Анализ, синтез, планирование решений в экономике (стр. 10 из 65)

В матрице [А] через w_ij обозначено численное значение стандартов, соответствующее альтернативе А_i и элементу E^s_j иерархии. Таким образом, столбцы в матрице [А] образуют ненормированные векторы приоритетов альтернатив по соответствующим элементам E^s_j.

Для получения нормированных векторов W^A_j (верхний индекс указывает на то, что ранжируются альтернативы) приоритетов альтернатив матрица [А] умножается на диагональную матрицу [S] вида:

Множество нормированных векторов приоритетов альтернатив относительно всех элементов самого нижнего уровня иерархии определяется перемножением матриц

[W^A]=[A]´[S].

В полученной матрице [ W^A ] столбцами являются нормированные векторы приоритетов альтернатив W^A_j для каждого элемента E^s_j иерархии.

Дальнейшее определение векторов приоритетов альтернатив относительно элементов Eⁱ_j иерархии, расположенных выше уровня S, осуществляется в соответствии с шагами 2 и 3 алгоритма иерархического синтеза (см. разд. 2.3).

Рассмотрим пример использования метода сравнения альтернатив относительно стандартов, подтверждающий тот факт, что добавление новой альтернативы не нарушает порядок ранее проранжированных альтернатив.

Пусть имеется матрица предпочтений стандартов:

Вектор приоритетов стандартов имеет следующий вид:

Н = 0,696 М = 0,225 L = 0,079.

Рассмотрим четыре альтернативы А₁,..., А₄ которым поставлены в соответствие следующие значения вектора приоритетов стандартов:

А₁ = 0,225 (М), А₂ = 0,079 (L), А₃ = 0,225 (М), А₄ =0,079 (L),

Нормированный вектор приоритетов рассматриваемых альтернатив следующий:

А₁ А₂ А₃ А₄

W₄ = { 0,370 0,130 0,370 0,130 }^Т.

где Т — знак транспонирования;

(4) — нижний индекс, указывающий число ранжируемых альтернатив.

В соответствии с приведенным вектором альтернативы ранжируются в порядке убывания приоритета: А₁, А₃, А₂, А₄.

Добавим к рассматриваемому множеству альтернатив новую — А₅ и присвоим ей значение, соответствующее высокому стандарту — Н. Нормированный вектор приоритетов для пяти альтернатив имеет следующий вид:

А₁ А₂ А₃ А₄ A₅

W₅= {0,137 0,061 0,173 0,061 0,534}^T.

В соответствии с этим вектором альтернативы ранжируются в порядке убывания приоритета следующим образом: А₅, А₁, А₃, А₂, A₄. Анализ приведенной последовательности показывает, что добавление новой альтернативы А₅, не привело к нарушению порядка у ранее проанализированных альтернатив А₁, ..., А₄.

Сравнение объектов методом копирования

В третьей модификации рассматривается определение вектора приоритетов альтернатив методом копирования.

Метод копирования применяется в тех случаях, когда среди анализируемых альтернатив имеются такие, которые идентичны по одним или нескольким анализируемым свойствам (критериям качества). Например, пневматическая виброзащитная система рукавного типа, используемая в рессорном подвешивании пассажирских автобусов, идентична по качеству виброизоляции с металлическим механизмом перескока, реализующим квазинулевую жесткость.

Рассмотрим процедуры сравнения и установления приоритета альтернатив, используемые в методе копирования.

Пусть определено множество альтернатив А = {а₁, а₂, ..., а_n}, каждая из которых отличается от всех других альтернатив этого множества уровнем качества по рассматриваемому критерию К_i и определено другое множество альтернатив В == {b₁, b₂, ..., b_n}, каждая из которых имеет одинаковые свойства со всеми другими по ранее определенному критерию К_i. Предположим, что множество А имеет хотя бы один элемент а_i^* , свойство которого по критерию К_i идентично свойствам всех альтернатив множества В. Тогда все альтернативы множества В являются копиями элемента а_i^* по критерию К_i. При такой ситуации эксперт по критерию К_iпопарно сравнивает только альтернативы множества А. Далее на основании матрицы попарных сравнений рассчитывается нормированный собственный вектор W^A, ранжирующий альтернативы множества A. Всем альтернативам-копиям {b₁, b₂, ..., b_n} присваивается значение нормированного собственного вектора W^A, соответствующее элементу a_i^*. В результате получается новый ненормированный вектор приоритетов W^AB всех альтернатив, входящих в множества A и В. Вектор W^AB нормируется путем деления каждого значения указанного вектора на сумму всех его значений.

