вк=щхк](і+&), (58)
де: M[Хк] - математичне сподівання відшкодувань за k-м договором
страхування;
З - відносна страхова надбавка.
Основний внесок до величини В у загальному випадку вносить
значення суми М[ Х^ ], яку називають основною частиною нетто-премії.
Додаткова сума (1 + l>), (тобто ризикова, або страхова надбавка до основної
частини) - враховує можливі небажані відхилення відносної частоти настання
страхової події.
На практиці використовують кілька способів розрахунку відносної
страхової надбавки під час страхування визначеного ризику:
з фіксованим значенням для всіх договорів страхування:
(59)
7 M[SJ ' v уде: tr - квантиль рівня у нормального розподілу;
M[Sn ] - математичне сподівання сумарного розміру страхових відшкодувань;
D[S„ ] - дисперсія сумарного розміру страхових відшкодувань;
зі змінним значенням, пропорційним дисперсії або середньоквадратичному
відхиленню величини страхового відшкодування Х^ за k-м договором
страхування, тобто у вигляді:
»=tr /)|Л;' , (60)
або:
rnijmLMia_n. (61)
їда
Числові характеристики випадкових величин М[ Хк ] страхового
відшкодування за k-м договором страхування визначаються залежно від
наявної статистичної інформації про процес настання страхової події.
У разі, коли відомі числові характеристики сумарного розподілу S
страхових відшкодувань за страховим ризиком на підставі центральної
граничної теореми можна обчислити ймовірність достатності наявних
страхових резервів розміру у для виконання зобов'язань страховика за цим
ризиком:
PVK>r}=F0(!^^jm\ (62)
або ймовірності розорення (недостатності наявних страхових резервів):
P{Sn<r} = \-P{Sn>r}, (63)
де: F0(x)=^=]e— інтегральна функція нормованого нормального
V ІП -ос
розподілу.
Розрахунок страхових тарифів у колективній моделі ризику.
Складнішу модель розподілу сумарного розміру страхового відшкодування
за визначеним ризиком виражає колективна модель ризику, яка розглядає не
окремі договори страхування, а весь портфель договорів за даним страховим
ризиком і передбачає таке:
кількість вимог про страхове відшкодування за даним ризиком на
фіксованому проміжку часу є випадкова величина (як правило, з
Пуассонівським розподілом);
значення послідовних страхових відшкодувань Г17 7„ за портфелем
страхового ризику за цей проміжок часу утворюють послідовність
випадкових величин, які однаково розподілені;
випадкові величини u,Yx,Y2 ...Yn незалежні в сукупності.
Колективна модель враховує можливість неодноразового настання
страхової події за одним договором страхування (що дуже важливо в
договорах загального страхування), не обмежена умовою визначеності
кількості майбутніх договорів страхування та розглядає завжди додатні
значення відшкодувань Yk,k = \,2,...,п (на відміну від індивідуальної моделі, де
значення відшкодувань Xk могли бути нульовими). Сумарний розмір S
страхових відшкодувань за страховим ризиком у колективній моделі визначає
випадкова сума незалежних між собою випадкових величин:
S=Y1+Y2+...+YV. (64)
За заданими числовими характеристиками кількості и вимог про
страхове відшкодування та величиною Y одного відшкодування залежно від
загального випадку можемо знайти числові характеристики сумарного
розміру S страхових відшкодувань за страховим ризиком у колективній
моделі:
(65)
M[S]=M[y]M[Y]; _
D[S] = D\Y ]M[u] + D[u](M[7])2.
Найпростішу та найпоширенішу модель розподілу кількості страхових
вимог и визначає розподіл Пуассона з параметром Л, коли:
Р{и = к} = —е~л,к =0,1,2,(67)
за умови, що ряд ZA - збіжний.
к
причому: м[и]== л.. (68)
У цьому випадку розподіл випадкової величини S називають
складним розподілом Пуассона, а її числові характеристики визначають за
формулами:
(69)
M[S] = AM[Y];
(70)
D[S] = X D[Y]+(M[Y] = XM\Y ]. v 7
Параметри Я та функцію F(t)=pqr <t. розподілу величини значень v
називають параметрами складного розподілу Пуассона. Крім того, параметр
Я визначає середню за портфелем кількість страхових вимог, тобто вимог на
виплату страхового відшкодування за одиницю часу (наприклад, за рік).
У страховій практиці важливим є той факт, що сума незалежних
випадкових величин, кожна з яких має складний розподіл Пуассона з
параметрами Лк р також має складний розподіл Пуассона з параметрами:
* = = (71)
к к Л
Наведене твердження на практиці використовують у таких випадках:
при об'єднанні т страхових портфелів, таких що сумарний розмір
страхових відшкодувань , к = 1,2,...,m по кожному з них має складний
розподіл Пуассона з параметрами Як, 1<]:, внаслідок отримують об'єднаний
портфель, сумарний розмір страхових відшкодувань S якого буде
визначати складний розподіл Пуассона з параметрами:
^ = = (72)
к к A
при дослідженні сумарного за m років страхового відшкодування S за
одним і тим самим страховим ризиком з незалежними річними сумарними
страховими відшкодуваннями S, к = 1,2,...,m, кожне з яких має складний
розподіл Пуассона, можемо вважати, що злежність (72) має також
складний розподіл Пуассона.
