Анализ, синтез, планирование решений в экономике (стр. 28 из 65)

Функция принадлежности к нечеткому множеству низких процентных ставок запишется следующим образом:

4.2. Нечеткие операции, отношения и свойства отношений

Операции над нечеткими множествами. Над нечеткими множествами, как и над обычными, можно выполнять математические операции. Рассмотрим важнейшие из них: дополнение множества, объединение и пересечение множеств.

Операция дополнения может быть представлена следующим образом:

Операция объединения будет иметь следующий вид:

Здесь и далее операция v обозначает взятие максимума. Операция пересечения вычисляется следующим образом:

Здесь и далее символ л обозначает взятие минимума.

Нечеткие отношения. Нечетким отношением R между полным множеством U и другим полным множеством V называется подмножество прямого декартова произведения U ´ V, определяемое следующим образом:

где U = {u₁, u₂,..., и_l}, V {v₁, v₂,..., v_m}.

Допустим, что между элементами знаний, представленных нечеткими множествами F и G, существует связь, заданная правилом: "Если F, то G", при этом F Í U, G Í V. В логике высказываний для представления правил подобного вида используется операция импликации. В нечеткой логике предложены различные способы реализации импликации. Один из наиболее простых способов заключается в представлении импликации, соответствующей правилу "Если F, то G", нечетким отношением R, которое вычисляется следующим образом [2]:

Свойства нечетких отношений.

1. Объединение отношений

(RÈ S)(u, v) = R(u, v) Ú S(u, v), и Î U, v Î V.

2. Пересечение отношений

(RÇ S)(u, v) = R(u, v) Ù S(u, v), и Î U, v Î V.

3. Операция включения

(R Í S) « R(u, v) £S (u, v), u Î U, v Î V.

4. Свойство идемпотентности

RÇR = R, RÈ R = R.

5. Коммутативность

RÇ S = SÇ R,RÈ S = SÈ R.

6. Ассоциативность

RÇ (SÇ Q) = (RÇ S)Ç Q.

RÈ (SÈ Q) = (RÈ SÈ Q.

7. Дистрибутивность

RÇ (SÈ Q) = (RÇ S)È (SÇ Q).

RÈ (SÇ Q) = (RÈ S)Ç (SÈQ).

8. Рефлексивность

Если m_R (и, и) = 1, отношение R — рефлексивное.

Если m_R (и, и) < 1, отношение R — слабо рефлексивное.

Если m_R (и, и) = 0, отношение R — антирефлексивное.

Если m_R (и, и) > 0, отношение R — слабо антирефлекеивное.

9. Симметричность

m_R (u, v) = m_R (v, и); и, v Î U.

10. Транзитивность

m_R (u, v) ³ m_R (u, z) Ù m_R (z, v); u, v, z Î U.

4.3. Многокритериальный выбор альтернатив на основе пересечения нечетких множеств

Элементы теории нечетких множеств успешно применяются для . принятия решений. Экспертные оценки альтернативных вариантов по критериям могут быть представлены как нечеткие множества или числа, выраженные с помощью функций принадлежности. Для упорядочения нечетких чисел существует множество методов, которые отличаются друг от друга способом свертки и построения нечетких отношений. Последние можно определить как отношения предпочтительности между объектами. Рассмотрим одну из математических постановок задач принятия решений на основе теории нечетких множеств.

В данном случае критерии определяют некоторые понятия, а оценки альтернатив представляют собой степени соответствия этим понятиям. Пусть имеется множество альтернатив А = {а₁, а₂, ..., а_m,} и множество критериев С= {С₁, С₂, ..., С_n}, при этом оценки альтернатив по каждому i-му критерию представлены нечеткими множествами:

С_i= {m_Ci (a₁)/ m_Ci, (a₂)/a₂, …, m_Ci (a_m)/a_m}

Правило выбора лучшей альтернативы можно представить как пересечение нечетких множеств, соответствующих критериям:

D = С₁Ç C₂ Ç ... Ç С_n.

Операция пересечения нечетких множеств может быть реализована разными способами. Иногда пересечение выполняется как умножение, но обычно этой операции соответствует взятие минимума:

Лучшей считается альтернатива a^*, имеющая наибольшее значение функции принадлежности

Если критерии С_i имеют различную важность, то их вклад в общее решение можно представить как взвешенное пересечение:

D=C₁^a1 Ç C₂^a2Ç ...Ç _n^an,

где а_i - весовые коэффициенты соответствующих критериев, которые должны удовлетворять следующим условиям:

Коэффициенты относительной важности можно определить, используя процедуру попарного сравнения критериев.

4.4. Многокритериальный выбор альтернатив на основе нечеткого отношения предпочтения

Рассмотрим метод принятия решений, предполагающий построение множества недоминируемых альтернатив на основе нечеткого отношения предпочтения [З].

Постановка задачи в краткой форме представляется следующим образом. Пусть задано множество альтернатив А и каждая альтернатива характеризуется несколькими критериями качества с номерами j == i, ..., т. Информация о попарном сравнении альтернатив по каждому критерию качества j представлена в форме отношения предпочтения R_j. Таким образом, имеется т отношений предпочтения R_j на множестве А. Требуется выбрать лучшую альтернативу из множества {A, R₁, ...,R_m}.

Метод многокритериального выбора альтернатив на основе нечеткого отношения предпочтения основан на ряде определений.

Определение 1. Нечетким отношением R на множестве А называется нечеткое подмножество декартова произведения А ´ А, характеризующееся функцией принадлежности m_R: А ´ А ® [0,1]. Значение m_R (a, b) этой функции понимается как степень выполнения отношения аÙb .

Определение 2. Нечетким отношением предпочтения на А называется любое заданное на этом множестве рефлексивное нечеткое отношение, функция принадлежности которого вычисляется следующим образом:

Определение 3. Пусть А — множество альтернатив и m_R — заданное на нем нечеткое отношение предпочтения. Нечеткое подмножество недоминируемых альтернатив множества (А, m_R) описывается функцией принадлежности

Определение 4. Четко недоминируемыми называются альтернативы, для которых m_R^НД(а) = 1, а множество таких альтернатив

Определение 5. Носителем нечеткого множества В с функцией принадлежности m_B (a) является множество {а½а Î А, m_B > 0}.