Метод копирования аналогичен методу сравнения альтернатив относительно стандартов в том плане, что позволяет не нарушать порядок ранее проранжированных альтернатив при добавлении новых, являющихся копиями ранее проранжированных альтернатив. Кроме того, число анализируемых альтернатив при добавлении копий может превышать пороговое значение, равное девяти, установленное для метода попарного сравнения.

Рассмотрим пример добавления к ранее проранжированным объектам альтернатив-копий.

Допустим, определены три альтернативы A₁, А₂ и А₃, для которых экспертом установлена относительная степень предпочтений по критерию "надежность функционирования системы". Альтернативы сравниваются попарно в матрице, для которой рассчитывается нормированный собственный вектор, имеющий значения {0,5 0,3 0,2}^T . В приведенном векторе указан знак транспонирования — Т, а порядок значений вектора соответствует весу альтернатив А₁, А₂ и А₃. Предположим, что для анализа поступают две новые альтернативы А₄, А₅, свойства которых по указанному критерию полностью идентичны свойствам альтернативы А₃. В этом случае альтернативам-копиям присваиваются веса, соответствующие весу альтернативы А₃,, т. е. А₄ = 0,2 и А₅ = 0,2. Новый ненормированный вектор приоритетов альтернатив принимает следующий вид:

{0,5 0,3 0,2 0,2 0,2}^T

Значения весов пяти альтернатив после нормирования предыдущего вектора приоритетов имеют следующий вид:

A₁ = 0,35, А₂ == 0,21, А₃ = 0,14, A₄ = 0,14, A₅= 0,14.

Анализ двух векторов приоритетов, характеризующих соответственно множества из трех и пяти альтернатив, показывает, что добавление альтернатив А₄, А₅ не нарушило порядок приоритетности альтернатив А₁, А₂ и А₃,.

Метод копирования позволяет существенно сократить время экспертов на подготовку исходных данных для анализа и уменьшить вероятность внесения в них как случайных, так и логических ошибок.

2.6. Многокритериальный выбор на иерархиях с различным числом и составом альтернатив под критериями

В четвертой модификации рассматривается метод определения векторов приоритетов альтернатив для иерархий с различным числом и различающимся составом альтернатив под критериями.

В практике принятия решений нередко встречается задача, когда ранжируемые по множеству критериев альтернативы оцениваются экспертом не по всем критериям. Эта задача характерна для ситуаций, в которых множество критериев, выделенных для всех рассматриваемых альтернатив, является избыточным относительно одной или нескольких альтернатив. Таким образом, в рассматриваемом случае эксперт имеет разное количество альтернатив под каждым критерием или под их частью. На рис. 2.7 приведены примеры иерархий, в которых каждый критерий E_j из множества {Е₁, E₂, ... , Е_p} имеет разное количество альтернатив из множества {А₁,А₂, ... ,А_r}.

Альтернативы А₁ и А_r; А₁, А₂ А_r; А₂ и А_r оцениваются соответственно относительно элементов (критериев) Е₁, Е₂, Е_р (рис. 2.7а).

Рис. 2.7. Примеры иерархий с разным числом альтернатив под критериями а — синтез; б — декомпозиция

Рассмотрим методику определения вектора приоритета альтернатив для случая, когда иерархия имеет один уровень критериев, объединенных фокусом (рис. 2.7 б) с учетом значимости критериев, и разное количество альтернатив у каждого критерия. Методика предполагает выполнение ряда процедур по структурированию информации и проведению вычислительных операций.

Процедура 1. Исходная проблема структурируется в виде иерархии, устанавливающей взаимосвязь между множеством сравниваемых альтернатив {А₁, A₂,... , А_r}и множеством критериев {E₁, Е₂, ... , Е_p}.

Процедура 2. На основе иерархической структуры определяется бинарная матрица [В], устанавливающая соответствие между альтернативами и критериями. Матрица [В] содержит элементы b_ij = {0,1}. При этом если альтернатива А_i оценивается по критерию E_j, то b_ij = 1, в противном случае b_ij = 0.