При використанні моделі колективного ризику величина В страхової
премії для всіх договорів страхування однакова і визначається з умови
достатності із заданою довірчою ймовірністю отриманих страхових премій
для виконання зобов'язань страховика за формулою:
B = \M\Y~\(\ + 9), (73)
де: М^ - математичне сподівання виплати одного страхового
відшкодування;
Л - середня на один договір кількість страхових вимог за одиницю часу;
З - відносна страхова надбавка.
Основний внесок до величини В у загальному випадку \M[Y~\
називають основною частиною нетто-премії, a \M[Y~\3 називають
ризиковою (страховою) надбавкою до основної частини, яка із заданою
довірчою ймовірністю враховує можливі небажані відхилення відносної
частоти настання страхової події.
Відносна страхова надбавка при страхуванні визначеного ризику має
фіксоване для всіх договорів значення і розраховується за формулою (59):
, (74)
де: tr - квантиль рівня у нормального розподілу;
M[S] - математичне сподівання сумарного розподілу страхових
відшкодувань;
D[S] - дисперсія сумарного розподілу страхових відшкодувань.
Математичне сподівання М[У] одного страхового відшкодування
визначається залежно від наявної статистичної інформації про процес
настання страхової події.
Середня на один договір кількість Я1 страхових вимог на одиницю часу (у
загальному випадку - за один рік) розраховується на підставі середньої за
портфелем кількості Я, страхових вимог за одиницю часу (також - один рік):
4=-, (75)
п
де: « - визначає кількість договорів страхового портфеля, для якого була
отримана оцінка параметра Я.
Наведені вище методики визначення страхових тарифів є базовими.
Кожна страхова компанія, застосовуючи такі методи, визначає свої тарифи
страхування по кожному виду страхування. А кількісний вираз тарифу - це
головний фактор при розрахунку страхової премії Р (страхового платежу
клієнта), а також показник рейтингу страхової компанії:
Р = S T. (76)
Наприклад, підрядчик вирішив застрахувати ремонтні роботи від
пожежі, браку в результаті недбалості, незграбності працівника та від
неправомірних дій третіх осіб, включаючи крадіжку зі зломом.
Підрядчик звернувся до страховика А та до страховика О.
Згідно з тарифами загальний тариф страховика А (для розрахунку
беремо якісь довільні кількісні вирази) склав:
Т = 0,4% + 0,06% + 2,0% = 2,46%.
Відповідно кошторису витрат на ремонт приміщення страхова сума
дорівнює 27522 грн. У випадку коли коефіцієнт Кзб буде дорівнювати 1,
страховий платіж до страховика А буде:
Р = 27522 • 2,46% : 100% = 660,53 грн.
Згідно з тарифами загальний тариф страховика О складає:
Т = 0,4% + 1,2% + 1,0% = 2,6%.
Страхова сума таж - 27522 грн. Страховий платіж складе:
Р = 27522,00 • 2,6% = 715,57 грн.
Отже, якщо компанія О не застосовує знижуючі коефіцієнти, підрядчик
застрахується у компанії А.
Нетто-тариф, а разом з ним і брутто-тариф (нетто + навантаження) за
договорами особистого страхування визначаються з урахуванням
статистичних закономірностей страхових ризиків протягом дії договорів
страхування та величини інвестиційних доходів від розміщення страхових
резервів. В цьому основним є математичне моделювання процесу "дожиття"
та досягнень декотрих величин інвестиційних доходів від розміщення
страхових резервів.
Математичною моделлю випадкових процесів дожиття та смертності,
непрацездатності, хвороби у разі переходу застрахованих осіб з однієї вікової
категорії в іншу є регіональні таблиці дожиття та смертності і відповідні
регіональні чи селективні статистичні таблиці страхових ризиків, які
формуються страховиками за статтю, станом здоров'я, тривалістю
непрацездатності або хвороби, професією, регіоном проживання і т.п.
При визначенні нетто-тарифу в галузі особистого страхування
використовують (як статистичні дані):
регіональну або селективну таблицю дожиття та смертності;
регіональну або селективні таблиці додаткових страхових ризиків;
річну (середню) ставку інвестиційного доходу;
таблиці комутаційних чисел для встановленої у договорі страхування
річної ставки інвестиційного доходу та ймовірностей відповідних
страхових ризиків.
В цьому основні параметри таблиць:
дожиття та смертності:
іх - кількість осіб, що дожили до віку х років;