Статистическая проверка гипотез (стр. 3 из 8)

5. Проверка гипотезы о нормальном распределении ошибок эксперимента

Как правило, ошибки результатов экспериментов распределены по нормальному закону .

Выберем следующие гипотезы:

H₀: ошибки эксперимента распределены по нормальному закону;

H₁: ошибки эксперимента не распределены по нормальному закону.

Для проверки гипотезы H₀ используется W–критерий.

Пусть проведено m параллельных опытов ( 3 £ m £ 50 ).

Для обработки результатов эксперимента нужно:

1) Расположить значения переменной состояния в неубывающем порядке:

y₁ £ y₂ £ ...£ y_m .

2) Вычислить:

.

3) Вычислить:

где , если m-чётное и ,

если m-нечётное.

Коэффициенты a_i выбираются из таблицы в зависимости от m.

4) Вычислить наблюдаемое значение критерия:

5) По таблице критических точек найти W_кр -критическое значение критерия в зависимости от числа степеней свободы f = m и уровня значимости q:

W_кр = W(q, f );

6) Если наблюдаемое значение больше критического W_набл > W_кр (критическая область левосторонняя), то гипотеза H₀ принимается, т.е. ошибки эксперимента распределены по нормальному закону. В противном случае, если W_набл<W_кр , то гипотеза H₀ отвергается.

Пример:

Проведено 16 параллельных опытов. Получены следующие значения переменной состояния Y:

0.035 0.047 0.055 0.067 0.066 0.077 0.078 0.088

0.95 0.1 0.121 0.136 0.153 0.176 0.22 0.231

m = 16, q = 0,05, l = 16/2 = 8.

Отметим, что результаты эксперимента расположены в неубывающем порядке.

;

;

где значения

для m = 16 взяты из таблицы:

Наблюдаемое значение критерия:

.

Критическое значение критерия:

Так как W_набл>W_кр, , то ошибки эксперимента распределены по нормальному закону.

6. Проверка гипотезы о виде распределения. ( Критерий согласия Пирсона )

Пусть проведены N экспериментов в одинаковых условиях. Проверяется гипотеза H₀ : результаты эксперимента распределены по закону А. Критерий для проверки выдвинутой гипотезы называется критерием согласия.

Разобьем интервал полученных результатов эксперимента [Y_min , Y_max] на m равных интервалов.

[Y_{i -1} , Y_i ]; i=1,...,m.

Обозначим через Y_i^* середину i-го интервала, n_i - число результатов, попавших в i-й интервал. Получим ряд распределения:

Yi*	Y1*	Y2*	...	Ym*
ni	n1	n2	...	nm

Пусть в предположении, что результаты эксперимента имеют распределение А, вычислены теоретические частоты n_i^’.

В качестве статистического критерия выбирается случайная величина:

Чем меньше значение, принимаемое c², тем ближе между собой теоретическое и эмпирическое распределения. Случайная величина c² имеет известное распределение Пирсона или c²_.- распределение.

Критическое значение критерия определяется по таблице распределения критических точек по заданному уровню значимости q и числу степеней свободы f:

f = m-r-1;

где r-число параметров распределения, определяемых по результатам эксперимента. Для нормального распределения r=2, для распределения Пуассона и показательного распределения r=1.

Наблюдаемое значение критерия c²_набл рассчитывается по результатам экспериментов

.

Если c²_набл<c²_кр, то гипотеза H₀ принимается, т. е. результаты эксперимента распределены закону А . Если c²_набл>c²_кр, то H₀ -отвергается (критическая область правосторонняя).

6.1 Расчёт теоретических частот для нормального распределения

1. Вычисляем оценки математического ожидания и дисперсии:

2. Вычисляем границы интервалов нормированной переменной Z:

, i = 0,1,…., m.

3. Выберем по таблице значения функции Лапласа Ф(Z_i);

4. Найдём вероятность попадания значений нормально распределённой случайной величины Z в i-й частичный интервал:

5. Вычисляем теоретические частоты:

.

Пример:

Пусть даны результаты 75 экспериментов. Проверить гипотезу о нормальном распределении результатов экспериментов:

-50	-39	-48	-56	-49
-44	-39	-42	-56	-46
-39	-50	-52	-48	-55
-46	-37	-51	-52	-45
-46	-51	-43	-49	-35
-57	-48	-42	-42	-54
-33	-44	-56	-44	-43
-41	-47	-42	-47	-59
-54	-53	-55	-34	-53
-50	-36	-53	-53	-55
-54	-39	-53	-42	-49
-45	-48	-50	-48	-56
-52	-46	-53	-56	-57
-42	-53	-50	-44	-46
-59	-62	-57	-36	-43

Начало первого интервала:		-64
Длина интервала:	4

Разобьем интервал [–64,-32] на частичные интервалы с шагом, равным 4. Для каждого частичного интервала подсчитаем число результатов, попавших в данный интервал. Обозначим эти частоты n_i. Вычислим середины частичных интервалов

.

Полученные результаты вычислений занесем в таблицу.

Находим оценки математического ожидания и среднего квадратического отклонения

(1/75)·(-65-290-972-650-644-788-190-170) =

= -3566/75=-47.54;

где Y^*_i – середина i -го интервала.

(1/74)×(209.09+547.058+751.1688+

+78.6708+33.2024+429.6824+455.058+916.658) = =3420.5884/74=46.224 ;

S_y = 6.7988=6.80;

Вычислим границы интервала в кодированных переменных:

.

Вероятность попадания нормально распределённой случайной величины в i-тый частичный интервал

P_i = Ф(Z_i+1) - Ф(Z_i); i=1,...,m,

где Ф(z) - функция Лапласа.

Вычислим теоретические частоты n_i^' =N×P_i.

Величины Z_i, P_i и n_i^' заносим в таблицу.

Определим наблюдаемое значение критерия

K_набл= 0,9168 + 0,0526 + 4,008 + 0,69 + 0,4303 + 0,1555 + 0,3874 + 0,74137) = 7,38197;

Найдём критическое значение критерия Пирсона для уровня значимости q=0.1 и числа степеней свободы

f=m-2-1=8-2-1=5:

K_кр=c² (q,f)= c²(0.1;5)=9.236.

Таблица 4.

№		ni		Z i	Ф(Z i)	Pi	ni1	ni	(ni1-ni)2 ni1
1 2 3 4 5 6 7 8	-64 -60 -56 -52 -48 -44 -40 -36 -32	1 5 18 13 14 14 5 5	-62 -58 -54 -50 -46 -42 -38 -34	-¥ -1.83 -1.24 -0.65 -0.06 0.52 1.11 1.69 +¥	-0.5 -0.4664 -0.3925 -0.2415 -0.0239 0.19847 0.3665 0.45449 0.5	0.0336 0.0739 0.1504 0.2182 0.2224 0.1680 0.0880 0.0455 åPi=1	2.52 5.54 11.277 16.36 16.679 12.6 6.599 3.41	1 5 18 13 14 14 5 5	0.9168 0.0526 4.008 0.69 0.4303 0.1555 0.3874 0.74137

Так как K_набл < K_кр , то гипотеза H₀ справедлива, т.е. результаты эксперимента распределены по нормальному закону.