
ризиків не повинна зменшитися порівняно з корисністю початкового
капіталу.
На практиці часто застосовують експоненціальну та квадратичну
функції корисно ті, вирази яких відповідно такі:
U(x) = 1 - , (9)
U(x) = ax - x2. (10)
У цьому (в разі практичного застосування принципу еквівалентності в
термінах теорії корисності) головна проблема - відшукання адекватної
функції корисності.
Але, як вже відзначалось, страхування виникає там, де існують явища і
процеси випадкової природи ("чисті" ризики, які передбачають збиток). З
математичного погляду випадкова величина - це змінна, яка може набувати
певних значень із певною ймовірністю. У математиці таке описується
функцією випадкової величини f((x) :
F((x)=P(t<x), (11)
де: F^(x) - інтегральна функція випадкової величини;
- значення випадкової величини;
х - максимальне значення випадкової величини.
Функція І'\ (х) визначається при всіх значеннях аргументу х і має такі
властивості:
о<^(х)<і; (12)
Якщо х < у, то /-лх)<д </-(v) , де >' - деяке значення, відмінне від
значення х.
F^ (+оо) = 1;
f (-00) = 0,
тоді:
P(a<^<b)=F^(b)-F^(a), (14)
де: а і в - теж деякі значення випадкової величини, відмінні від величини Ј.
Серед випадкових величин при цьому можна виокремити два основні
типи - дискретні та абсолютно неперервні (монотонні).
Дискретні - набувають скінченої (або зліченної) множини значень
(наприклад, кількість позовів, страхових випадків, страхових договорів і
тому подібне за визначений строк).
Абсолютно неперервні - якщо функцію розподілу FЈ(x) випадкової
величини Е, можна подати у вигляді:
Fs(x)=\ps(t)dt, (15)
де: р((х) - деяка невід'ємна функція яка показує щільність розподілу
випадкової величини р.
Абсолютно неперервними (монотонними) можна вважати, наприклад,
величину майбутніх прибутків страховика або тривалість очікування між
двома послідовними страховими випадками і подіями.
У страховій практиці, як правило, цікавлять не самі випадкові
величини, а деякі їх числові макрохарактеристики, найважливішими з них є
математичне сподівання, дисперсія та їх незалежність.
Математичне сподівання (середнє, очікуване) - це середньозважене за
ймовірністю значення випадкової величини.
Дисперсія характеризує відхилення випадкової величини від її
середнього значення.
Незалежність випадкових величин є добутком різних імовірностей
розкриття цих подій. Наприклад, якщо при будь-яких значеннях а та b у
випадках величин ^ та ^ ймовірність подій Р (Ј< а, буде добутком цих
подій (Р(<^ < а)та Р(Ј < Ь), — тобто:
<а,Ј<Ь) = Р(%< а)Р(С < Ь), (16)
Якщо випадкові величини не задовольняють наведену умову, то вони
називаються залежними. Прикладом залежних випадкових величин є
кількість позовів та сумарна величина виплат. Незалежними випадковими
величинами можуть вважатись кількість позовів з різних видів страхування.
Для дискретних випадкових величин математичне сподівання
обчислюється за формулою:
і
де: x - значення, яких набуває випадкова величина;
P - імовірність реалізації випадкових величин.
Для абсолютно неперервних випадкових величин математичне
сподівання (очікування) має вигляд:
МШ=)фд{ t)dt, (18)
де: РЈ - щільність випадкової величини ^.
Коли випадкова величина невід'ємна, тобто: с > 0, математичне
сподівання можна обчислити за формулою:
о
Для будь-яких сталих а, b та випадкових величин с, lT виконуються
такі властивості математичного сподівання:
М [а] = а; (20)
Мт = ЪМ[Ј}- (21)
ЩЈ + С\ = М\Ј\ + ЩРЈ\-, (22)
| А дисперсія випадкової величини, як відхилення від її середнього | |
| значення обчислюється як математичне сподівання квадрата відхилення цієї | |
| величини від її математичного сподівання: | |
| (23) | |
| Дисперсія задовольняє такі співвідношення: | |
| (24) | |
| Да] = 0; | (25) |
| Д[Ь{] = Ь2Д[Ї]- | (26) |
| Д[ <? + *] = ДІЯ; | (27) |
| де: а, b - довільні сталі; | |
| ^ ~ випадкові величини. | |
| Якщо випадкова величина невід'ємна, то дисперсію можна обчислити | |
| за формулою: | |
| M№ = 2\t(\-Fs(t)W..0 | (28) |
| Поряд з дисперсією часто використовують | похідні поняття - |
| стандартне відхилення та коефіцієнт варіації. | |
| Стандартне (середньоквадратичне) відхилення це корінь із дисперсії: | |
| (29) | |
| Коефіцієнт варіації - відношення стандартного відхилення випадкової | |
| величини до модуля математичного сподівання: | |
| (30) | |
Часто ми не маємо інформації про реальний розподіл випадкової
величини але маємо деяку сукупність спостережень (статистичні дані), у
яких вона набуває значень XX,x3,...,x. Ця сукупність значень називається
вибірковою (середньою чи незсуненою) дисперсією.
Вибіркове середнє використовують для оцінювання математичного
сподівання:
x=M[Z;l . (31)
Незсунена вибіркова дисперсія є оцінкою дисперсії випадкової величини: