Анализ, синтез, планирование решений в экономике (стр. 29 из 65)

Процедура решения задачи выбора выполняется в несколько шагов.

1. Строится нечеткое отношение Q₁, которое является пересечением исходных отношений предпочтения:

и определяется нечеткое подмножество недоминируемых альтернатив в множестве (А, m_Q1):

2. Строится нечеткое отношение Q₂:

и определяется нечеткое подмножество недоминируемых альтернатив в множестве (A,m_Q2):

Данная функция упорядочивает альтернативы по степени их недоминируемости. Числа w_j в приведенной выше свертке представляют собой коэффициенты относительной важности рассматриваемых критериев, для которых выполняются следующие условия:

3. Отыскивается пересечение множеств m_Q1^НД и m_Q2^НД:

4. Рациональным считается выбор альтернатив из множества

Наиболее рациональной альтернативой из множества А^НД является та, которая имеет максимальную степень недоминируемости.

4.5. Многокритериальный выбор альтернатив с использованием правила нечеткого вывода

Рассмотрим метод многокритериального выбора альтернатив на основе композиционного правила агрегирования описаний альтернатив с информацией о предпочтениях лица, принимающего решение, которые заданы в виде нечетких суждений [2].

Сущность метода, на основе которого реализована компьютерная система, заключается в следующем. Пусть U — множество элементов, А — его нечеткое подмножество, степень принадлежности элементов к которому есть число из единичного интервала [0, 1]. Подмножества A_j являются значениями лингвистической переменной X.

Допустим, что множество решений характеризуется набором критериев х₁, х₂, ..., x_p, т.е. лингвистических переменных, заданных на базовых множествах и₁, и₂, .... u_p соответственно. Например, переменная х₁ "качество управления" может иметь значение НИЗКОЕ, а переменная х₂ "стоимость" — значение ХОРОШЕЕ и т. д. Набор из нескольких критериев с соответствующими значениями характеризует представления лица, принимающего решение, об удовлетворительности альтернативы. Переменная S "удовлетворительность" также является лингвистической. Ниже приведен пример высказывания :

d₁: "Если x₁ = НИЗКОЕ и x₂ = ХОРОШЕЕ, то S = ВЫСОКАЯ". В общем случае высказывание d₁ имеет вид:

d₁: "Если x₁ = А₁, и x₂ = А_2i и ... х_р = А_рi то S = В_i". (4.1)

Обозначим пересечение (x₁ = А_1i Ç x₂ = А_2i Ç... х_р = А_рi) через х = А_i. Операции пересечения нечетких множеств соответствует нахождение минимума их функций принадлежности:

Здесь V= U₁ ´U₂ ´...U_p; v = (u₁, и₂ ..., u_p); m_Aij (u_j) — значение принадлежности элемента и, нечеткому множеству А_ij.

Тогда высказывание (4.1) можно записать в виде:

Для придания общности суждениям обозначим базовые множества U и V через W. Тогда А_i — нечеткое подмножество W, в то время как В_i — нечеткое подмножество единичного интервала I.

Для представления правил используется операция импликации, для которой предложены различные способы нечеткой реализации [4]. Нечеткая импликация Лукасевича имеет вид:

где Н — нечеткое подмножество на W ´ I, w Î W, i Î I.

Аналогичным образом высказывания d₁, d₂,..., d_q преобразуются в множества Н₁, Н₂, ..., Н_q. Их пересечением является множество D:

D = H₁ Ç H₂ Ç ... Ç Н_q

и для каждого (w, i) Î W ´ I

Удовлетворительность альтернативы, которая описывается нечетким подмножеством А из W, определяется на основе композиционного правила вывода:

G = А ° D,

где G — нечеткое подмножество интервала I.

Тогда

Сопоставление альтернатив происходит на основе точечных оценок. Для нечеткого множества С Ì I определяем a-уровневое множество (a Î [0, 1]):

С_a= {i | m_c (i) ³ a Î I}.

Для каждого С_a можно вычислить среднее число элементов — М(С_a):

для множества из п элементов

для С_a={a£ i £ b}

при 0 £ a₁ £ b₁ £ а₂£ b₂ £ ... £ а_n £ b_n £ 1.

Тогда точечное значение для множества С можно записать в виде:

где a_max — максимальное значение в множестве С.

При выборе альтернатив для каждой из них находится удовлетворительность и вычисляется соответствующая точечная оценка. Лучшей считается альтернатива с наибольшим ее значением.

4.6. Многокритериальный выбор альтернатив на основе аддитивной свертки

В рассматриваемом методе [3] экспертные предпочтения представлены с помощью нечетких чисел, имеющих функции принадлежности треугольного вида (рис.4.2).

Пусть имеется множество альтернатив А = {а₁, а₂, ..., a_m} и множество критериев С = {с₁, с₂, ..., с_n}, при этом оценка j-й альтернативы по i-му критерию представлена нечетким числом R_ij, a относительная важность i-го критерия задается коэффициентом a i = 1,2 ...,п. Если коэффициенты а, нормированы, то взвешенная оценка j-й альтернативы вычисляется по формуле

Если функции принадлежности m_Rij(r_ij) и m_ai(a_i) имеют треугольный вид, то для них, как и для нечеткого числа X, вершина X*, а также левая Х¢ и правая X" границы определяются следующими соотношениями:

Взвешенная оценка j-й альтернативы R_j является результатом линейной комбинации нечетких чисел и также будет иметь функцию принадлежности треугольного вида. Вершину и границы нечеткого числа Z == Х ´ Y, полученного в результате операций сложения или умножения (символ ´ обозначает обобщенную операцию), можно вычислить следующим образом:

Z'=X¢ ´ Y¢; Z¢¢ = X¢¢ ´ Y¢¢; Z*=X* ´ У.

Ранжирование альтернатив с использованием полученных взвешенных оценок возможно на основе их нечеткой композиции:

Здесь m_J(j) — нечеткое множество альтернатив, соответствующих понятию "лучшая альтернатива". Лучшей считается альтернатива, имеющая наибольшее значение m_J(j).

Приоритет каждой альтернативы вычисляется путем выбора минимума среди точек пересечения правой границы соответствующего ей нечеткого числа R_j с границами нечетких чисел, представляющих взвешенные оценки альтернатив, расположенных правее на числовой оси (удовлетворяющих условию r_k > r_j.). При этом предполагается, что правая граница области определения нечетких чисел соответствует самым предпочтительным оценкам, а левая — наихудшим.